【智博教育原创专题】恒成立问题练习题

a[1,1]都成立，则实数t的取值范围为 t(,2]{0}[2,)

3.已知三个不等式①x24x30，②x26x80，③2x29xm0，要使同时满足①②的所有x的值满足③，则m的取值范围为 m9

4.若当P(m,n)为圆x2(y1)21上任意一点时，不等式mnc0恒成立，则c的取值范围是（ ）

A.12c21 B.21c21 C.c21 D.c21 【解析】由mnc0，可以看作是点P(m,n)在直线xyc0的右侧，而点P(m,n)在圆

x2(y1)21上，实质相当于是x2(y1)21在直线的右侧并与它相离或相切。01c0|01c|c21，故选D。 22111x25.（2010天津）设函数f(x)x21，对任意x,,f()4m2f(x)f(x1)4f(m)，恒成

m3立，则实数m的取值范围是 。

x23【解析】依据题意得214m2(x21)(x1)214(m21)在x[,)上恒定成立，即

m2132325332在上恒成立。当时函数取得最小值， 4m1x[,)xy1222mxxxx3223315所以24m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m。

22m326.若函数f(x)(a21)x2(a1)x的定义域为R，求实数a的取值范围为 a[1,9]

a17.★已知二次函数f(x)ax22x2a，若f(x)0的解集为A,Bx|1x3,AB，则实

数a的取值范围 (,2)(,)【提示】在区间x1,3上，f(x)max0。

6712取值范围 (1,0)(0,)

8.★已知函数f(x)lnx,g(x)ax22x,a0，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，则a的9.设不等式mx2x10在区间(1,3)上对一切x恒成立，则实数m的取值范围为 。

x1在x(1,3)时恒成立。设2xx11111111g(x)2（)2,x(1,3)，当，即x2时，g(x)min,m。

xx24x24410.⑴已知函数y12xm4x的定义域是(,1),则实数m的取值范围 。

【解析】不等式mx2x10在区间(1,3)上恒成立，即m【解析】本题应属于不等式恒成立问题，即当x(,1)时，12xm4x0恒成立，即不等式

2x11x12x1111mx当x(,1)时恒成立。设g(x)xx,x(,1),x1,(),

424224211133g(x)()2,又mg(x),m。

22444x22xa⑵ ★（恰成立）已知f(x)，当x1,,f(x)的值域是0,,则实数a____3

x2x22xa0的解集是x1,。 【解析】一个恰成立问题,这相当于f(x)xx22xaax23,与其值域是0,矛盾, ①当a0时,由于x1时, f(x)xx2x2xaax2是1,上的增函数,所以,f(x)的最小值为f(1), ②当a0时, f(x)xx令f(1)0,即1a20,a3。

kx2kx62对任意的xR恒成立，求实数k的取值范围为 11.已知不等式2xx2912.设函数f(x)x3x26xa，对于任意实数x,f(x)m恒成立，则m的最大值为 2【解析】f'(x)3x29x6,对xR,f'(x)m,即3x29x(6m)0在xR上恒成立,

338112(6m)0, 得m，即m的最大值为。

4413.若不等式ax10对x1,2恒成立，则实数a的取值范围为

14.已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒成立，求a的取值范围。

【解析】本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意x[2,2],f(x)min2。若x[2,2],f(x)2恒成立x[2,2],f(x)mina222或

f(x)minf(2)73a2a22a22或，即a的取值范围为[5,222]。 22aaf(x)f()3a2f(x)minf(2)7a2min24【点评】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用f(x)m恒成立f(x)minm;f(x)m恒成立f(x)maxm。本题也可以用零点分布策略求解。 115.若对任意实数x和任意0,，恒有(x32sincos)2(xasinacos)2，则实

82数a的取值范围

17【解析】由均值不等式得原不等式(32sincosasinacos)2a6或a。

4216.若对所有的xe,都有xlnxaxa成立，则实数a的取值范围为

xlnxxlnx在xe,上恒成立，令f(x)，于是只需要满足x1x1x1lnxaf(x)min(xe,),f(x)，此时既不好找f(x)的零点，也不好判断它的正负，

(x1)211令g(x)x1lnx,g(x)1,xe,,10,g(x)0,g(x)在xe,是增函数，

xxeg(x)g(x)e2,f(x)0,f(x)在xe,上为增函数，f(x)minf(e),a的范

e1e围为a。

e117.函数f(x)12x4lnx3x4c对任意的x0不等式f(x)c2恒成立，则实数c的取值范围为 【解析】由题意有a解：由题意原命题12x4lnx3x4cc2在x0上恒成立，令g(x)12x4lnx3x4，于是当x(1,)时，g(x)0,g(x)为增函数，gxg13;g(x)在x0上的最小值为

g(x)g(1)3； 当x(0,1)时g(x)0,g(x)为减函数，cc2g(x)min(xR),g(x)48x3lnx，

113113或c。 2218.已知函数f(x)ax22ln(1x)(aR)，若f(x)在3,2上是增函数，则a的取值范围 。

3,cc23，于是可得c的取值范围为c2ax22ax210在x3,2上恒成立a【解析】由题意分析只需f(x)在

x1x1xx3,2上恒成立a[1]min在x3,2上恒成立，而

x1x11111当x2时x(1x)max6，于是。 x(1x)x2xx，,a2466x(1x)min19.已知函数f(x)x24x5，若在区间[1,5]上，ykx3k的图象位于函数f(x)的上方，则k的取值范围为

【解析】本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于x[1,5],kx3kx24x5恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于x[1,5],kx3kx24x5恒

2x24x5x24x5,x[1,5],设x3t,t[2,8],成立k对于x[1,5]恒成立,令yx3x316则y(t)10,t[2,8],当t4,即x1时ymax2,k的取值范围是k2。

t【变式】★若本题中将ykx3k改为yk(x3)2，其余条件不变，则也可以用变量分离法解。

x24x5由题意得，对于x[1,5],k(x3)x4x5恒成立k对于x[1,5]恒成2(x3)22x24x516104529x3t,t[2,8],x[1,5]立,令y,设,则 y1(),t[2,8]，

(x3)2t2tt416当

45199，即x时,ymax,k的取值范围是k。 t451616【点评】本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解。 20.不等式kxsin2x在x(0,)恒成立，则实数k的取值范围为 。

2【解析】令f(x)kx,g(x)sin2x，由题意只需f(x)g(x)在x(0,)上恒成立，而f(x)kx是

2过原点的直线，所以只需k大于g(x)sin2x在x(0,)上的斜率的最大值，又

2g(x)cos2x,x(0,),[g(x)]max1,k1。

221.当x0时，不等式kxln(x1)恒成立，求实数k的取值范围。

【解析】令f(x)kx,g(x)lnx1，由题意，只需f(x)g(x)在x0上恒成立，而f(x)kx是过原点的直线，由图象可知，只需k大于g(x)在x0上的斜率的最大值即可，于是

g(x)11(x0),k1。 x122.若函数f(x)ax2ax1在R上恒有f(x)0则a的取值范围为 4a0

【分析】因为a的取值可确定函数f(x)是一次函数或是二次函数，进而根据二次函数f(x)0在xR恒成立则必须有a24a0，进而求得a的取值范围，同时当a0时函数f(x)为一次函数，此时函数值为f(x)1符合要求，从而求得a的取值范围。

【解析】①当a0时，f(x)10；②当a0时，要使f(x)0恒成立，则必须有a24a0，即4a0，所以4a0。

23.设函数f(x)ax24x,g(x)axa, ,若恒有f(x)g(x)成立,则实数a的取值范围 【解析】由题意得f(x)g(x)x4xax2a,令y1x4x①, y2ax2a②。①可化为(x2)2y124(0x4,y10)，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆；②表示经过定点(2,0)，以a为斜率的直线，要使f(x)g(x)恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有222a2a1a22，即a3，由图可知，要使3f(x)g(x)恒成立，实数a的取值范围是a3。 33 324.不等式axx(4x)在x[0,3]内恒成立，求实数a的取值范围为 a【解析】画出两个函数数yax和yx(4x)在x[0,3]上的图象，

333,x[0,3]时总有axx(4x)，所以a；当a。

33325.若对任意xR,不等式xax恒成立，则实数a的取值范围是【B】

如图知当x3时y3，aA.a1 B.a1 C.a1 D.a1

【解析】对xR,不等式xax恒成立，则由一次函数性质及图像知1a1，即a1。

26.已知关于x的方程lg(x220x)lg(8x6a3)0有唯一解，则实数a的取值范围为 。

【分析】原方程可化成lg(x220x)lg(8x6a3),从而得x220x8x6a30,若将等号两边分别构造函数即二次函数yx220x与一次函数y8x6a3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

【解析】令T1:yx20x(x10)100,T2:y8x6a3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

①当直线为l1时，直线过点(20,0)，此时纵截距为6a3160a22

163; 611631,。 ②当直线为l2时，直线过点(0,0)，纵截距为6a30a,a的范围为622

27.已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m,nR,m0。⑴求m与n的关系式；⑵求f(x)的单调区间；⑶当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。

432(x1)cos(cos5)x3sin1，对于一切实数x均成立的的取值范围。 28.试求不等式

x2x1【解析】⑴n3m6；⑵(,0)【导数的最小值大于3m即可】 【分析】根据不等式的性质将原不等式转化为

(cossin1)x2(cossin4)xcossin40，再令tcossin,2t2，不等式可化为(t1)x2(t4)xt40，对于xR恒成立由二次函数的图像求得t的取值范围，进而解得的取值范围。 【解析】x2x1(x)2130，故原不等式等价于下列不等式

24(cossin1)x2(cossin4)xcossin40，令tcossin,2t2，不28t10或（舍），故t,t023(t4)4(t1)(t4)0等式可化为(t1)x2(t4)xt40对于xR恒成立，故由二次函数的图像可知

30cossin2,2k2k,(kZ)。

44a332xx(a1)x1，其中a为实数，若不等式f(x)x2xa1对任意32a(0,)都成立，求实数x的取值范围。

【分析】已知参数a的范围，要求自变量x的范围，转换主参元x和a的位置，构造以a为自变量x作为参数的一次函数g(a)，转换成a(0,),g(a)0恒成立再求解。

29.已知函数f(x)【解析】由题设知“ax23x(a1)x2xa1对a(0,)都成立，即a(x22)x22x0对a(0,)都成立。设g(a)(x22)ax22x(aR)，则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。x220恒成立，则对xR,g(a)为R上的单调递增函数。 所以对a(0,),g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0,x22x0,2x0，于是x的取值范围是{x|2x0}。 30.三个同学对问题“关于x的不等式x225x35x2ax在1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”。

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a的取值范围.

【解析】关键在于对甲、乙、丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映。 设f(x)x225x35x2,g(x)ax。

甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设

f(x)x225x35x2,g(x)ax，其解法相当于解下面的问题：

对于x1,x21,12,若f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围。所以，甲的解题思路与题目

x1,12,f(x)g(x)恒成立,求a的取值范围的要求不一致。因而, 甲的解题思路不能解决本题；

按照丙的解题思路需作出函数f(x)x225x35x2的图象和g(x)ax的图象,然而,函数f(x)的图象并不容易作出。 由乙的解题思路,本题化为由

f(x)f(x)a成立。a在x1,12上恒成立,等价于x1,12时,xxminf(x)25xxx5在x51,12时,有最小值10,于是a10。 xx31.已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a,b为常数。 ⑴试确定a,b的值；

⑵讨论函数f(x)的单调区间；

⑶若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围。

【解析】⑶由⑵知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值。要使3只需3c2c2.即2c2c30，从而(2c3)(c1)0. 解得cf(x)2c2(x0)恒成立，

2或c1,c的取值范围为(,1][3,)。

232.已知函数f(x)x39x2cos48xcos18sin2,g(x)f(x)，且对任意的实数t均有

g(1cost)0,g(3sint)0。 ⑴求函数f(x)的解析式；

⑵若对任意的m[26,6]，恒有f(x)x2mx11，求x的取值范围。

【解析】⑴g(x)f(x)3x218xcos48cos,tR,01cost2,23sint4，而

g(2)0g(1cost)0,g(3sint)0恒成立.则由二次函数性质得 ，解得

g(4)01cos1,cos,sin0,f(x)x39x224x。

2⑵f(x)x2mx11mx9x224x110，令h(m)mx9x224x11，则

h(26)26x9x224x110，解得f(x)xmx11 即h(m)0，由于m[26,6]，则有2h(6)6x9x24x11011x1。所以x的取值范围为[,1]。 33233. ★已知两个函数f(x)8x216xk,g(x)2x35x24x，其中kR ⑴对任意x[3,3]，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围； ⑵存在x[3,3]，使f(x)g(x)，求k的取值范围；

⑶对任意x1,x2[3,3]，都有f(x1)g(x2)成立，求k的取值范围 【解析】

⑴设h(x)g(x)f(x)2x35x24x(8x216xk)2x33x212xk，问题转化为x[3,3]时，h(x)0恒成立，故h(x)min0，令h'(x)6x26x120，得x1或2。由

h(1)7k,h(2)20k,h(3)k9,h(3)k45，故h(x)mink450k45。

⑵据题意：存在x[3,3]，使f(x)g(x)成立，即为h(x)g(x)f(x)0在x[3,3]有解，故h(x)max0，由⑴知h(x)maxh(1)7k0k7，于是得k7。

⑶它与⑴问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1,x2[3,3]，都有

f(x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1,x2的取值在[3,3]上具有任意性，因

••x[3,3]•，由g'(x)6x210x40，而要使原不等式恒成立的充要条件是：fmax(x)gmin(x),得x或1，易得gmin(x)g(3)21，又f(x)8(x1)28k,x[3,3]•，故

【点评】本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。 34. ★设x3是函数f(x)(x2axb)e3x的一个极值点。 ⑴求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； ⑵设a0,g(x)(a223fmax(x)f(3)120k，令120k21k141。

25x)e,若存在1,20,4使得f(1)g(2)1成立，求a的取值范围。 4【解析】本题的第⑵“若存在1,20,4使得f(1)g(2)1成立，求a的取值范围。”如何理解这一设问呢？如果函数f(x)在x0,4的值域与g(x)在x0,4的值域的交集非空，则一定存在如果函数f(x)在x0,4的值域与g(x)在x0,4的值域1,20,4使得f(1)g(2)1成立，

的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可。由⑴可得,函数f(x)在x0,4的值域

22522543g(x)为,又在的值域为x0,4(2a3)e,a6a4,(a4)e，存在1,20,4使得f(1)g(2)1成立，等价于f(x)maxg(x)min1或g(x)maxf(x)min1，容易证

225(a6)1325a0a。 明,a2a6。于是,424a035.

36. 1