同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[1,1]上，f(x)|x|，则f(2m)___(m为整数)． 2．函数ycos2x2cosx,x∈[0,2]的单调区间是__________________． 3．函数y2x2x2的值域是__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1)f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y____________． 6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投z 影，则M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________． 9．双曲线x2y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积A ___________．

M N 22xy1在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线B 10．椭圆

3243O C D x y 与坐标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题

2x22kxk0对于任意x∈11．不等式log2R都成立，求k的取值范围． 23x6x412．不动点，f(x)的解析式；(3) 13．已知ybxc11．(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若f(1)，求f(x)xa22sincos([0,2))，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的．

2sincosC D B C1 D1 B1

．

n14．正三棱柱ABC－A1B1C1，|AA1|h，|BB1|a，点E从A1出发沿棱A1AA

运动，后沿AD运动，∠A1D1E，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积S与的函数关系式． 15．已知数列{an}满足an1anan1． 2(1) 若bn＝anan1(n=2,3,…)， 求bn；(2) 求

A1 b；(3) 求limaii1nn16．抛物线y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正

方形ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？