高中数学-复习课教案-新人教版选修2-2

宁夏银川贺兰县第四中学2021-2021学年高中数学 复习课教案 新

人教版选修2-2

3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。

二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力 三、教学过程： 【创设情境】 一、知识结构： 归纳推理

合情推理 推理 类比推理 演绎推理 推 理 与 综合法 证 分析法 直接证明 明 数学归纳 证明

间接证明 反证法

【探索研究】

我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 【例题评析】

例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展〞而来,〔ｎ＝１，２，３，…〕。那么第n－2个图形有________个顶点。

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变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：

第3个 第1个 第2个

那么第n个图案中有白色地面砖 块。

22cossin ,例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，那么

=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;

变题2：数列

{an}的前n项和记为Sn，

a11,an1n2Sn(n1,2,3).n证明：

Sn}〔Ⅰ〕数列n是等比数列；

{〔Ⅱ〕

Sn14an.

例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),假设函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：

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f(x

1)2为偶函数。

n111S2n1++...+2 〔n2,nN〕 n (n>1,n∈N),求证：例4：设Sn=1+23评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩〞的技巧。

n(n1)变题：是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12(an2+bn+c) 对于一切

正整数n都成立？证明你的结论。

解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，

14(abc)6a3122(4a2bc) b112c10709a3bc这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立

n(n1)(3n211n10)1·22+2·32+…+n(n+1)2=12

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 〔1〕n=1时，等式以证，成立。

k(k1)〔2〕设n=k时上式成立，即Sk=12 (3k2+11k+10) k(k1)2那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k1)(k2)(k1)(k2)1212= (3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立

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【课堂小结】

体会常用的思维模式和证明方法。 【反应练习】

1．在R上定义运算:xyx(1y).假设不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立， 那么

A．1a1

B．0a2

1331aa2 D．22 C．22．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应以下图形

〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕

那么以下图形中

〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕

可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A．〔1〕、〔2〕 B．〔2〕、〔3〕 C．〔2〕、〔4〕 D．〔1〕、〔4〕 3 f(n) =(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，那么最大的m的值为( )

A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜测f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，那么n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36 4 数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求数列{bn}的通项公式bn;

(2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1bn)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试

1比拟Sn与3logabn+1的大小，并证明你的结论

解 (1) 设数列{bn}的公差为d,

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b11b1110(101)10bd145d312由题意得,∴bn=3n－2

11(2)证明 由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+4)+…+loga(1+3n2) 11=loga［(1+1)(1+4)…(1+ 3n2)］

113而3logabn+1=loga3n1,于是，比拟Sn与3logabn+111比拟(1+1)(1+4)…(1+3n2)与33n1的大小

3384311 取n=1，有(1+1)=

3的大小

13)8373321取n=2，有(1+1)(1+4 113推测 (1+1)(1+4)…(1+3n2)＞3n1 (*)

①当n=1时，已验证(*)式成立

113②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+4)…(1+3k2)＞3k1

那么当n=k+1时，

1111(11)(1)(1)(1)33k1(1)43k23(k1)23k1

3k233k13k1

(3k233k1)3(33k4)33k1

(3k2)3(3k4)(3k1)29k4022(3k1)(3k1)3

3k1(3k2)33k433(k1)13k1 111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)143k23k1,

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即当n=k+1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立

1于是，当a＞1时，Sn＞3logabn+1

【课外作业】

【课标检测】

1,当 0＜a＜1时，Sn＜3logabn+1

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