第五章习题

E124.5eV

第二个电子电离过程,可以认为是类氢离子的电离,需要的能量为:

11E2hvRhcZ2()ERhcz22213.6eV54.4eV 1n 所

以

两

个

电

子

逐

一

电

离

时

外

界

提

供

的

能

量

为

:

EE1E224.5eV54.4eV78.9eV

5-2 计算4D3/2态的L·S.(参阅4.4.205)

分析要点:L与S的点积,是两矢量的点积,可以用矢量三角形的方法,用其他矢量的模来表示;也可以求出两矢量模再乘其夹角的余弦.

1LS[J(J1)S(S1)L(L1)]2解：依题意知，L=2，S=3/2，J=3/2 J=S+L 213333J2=S2+L2+2S·L [(1)(1)2(21)]222222据 32 5-3 对于S=1/2，和L=2，试计算L·S的可能值。 要点分析:矢量点积解法同5-2.解：依题意知，L=2，S=1/2 1LS5[J(J1)S(S1)L(L1)]222个值。 15511因此当J=3/2时有：据： [(1)(1)2(21)]2 2212222LS[J(J1)S(S1)L(L1)]22 可求出J=L±1/2=2±1/2=3/2，5/2有两3213311[(1)(1)2(21)]222222322当

J=5/2

时

有

：

据

322 故可能值有两个：， 2而

3

：

5-4试求F2态的总角动量和轨道角动量之间的夹角。(参阅4.3.302) 解: 总角动量 PJJ(J1) (1)轨道角动量PLL(L1) (2) S(S1) (3) 自旋角动量 PS222PPP 三者构成矢量三角形,可得:SLJ2PLPJcos(PLPJ) PL2PJ2PS2 cos(PLPJ)2PLPJ得

(4)把(1) (2) (3) 式代人(4)式:

cos(PLPJ)L(L1)2J(J1)2S(S1)22L(L1)J(J1) 对3F2态 S=1 L=3 J=2 代人上式得:

cos(PLPJ)0.9428

1928'

5-5 在氢、氦、锂、铍、钠、镁、钾和钙中，哪些原子会出现正常塞曼效应?为什么?

解: 正常塞曼效应的条件是,S=0,即2S+1=1是独态,也即电子为偶数并形成独态的原子,才能有正常的塞曼效应. 依据条件,氦、铍、镁、钙会出现正常塞曼效应。

5-6 假设两个等效的d电子具有强的自旋-轨道作用，从而导致j-j；耦合，试求它们总角动量的可能值．若它们发生L-S耦合，则它们总角动量的可能值又如何?在两种情况下，可能的状态数目及相同J值出现的次数是否相同?

5-7 依L-S耦合法则，下列电子组态可形成哪些原子态?其中哪个态的能量最低? （1）np；(2)np；(3)nd(n′d)．

解：（1）对于np4的原子态同np2的原子态完全一样。 l1=l2=1, s1=s2=1/2

依L-S耦合原则，L= l1+l2，l1+l2-1，…|l1-l2|=2,1,0 S= s1+s2，s1+s2-1，…|s1-s2|=1,0于np2来说，n,l已经相同，考虑泡利不相容原理，只有ms,ml不能同时相同的原子态才存在；即只有满足斯莱特方法的原子态才存在，用斯莱特方法分析,原子态反映SL的状态,它包含SL所有投影，可能的原子态应有：(注:排表时不能写出ML,MS为负值的哪些电子分布,可以证明,它们不能出现新的状态) L=2，S=0

34

5

p2,1,0

L=1，S=1

31D2 L=0，S=0 S

L=2，S=1 n,l,ml,ms 都相同

D3,2,1 不存在

L=1，S=0 n,l,ml,ms 有几个相同态都满足,不符合泡利原理. L=0，S=1 n,l,ml,ms 都相同

3S1 同科不存在

后面几个态不符合泡利原理,即不存在.

基态分析:对np2电子来说,是同科电子,根据洪特定则,自旋S=1时,能量最低,即s1= s2=1/2.mlms都相同,那么只有ml不同,L≠2,L≠0,只有L=1.2个P电子组合,按正常次序,J取最小值1时能量最低,基态应是3P0.

（2）同理，对于np5的原子态同np1的原子态完全一样。 有L=1,S=1/2 原子态

2P3/2,1/2

基态 2P1/2 如硼,铝,钾等

3）对于nd(n′d)，由于电子为非同科电子，其原子态可以全部计算。 依L-S耦合原则，L= l1+l2，l1+l2-1，…|l1-l2|=4,3,2,1,0 S= s1+s2，s1+s2-1，…|s1-s2|=1,0 其组合的原子态有：

L=4，S=0 J=4 L=3，S=0 J=3 L=2，S=0 J=2 L=1，S=0 J=1 L=0，S=0 J=0 L=4，S=1 J=5，4，3 L=3，S=1 J=4，3，2 L=2，S=1 J=3，2，1 L=1，S=1 J=2，1，0 L=0，S=1 J=1 所以有：

1S0，1P1，1D2，1F3，1G4，3S1，3P2,1,0，3D3,2,1，3F4,3,2,，3G5,4,3.

基态: S最大,L最大.J最小.应为:

3G5,两非同科d电子此种情况很少见.常见的为同科p,d,f电子.

5-8 铍原子基态的电子组态是2s2s，若其中有一个电子被激发到3p态，按L—S耦合可形成哪些原子态?写出有关的原子态的符号．从这些原子态向低能态跃迁时，可以产生几条光谱线?画出相应的能级跃迁图．若那个电子被激发到2p态，则可能产生的光谱线又为几条? 解： 1. 2s2s电子组态形成的原子态∵ s1=s2=1/2 l1= l 2=0 l= l 1±l 2=0

S1= s1+s2=1 S2= s1-s2=0 J=L+S J1=L+S1 =0+1=1 J2=L+S2 =0+0=0

∵ 2s2s形成的原子态有3S1 , 1S0四种原子态。由于为同科电子，所以只存在1S0一种原子态。 2 . 2s3p电子组态形成的原子态 ∵ s1=s2=1/2 l 1=0 l 2=1 l l 1±l 2=1 S1= s1+s2=1 S2= s1-s2=0 J=L+S J1=L+S1 =2,1,0 J2=L+S2 =1+0=1

2s3p形成的原子态有3P2,1,0 , 1P0四种原子态。同理2s2p形成的原子态有3P2,1,0 , 1P0四种原子态。 3. 2s2s，2s3p形成的原子态的能级跃迁图根据L-S耦合的跃迁选择定则,可产生的光谱线如图所示。

5-9 证明：一个支壳层全部填满的原子必定具有1S0的基态．

证:例如np闭合壳层,允许安排l=1的六个电子,这六个电子轨道角动量和自旋角动量以及它们在空间方向规定,按泡利原理,可列表: n n n n n n n l 1 1 1 1 1 1 ml 1 1 0 0 -1 -1 ms 1/2 -1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/2 ML=∑Mli= Ml1 + Ml2 + Ml3 + Ml4 + Ml5+ Ml6=1+1+0+0+(-1)+(-1)=0

MS=∑Msi= Ms1 + Ms2 + Ms3 + Ms4 + Ms5+ Ms6 =1/2+(-1/2)+1/2+(-1/2)+ 1/2+(-1/2)=0 ML=0,Ms=0,MJ=0,所以原子态应为1S0.题意得证.

5-10 依照L-S耦合法则,( nd)2组态可形成哪几种原子态?能量最低的是哪个态?并依此确定钛原子的基态．(求基态时,不能有重复原子态)

解：方法一 1. 对于(nd)组态可形成的原子态有

s1=s2=1/2 l1=l2=2 l=l1±l2=4,3,2,1,0 S1= s1+s2=1 S2= s1-s2=0 J=L+S

（1）J1=L+S1 （L=4,J1=5,4,3同科时不存在）;（L=3 ，J1=4，3，2）；（L=2,J1=3,2,1同科时不存在）（L=1,J1=2,1,0）（L=0,J1=1）分别对应于G5，4，3；F4，3，2；D3，2，1；P2，1，0；S1；

3

3

3

3

3

2

(2) J2=L2+S2 =L2+0 4,3,2,1,0 分别对应于 G4;F3;D2;P1;S0; 两者合起来共18(20考虑S1为三个)个原子态。 （3）符合泡利原理的原子态分析

类比前题: 考虑到ndnd是同科电子组合,同科电子时3S1(n,2,0,1/2)不符合泡利原理,不存在. 3G5，4，

3

3

11 1 1 1

,(n,2,2,1/2), 3D3，2，1(n,2,1,1/2), 1P1, 1F3(n,2,(2,1)(-1/2,+1/2))全同粒子.与1G的投影态重复等

(P223).所以形成的原子态中并只存在1S,1D,1G,3P,3F 共9个可能态。 2．按照洪特能量定则,S大的能级低,l大的能量低,3F4，3，2；的能量较低。

按照洪特的附加定则,同一l情况下，同科电子在壳层电子数不超过半数的情况下,J小的能级较低,因而3F2状态能级最低。

3.对于钛原子22Ti,原子外有22个电子，按照壳层填充理论，其电子组态为 1s22s22p63s23p64s23d2,所以钛原子恰好对应ndnd组态。其基态为3F2。 解：方法二 直接按斯莱特方法进行分析。1．∵ S=1,0 L=4,3,2,1,0 2. 按其在Z方向的投影关系，列出ndnd电子的可能组态表；（略） 3. 考虑到它们在Z方向的投影关系,可做出斯莱特图

利用斯莱特图，可确定ndnd同科电子的原子态为S,D,G,P,F.

从上面的分析中我们知道,我们找到的原子态是不考虑投影的,即其它投影的情况包含在这些态中.

1

1

1

3

3

5-11 一束基态的氦原子通过非均匀磁场后，在屏上可以接受到几束?在相同条件下，对硼原子，可接受到几条?为什么? 解：氦原子处于基态时电子组态为 1s1s 其中n11 n21 l10 l20 s1s21 2 所以：ss1s20 L=0 故原子态为 1S0 所以J=0

原子束通过非均匀磁场后在屏上可接收到的束数为（2J+1）条,所以一束基态的氦原子通过非均匀磁场后,在屏上可以接受到一束.而硼原子的电子组态为1s22s22p1则2p态未满:L=1

所以ml- 1 ms111 s 形成的原子态为:Jmlms222,

在相同条件下硼原子可接收到两条。

5-12 写出下列原子的基态的电子组态，并确定它们的基态：15P，16S，17Cl，18Ar。

解：1. 15P的电子组态 1s22s22p63s23p3 同科电子3p3的原子态为4S,2P2D,依洪特定则,S大时能级低.此时,虽表明是四重态,其实,也只有一个态,其J=3/2,由于只有此一个值,故下脚标不标.其基态为4S. 2.16S的电子组态 1s22s22p63s23p4 同科电子3p4的原子态为1S,3P,1D,依洪特定则, 不满壳层电子数为4,电子数超过闭壳层一半,L相同时其J大的为基态,此时3态2P0, 2P1, 2P2基态为3P2. 其基态为3P.

3. 17Cl的电子组态 1s22s22p63s23p5 同科电子3p5的原子态为2P,依洪特定则,不满壳层电子数为5,电子数超过闭壳层一半,L相同时其J大的为基态,此时两态2P1/2, 2P3/2基态为2P3/2. 4. 18Ar的电子组态 1s22s22p63s23p6 满壳层时,原子的基态为1S.

5-13 一束基态的氦原子通过非均匀磁场后，在屏上可以接受到几束?在相同条件下，对硼原子，可接受到几条?为什么?

解：氦原子处于基态时电子组态为 1s1s 其中n11 n21 l10 l20 s1s2 所以：ss1s20 L=0 故原子态为 1S0 所以J=0 原子束通过非均匀磁场后在屏上可接收到的束数为（2J+1）条 所以一束基态的氦原子通过非均匀磁场后,在屏上可以接受到一束. 而硼原子的电子组态为1s22s22p1则2p态未满：L=1所以ml- 1 ms形成的原子态为：Jmlms1 211 s 221在相同条件下硼原子可接收到两条。 2

5-14 写出下列原子的基态的电子组态，并确定它们的基态：15P，16S，17Cl，18Ar。

解：1. 15P的电子组态 1s22s22p63s23p3 同科电子3p3的原子态为4S,2P2D,依洪特定则,S大时能级低.此时,虽表明是四重态,其实,也只有一个态,其J=3/2,由于只有此一个值,故下脚标不标.其基态为4S. 2.16S的电子组态 1s22s22p63s23p4 同科电子3p4的原子态为1S,3P,1D,依洪特定则, 不满壳层电子数为4,电子数超过闭壳层一半,L相同时其J大的为基态,此时3态2P0, 2P1, 2P2基态为3P2. 其基态为