非饱和土力学报告-水力特性与工程应用

非饱和土力学

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目录

1 流体的渗透性............................................................................................................ 1 2 水的流动.................................................................................................................... 2

2.1 水相的驱动势能............................................................................................. 3 2.2 非饱和土的Darcy定律 ................................................................................. 5 3 水相的渗透性............................................................................................................ 6

3.1 流体及孔隙介质分量..................................................................................... 6 3.2 渗透性与体积-质量性质的关系 ................................................................... 6 3.3 饱和度变化对渗透性的影响......................................................................... 7 3.4 渗透系数与饱和度的相互关系..................................................................... 7 3.5 透水性系数与基质吸力的关系..................................................................... 9 3.6 透水性系数与体积含水量的关系............................................................... 10 3.7 渗透函数的滞后........................................................................................... 11 4 实际渗流问题.......................................................................................................... 12

4.1 稳态水流....................................................................................................... 12 4.2 非饱和土渗透系数的空间变化................................................................... 12 4.3 一维流举例................................................................................................... 14

4.3.1 地表面被覆盖.................................................................................... 14 4.3.2 稳态蒸发............................................................................................ 14 4.3.3 稳态入渗............................................................................................ 15 4.4 一维流推导................................................................................................... 16 4.5 一维流的解................................................................................................... 16 参考文献...................................................................................................................... 20

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1 流体的渗透性

非饱和土中水的运动要比饱和土中水的渗流运动更为复杂。这是因为它的运动不仅与多孔介质的集合特征有关，而且还与含水量、饱和度、颗粒大小与矿物成分、温度、溶质浓度等各种影响土水势的因素有关。

非饱和土为三相系，气相对液相的运动将会起到阻滞或推动作用，使非饱和土中水的运动变得复杂。为了研究简便起见，设水分运动过程中空气不起阻滞或推动作用，同时也不考虑温度变化的影响。

非饱和土的孔隙中存在气体和水流体。根据饱和度的不同，土中气体和水呈不同的形态。下图1.1表示了非饱和土和土中孔隙水与空气的三种不同形态。

土的饱和度比较高时，例如，击实粘土含水量大于最优含水量wop时，其饱和度约为85%~90%，这是土的孔隙主要被水所占据。气体呈气泡状，被水所包围，可随水一起流动，如图1.1中(c)所示，称为气封闭状态。这种混合的流体是可压缩的，在较高压力势下，气泡可被压缩和溶解，使孔隙水饱和度进一步提高。这种情况下，一般可按饱和土计算渗透与固结问题，只不过其渗透系数小于饱和土。当土中含水量很小时，孔隙水主要以水蒸气和结合水状态存在，或者吸附在土颗粒局部和表面，被气体隔离封闭，可不考虑水的流动，如图1.1(a)所示情况，称为水封闭状态。对于1.1(b)情况，气体和水都是连通的，均可能发生流动，称为双开敞体系，相应的的饱和度对于粘土约为sr50%~90%；对于砂土，

sr30%~80%，这种情况是研究非饱和土渗透性的主要课题，一般分别考虑空气的流动和水的流动。

图1.1 非饱和土和土中孔隙水与空气的三种不同形态

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2 水的流动

多种概念曾被用于阐述非饱和土中水的流动。例如，含水量梯度、基质吸力梯度或水力梯度都曾被认为是驱动势能。但是，重要的是采用一种最基本的、能控制水流动定律的形式。有时也曾用含水量梯度描述非饱和土中水的流动。它假设水从高含水量的点流向低含水量的点。但是，这种流动定律并不是基本的，因为如考虑涉及土的类型的不同、滞后效应及应力历史的不同，则水也可能从低含水量区流向高含水量区。所以，含水量梯度不能作为水流动的基本驱动势能。

在非饱和土中，基质吸力梯度有时被认为是水流动的驱动势能。但是，水的流动并不是基本的和唯一的取决于基质吸力梯度。图2.1中阐明假想的三种情况，显示出同一高程上非饱和土单元两端受控制的空气和水的压力梯度。在所有情况下，左边的空气压力和水压力都大于右边的空气压力和水压力。

左地的基质吸力可能小于右边（第一和情况）、等于右边（第二种情况）或大于右边（第三种情况）。但是，不管基质吸力梯度怎样，空气和水将取决于各相的压力梯度而由左向右流动。甚至在第二种情况下，基质吸力为0，空气和水仍将流动。流动更适宜于用各相的水力梯度（在这一情况下，即为压头梯度）来定义.所以对于非饱和土中水的流动，基质吸力梯度并不是基本的驱动势能。在空气压力梯度为0的特定情况下，基质吸力梯度数值上等于水的压力梯度。自然界通常就是这种情况，这就可能是建议用基质吸力形式表达水流动的理由。但是，这时位置水头分量被略去了。

土中水的流动不仅是受压力梯度控制，而且也受由于高程差而引起的梯度控制。压力水头梯度和位置水头梯度一起给出一水力梯度，作为基本的驱动势能.在特定液相内的水力梯度是该相流动的驱动势能，这对饱和士及非饱和土都是正确的。

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图2.1 非饱和土单元两端的压力梯度和基质吸力梯度

2.1 水相的驱动势能

某点的能量相对于某一基准面而计算，基准面是任意选择的，因为对描述流动重要的是两点间的能量梯度。水相中某一点有三种主要的能量分量，即中立、压力、和速度。如图2.2中的A点，可以求出其三种能量：

图2.2 相对于一任意基准面的A点在y方向的能量

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重力能：EgMwgy

uwVw压力能：EpMwduw

0Mw 也可写成：EpMw2Mwvw速度能：Ev

2uwduw0w

A点的总势能是重力、压力和速度三个分量之和：

EMwgyMwuww2Mwvw 2A点的总能量可以表示为单位重量的能量，称为能头或水头。A点的水头hw可以将上式A点的能量除以水重得到：

2uuwvw，忽略水的速度得：hwyw hwywgwg2g可以看出水头具有长度的尺度。水头是可以度量的量，水力梯度导致饱和及非饱和土中的流动。测压计、张力计可以测量某一点的原位孔隙水压力，在某点高程至基准面的距离即位置水头。

图2.3 饱和土与非饱和土中势能及能头的概念

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如图2.3中A、B两点，A点的总能头高于B点(hw(A)hw(B))。水将因这两点间的总水力梯度而从A点流向B点。引起水相流动的驱动势能对于饱和土（即B点）和非饱和土（即A点）都具有相同的形式。不论空隙水压力是正还是负，水总是从总能高的点流向总能头低的点。

渗析吸力有时也作为一个分量包括在总能头流动方程中。但是，较好的是将渗析吸力梯度作为渗析扩散过程的驱动势能。渗析扩散是一种离子或分子的运动，在其动力活动性下导致运动的过程。将水的总体流动与渗析扩散过程分别进行分析会更好一些。

2.2 非饱和土的Darcy定律

饱和土的达西定律是vwkwhw，其中kw是渗透系数，为水的流速与水力 y梯度间的比例系数。渗透系数对于一特定的饱和土来说接近于常数。Richard于1931年扩展了达西定律，用来描述非饱和土中水流通量与水力梯度的关系。但是，在非饱和土中的渗透系数一般不能假定为常数。相反渗透系数是变量，主要是非饱和土含水量或基质吸力的函数。

可以设想水仅通过水占有的孔隙空间流动。空气所占有的孔隙对水的流动来说是非传导性的流槽。所以，非饱和土中空气占有孔隙的性状可视为与固相相似，土可以处理为减小含水量的饱和土。从而非饱和土中 Darcy 定律的适用性可以像饱和土中一样得到论证。但是，当水力梯度变化时，水的体积(或含水量)应该是常数。

Childs和Collis-George在1950年曾进行过Darcy定律对非饱和土实用性的实验，成果如图2.4所示。

图2.4 非饱和土中水流Darcy定律的试验论证

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一非饱和土的柱体，具有均匀的含水量及不变的压力水头，并施加不同的重力头梯度。成果表明，在一特含水量现，对于作用于非饱和土上的不同水力梯度（即此时仅变化重力头），渗透系数kw 是常数。换句话说，通过非饱和土的水流速与水力梯度呈线性比例关系，而渗透是一常数，这与饱和土中的情况相同。这证明Darcy定律也使用于非饱和土。但是在非饱和土中，渗透系数的大小将随不同体积含水量w而有所不同。

3 水相的渗透性

水相的渗透系数kw是士中可用于水流动空间的一种度量。渗透系数取决于流体的性质和孔隙介质的性质。不同类型的流体（如水和粘土）或不同类型的土（如砂和粘士）给出不同的渗透系数kw值。

3.1 流体及孔隙介质分量

水的渗透系数kw可以用固有渗透性K表示：kw式中，w是水的绝度粘度，K是土的固有渗透性。其中，土的固有渗透性表示孔隙介质的特性，而与渗透流体的特性无关。而流体特性一般认为在流动过程中是一常数。孔隙介质的则是土的体积-质量性质的函数。

wgK w3.2 渗透性与体积-质量性质的关系

在饱和土中，渗透系数是孔隙比的函数( Lambe 和 Whitman，1979 ) 。但是，在分析问题（如瞬变流）时，一般假定饱和土的渗透系数为常数。

在非饱和士中，渗透系数同时受到土的孔隙比和饱和度（或含水量）变化的强烈影响。由于水通过为水所充填的孔隙空间流动，所以充水孔隙的比例是一重要的因素。当一种土变成非饱和时，空气首先取代某些大孔隙中的水，导致水通过较小孔隙流动，从而使流程的绕曲度增加，土的基质吸力的进一步增加导致水占有的孔隙体积进一步减少。换句话说，即气水界面越来越靠近土颗粒（图3.1），结果是水相的渗透系数随着可供水流动的空间减少而急剧降低。

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图3.1 在不同基质吸力或饱和度情况下非饱和土中气水界面移动的发展情况

3.3 饱和度变化对渗透性的影响

非饱和土的渗透系数在非稳定过渡过程中，由于体积-质量性质的变化而有显著变化。非饱和土的孔隙比变化可能很小，它对渗透系数的影响可能是次要的。但是，饱和度变化的影响是十分重大的。因而常常将渗透系数表达为饱和度S或体积含水量w的单一函数。

饱和度或含水量变化而引起的基质吸力的变化，要比由净法向应力变化所引起的大的多。饱和度通常被表述为基质吸力的函数。其相互关系称为基质吸力与饱和度关系曲线，如图3.2(a)所示。

用基质吸力与饱和度关系曲线或土-水特征曲线都可以导出许多渗透系数的半经验公式。不管在那种情况下，土孔隙尺寸分布是预测渗透系数的基础。孔隙尺寸分布的概念在岩土工程中还是比较新的，而在其他学科中则曾被用于合理地预测土的渗透特性。

3.4 渗透系数与饱和度的相互关系

Burdine (1950)、Brooks和Corey (1964)曾建议过由基质吸力与饱和度关系曲线得出渗透系数函数。基质吸力与饱和度的关系曲线是有滞回环的。仅将排水曲线用于他们的推导中。此外还假定土的骨架是不可压缩的。

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(a) (b)

图3.2 进气值(uauw)b、剩余饱和度Sr及孔隙尺寸分布指标的确定(a)基质吸力与饱和度关系曲线；(b)有效饱和度与基质吸力关系曲线

从基质吸力与饱和度的关系曲线上可以确定三个土的参数。这就是土的进气值(uauw)b、剩余饱和度Sr及空隙尺寸分布指标。如饱和状态用有效饱和度Se 表示，则这几个参数就易于具体化了：

SSrSe

1Sr从图3.2(a)中的数据以及有效饱和度的定义可以得到基质吸力与有效饱和度的关系图，如图3.2(b)所示，关系式为：

(uu)Seawbfor(uauw)(uauw)b

(uauw)

式中指孔隙大小分布指标，定义为有效饱和度Se与基质吸力(uauw)曲线的负斜率。具有空隙尺寸范围广的土具有小的值。孔隙尺寸分布越均匀， 值也越大。水相的渗透系数kw可以从基质吸力与饱和度关系曲线预测如下：

kwks fo(ruauw)(uauw)b

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 fo(ruauw)(uauw)b kwksSe式中，ks是饱和土的透水性系数；为经验常数，与孔隙尺寸分布指标关系

23为：，表2.1列出了不同土类的值。

表3.1 不同土类常数的建议值及孔隙尺寸分布指标值

透水性系数kw也可以用基质吸力的函数表达，只要将有效饱和度Se代入渗透性函数即可。

3.5 透水性系数与基质吸力的关系

透水性系数kw也可以用基质吸力的函数表达，只要将有效饱和度Se代入渗透性函数即可。其他几个作者也曾建议过一些渗透性系数与基质吸力的关系式，如图3.3。

图3.3 透水性系数与基质吸力的关系

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3.6 透水性系数与体积含水量的关系

透水性系数kw也可以与体积含水量w相联系，体积含水量可以绘制成基质吸力(uauw)的函数，这种图就称为土-水特征曲线。所以渗透性函数kw(w)也可以表达为基质吸力的函数。换句话说，土-水特征曲线可以设想为充水孔隙形状的指标。渗透系数可以这样得到，即将土-水特征曲线沿体积含水量轴分为m个等分，如图3.4所示。相应于每一个等分中点的基质吸力可用于计算渗透系数。渗透系数函数表示为：

kwwiksTs2wgspm2., (2j12i)(uauw)j i1,2,..m2kse2wNji上述计算渗透性函数的方法对孔隙大小分布相对较窄的砂性土最为成功。某一体积含水量w下的渗透系数kw直接从上式计算出来。渗透性函数的大小还需要参照实测饱和渗透系数ks而用匹配因子加以调整。所以饱和渗透系数一经测定，则渗透性函数就可以从土-水特征曲线直接预测出来。

图3.4 根据土-水特征曲线预测渗透系数

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3.7 渗透函数的滞后

渗透系数kw和体积含水量w或饱和度S直接相关，所以渗透系数与体积含水量或者饱和度的关系曲线在干燥和浸湿状态下没有滞后现象，如图2.9(a)所示。由于土中水的体积和应力状态（即基质吸力）之间的关系有滞后，所以对渗透系数和基质吸力之间的关系也有滞后现象，分别如图3.5(b)、3.5c)所示。

(a) (b)

(c)

图3.5 透水性系数、基质吸力、体积含水量三者间的相互关系

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4 实际渗流问题

渗流问题通常分为稳态流和非稳态流的分析。对于稳态流分析，土体中任何一点的水头和渗透系数不随时间而变。对于非稳态流分析，水头（也可能渗透系数）随时间而变。这些变化通常反映出边界条件随时间的变化。这里只考虑稳态流，稳态流又有稳态水流和稳态空气流，这里只介绍稳态水流的渗流问题。

不可压缩流体（如水）的流量用q来表示。流量等于流速v乘以断面积A 。另一方面，可压缩流体 （如空气）的流量通常用质量来表达。控制渗流的偏微分方程用质量守恒推导。不可压缩流体稳态渗流的质量守恒支配某一单元的流入量必须等于其流出量。换句话说，在土体内任何一点的净流量必须为零。对于可压缩流体，在稳态渗流条件下，为满足质量守恒定律，故通过某一单元的净质量也必须为零。

4.1 稳态水流

水通过土的缓慢运动通常称为渗流和渗透。对于边坡稳定、地下水污染控制和土坝设计，渗流分析可能是一项重要研究内容。渗流分析包括在渗流域内水流速度和方向，以及孔隙水压力分布的计算。

常规计算中主要考虑饱和土区的渗流问题，最新研究表明，饱和区和非饱和区之间也有连续水流。非饱和区的渗流与饱和区的渗流存在异同点，相同点为都受到相同的定律控制（即Darcy定律）；流动偏微分方程的推导相同；非饱和土过渡到饱和状态是连续的。不同点为饱和土透水系数为常数，非饱和土则为吸力、含水量或某些其他变量的函数；饱和土孔隙水压力为正，非饱和土一般为负值。

4.2 非饱和土渗透系数的空间变化

对于稳态渗流分析，土中每一点的渗透系数为一不随时间而变的常数。但是在非饱和土中渗透系数常常是各点互不相同的。饱和土中渗透性的空间变化可以归于土颗粒的非均质性。对于非饱和土，更可能是考虑孔隙水的非均质体积分布。虽然土颗粒分布可能是均质的，孔隙流体的体积分布也可能由于基质吸力的空间变化而成非均质，具有高基质吸力（或低含水量）的点渗透系数将低于具有低基质吸力的点。

a. 非均质各向同性稳态渗流 A点有kxky B点有kxky

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b. 非均质各向异性稳态渗流

kkA、B两点间渗透系数关系为xx1

kkyAyB

c. 渗透系数连续变化

kxkx A、B两点间渗透系数关系为kyAkyB

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4.3 一维流举例

一般情况下水都有一个主流向。以某一地表面为例，地下水位于某一深度，考虑地面被覆盖、稳态蒸发、稳态入渗三种情况。

4.3.1 地表面被覆盖

如下图中红线圈起的部分，此处地表面的覆盖物阻止了任何由地面向下的垂直水流。在相对于地下水位出静力平衡条件下，孔隙水压力为负值，孔隙水压力随深度呈线性分布，其值等于地下水位为基准面量测的重力头。水头在整个区域内都为零，所以垂直方向没有水流。

图4.1 地表面被覆盖渗流情况

4.3.2 稳态蒸发

如下图红线圈起的部分，地表面暴露在环境中，稳态蒸发条件下，孔隙水压力负的更多，而重力头保持常数，导致非饱和土水头为负值，从地下水位处的零水头变为地面负的更多的值，呈非线形分布。水顺着水头降低的方向流动，即从地下水位处向上流到地面。

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图4.2 稳态蒸发条件下渗流情况

4.3.3 稳态入渗

如下图红线圈起的部分,稳态入渗地表处的孔隙水压力为正值。水头从地下水位零水头出增加至地表正的更多的值，水从地表流向地下。

图4.3 稳态入渗条件下渗流情况

上述一维流动情况涉及流量边界条件。稳定的蒸发和入渗率可以用作地面处的边界条件。地下水位作为下部边界条件，给出固定的零孔隙水压力头。

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4.4 一维流推导

考虑一土体单元，在y方向有一维水流，如图4.4所示。依据水流连续性条件有：

dvwy vzvwydxdz0 （1） wydydydxd代入达西定律有：

dkwy(uauw)dhw/dydydxdyd0z （2）

考虑到dx、dy、dz非零，有：

d2hwdkwydhw kwy0 （3）

dy2dydy式3的非线性是由其第二项引起的，它涉及渗透性的变化。当土变为饱和土时，透水性系数kwy变为一单值的饱和渗透系数ks。如果饱和土是非均质的，ks仍将随位置变化。在饱和土中，非均质土颗粒的分布是引起渗透系数变化的主要因素。

所以流动方程为：

d2hwdksdhw ks0 （4）

dy2dydy比较（3）式和（4）式，可以看出，非饱和土和饱和土流动方程形式相同。在非

饱和土中，渗透系数的变化是由于孔隙流体体积不均匀分布而导致不同的基质吸力所致。

如果是均质饱和土体，其流动方程变为：

d2hw 0 （5）

dy24.5 一维流的解

均质饱和土的流动方程式（5）可以直接两次积分，结合边界条件求的。而非饱和土的流动方程式（3）的解比饱和均质土复杂，使用有限差分法可以得到方程解。

考虑到函数hy随空间变化的情况，渗流微分方程可写成有限差分形式，如图4.4所示。沿曲线各点的函数值用Taylor级数计算：

dhy2d2hy3d3hhi1hiydy2!dy23!dy3... (6)

iii

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dhy2d2hy3d3hhi1hiydy2!dy23!dy3... (7)

iii(6)、(7)式相减，并略去高阶项可得：(dhhh)ii1i1 (8) dy2yd2hhi1hi12h(6)、(7)式相加，并略去高阶项可得： (9) 2dy2y(8)、(9)式叫做函数hy在i点的一阶和二阶导数的中心差分逼近，可用于后面微分方程的求解。

图4.4 函数hy用有限差分形式表示

接下来求解非饱和土流动方程。求解方程式需明确边界条件，这里以已知水头边界条件为例。

非饱和土的稳态蒸发如图4.5所示。将张力计安装于地面附近以量测负孔隙水压力，当张力计读数随时间保持常数时，假设为一维稳态渗流。在土柱底部（即地下水位处）的孔隙水压力等于零。

土柱长度首先划分为n个等距离节点，其间距为y，中心差分逼近可以导出（3）式的水头和渗透系数，其中水头如式(8)、(9)所示。带入（3）式得：

hw(i1)hw(i1)2hw(i)kwy(i1)kwy(i1)hw(i1)hw(i1) kwy0 （10）2(y)2y2y

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图4.5 常见水头边界条件下通过非饱和土的一维稳态渗流

假设y相同，（10）式可变为：

（11）

外部点的水头即为边界条件，有： 在y0.0处（底部） hw(1)=0.0 在yhgn处（顶部） hw(n)hgnhpn

渗透系数kwy是基质吸力的函数，它反过来与水头hw有关，所以方程是非线性的，需要多次迭代以保证收敛性。对于第一次选代，所有点的kwy值可以设定为饱和渗透系数ka。(n - 2)个线性化方程可以用像 Gauss 消元法那样的方法同时求解。计算出的水头用于计算新的渗透系数倍。每一点的渗透系数值必须符合渗透系数与基质吸力的关系，然后将修正的渗透系数值用于第二次选代，对所有深度都计算出新的水头值。迭代过程重复进行，直到计算水头和渗透系数不再有重大变化为止。

图4.6给出了沿非饱和土柱孔隙水压力和水头分布的典型例子。渗流是在稳态蒸发条件下产生的。渗流方程的非线性导致水头及孔隙水压力头的非线性分布。沿士柱的等势线并不是等距的，这与均质饱和土柱中均匀间距的等势线是不

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同的。这是整个非饱和土柱的渗透系数各处不同所致。上述分析同样适用于通过非饱和士自上而下的稳态水流，再一次表明沿土柱两点的水头边界条件必须是己知的。

图4.6 通过非饱和土柱的稳态蒸发

除了知道水头边界条件可以求解外，已知流量边界条件也可进行求解，这里就不介绍了。

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参考文献

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