宁夏银川贺兰县第四中学2021-2021学年高中数学 复习课教案 新
人教版选修2-2
3.认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。
二、教学重点:进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。 难点:认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力 三、教学过程: 【创设情境】 一、知识结构: 归纳推理
合情推理 推理 类比推理 演绎推理 推 理 与 综合法 证 分析法 直接证明 明 数学归纳 证明
间接证明 反证法
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点;揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习,进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。 【例题评析】
例1:如图第n个图形是由正n+2边形“扩展〞而来,〔n=1,2,3,…〕。那么第n-2个图形有________个顶点。
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变题:黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案:
第3个 第1个 第2个
那么第n个图案中有白色地面砖 块。
22cossin ,例2:长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,那么
=1,将长方形与长方体进行类比,可猜测的结论为:_______________________;
变题2:数列
{an}的前n项和记为Sn,
a11,an1n2Sn(n1,2,3).n证明:
Sn}〔Ⅰ〕数列n是等比数列;
{〔Ⅱ〕
Sn14an.
例3:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),假设函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称,求证:
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f(x
1)2为偶函数。
n111S2n1++...+2 〔n2,nN〕 n (n>1,n∈N),求证:例4:设Sn=1+23评析:数学归纳法证明不等式时,经常用到“放缩〞的技巧。
n(n1)变题:是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12(an2+bn+c) 对于一切
正整数n都成立?证明你的结论。
解 假设存在a、b、c使题设的等式成立,
14(abc)6a3122(4a2bc) b112c10709a3bc这时令n=1,2,3,有
于是,对n=1,2,3下面等式成立
n(n1)(3n211n10)1·22+2·32+…+n(n+1)2=12
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 〔1〕n=1时,等式以证,成立。
k(k1)〔2〕设n=k时上式成立,即Sk=12 (3k2+11k+10) k(k1)2那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
(k1)(k2)(k1)(k2)1212= (3k2+5k+12k+24)=[3(k+1)2+11(k+1)+10]
也就是说,等式对n=k+1也成立
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设对一切自然数n均成立
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【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。 【反应练习】
1.在R上定义运算:xyx(1y).假设不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立, 那么
A.1a1
B.0a2
1331aa2 D.22 C.22.定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对应以下图形
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕
那么以下图形中
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕
可以表示A*D,A*C的分别是 ( ) A.〔1〕、〔2〕 B.〔2〕、〔3〕 C.〔2〕、〔4〕 D.〔1〕、〔4〕 3 f(n) =(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),那么最大的m的值为( )
A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜测f(n)能被36整除 证明 n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,那么n=k+1时,
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36 4 数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1bn)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试
1比拟Sn与3logabn+1的大小,并证明你的结论
解 (1) 设数列{bn}的公差为d,
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b11b1110(101)10bd145d312由题意得,∴bn=3n-2
11(2)证明 由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+4)+…+loga(1+3n2) 11=loga[(1+1)(1+4)…(1+ 3n2)]
113而3logabn+1=loga3n1,于是,比拟Sn与3logabn+111比拟(1+1)(1+4)…(1+3n2)与33n1的大小
3384311 取n=1,有(1+1)=
3的大小
13)8373321取n=2,有(1+1)(1+4 113推测 (1+1)(1+4)…(1+3n2)>3n1 (*)
①当n=1时,已验证(*)式成立
113②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+4)…(1+3k2)>3k1
那么当n=k+1时,
1111(11)(1)(1)(1)33k1(1)43k23(k1)23k1
3k233k13k1
(3k233k1)3(33k4)33k1
(3k2)3(3k4)(3k1)29k4022(3k1)(3k1)3
3k1(3k2)33k433(k1)13k1 111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)143k23k1,
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即当n=k+1时,(*)式成立
由①②知,(*)式对任意正整数n都成立
1于是,当a>1时,Sn>3logabn+1
【课外作业】
【课标检测】
1,当 0<a<1时,Sn<3logabn+1
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