中学考试几何模型解题法

中考几何模型解题法 研修课论文 宋海平

第一讲 以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。

第二讲 弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。

第三讲 在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。

第四讲 中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。

第五讲 几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。

第六讲 本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。

一、角平分线模型

一、 精讲精练

【模型一】夹角模型

OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线， 1则：∠AOC=90°+∠B． 2 BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线， 则：∠P=文案大全

1∠A． 2实用标准文档

AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线，

1则： ∠D=90°-∠B． 2

1. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF相交于O．

求证：OE＝OF．

2. （2011黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与角∠ABC平分线BP交于点P，

若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________.

ACFBEO文案大全

实用标准文档

3. （2011年）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是两个外角的平分线.

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.

EADEFAAEFBCF

B图1DCB【模型二】角平分线加垂直

图2DCAB⊥AC，AB=AC，CE是∠ACB的平分线， BE⊥CE，则: BE=CF．

4. （2011）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝

1∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F． 212（1）当AB＝AC时（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB＝kAC时（如图2），求

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BE的值（用含k的式子表示）． FD实用标准文档

【模型三】角平分线加平行线

OP是∠MON的角平分线，AB∥ON， 则：OA=AB．

5. （2011宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在

AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 _____cm．

AEBDC

6. （2011滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作

直线MN∥BC.设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、

AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

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AMBEOCFN实用标准文档

【模型四】四边形对角互补模型

∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线， 则:AD=CD．

7. （2011年前两问）如图1，将三角板放在形ABCD上，使三角板的直角顶点E与形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G. （1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

E(A)DFAED

FG

GBC图1B图2C

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 。

一、 知识提要文案大全

弦图模型

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1. 弦图基本模型 模型一：

acb 模型二：

acb

2. 弦图模型之变形

60°60°60°二、 专项训练

【板块一】弦图基本模型

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α

αα

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AC2AE1. 如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，求证：． 2BCCECEADB

2. 如图，梯形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，

DC=7，BE：EC=1：2，则AB的长为____________．

DABEC

3. 在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等

腰直角三角形，求线段CD的长. 【板块二】弦图模型之变形

4. （2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，

点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为 .

5. （2011）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=

∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（ ）

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ADBMC

A．3 B．4 C．5 D．6

6. （2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交

PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）

CGDEFAPB

D．4对

A．1对 B．2对 C．3对

7. 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着

直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．

相似基本模型

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三、 知识提要

1. 相似基本模型1：“A” 字型相似及其变形

2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其变形

四、

专项训练

11111. 四边形EFGH是△ABC接形，BC=21cm，高AD=15cm，则接形边长EF=______.

AHIGBEDFC

2. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（ ）

A.

B.

C.3

D.

3. 如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形一点，且∠BEC=90°，

将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于M．已知BC=5，

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CF=3，则DM：MC的值为（ ）

ADEMFBC

D.3：4

A.5：3 B.3：5 C.4：3

4. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（ ）

DNA

FMBCEA.1：3

D.3：8

B.1：4 C.2：5

75. 如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE2等于_________.

6. 已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.

AFEBCD

7. 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和

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BC的延长线交于M、N点，求证：MD：ME＝ND：NE.

NDMAECB

巧用轴对称解线段和差最值

【板块一】线段和最小

1. 如图，形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在形ABCD，在对角线AC上

有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A．23 B．26 C．3 D．6

2. 如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，

DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小时，则∠AMN + ∠ANM的度数为（ ）

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°

ABMCEND

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3. 如图， 在锐角△ABC中， AB=42，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.

CDMANB

4. （2011）已知，如图，二次函数yax22ax3a(a0)图象的顶点为H，与x轴交于A、

B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l:y3x3对称. 3（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

yHlKAOBx

5. 已知四边形PABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形PABQ的周长最小时，

a= ．

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yP(a,0)OQ(a+2,0)xB(4,-1)A(1,-3)【板块二】线段差最大

6. （2009眉山）如图，已知直线y1x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线21yx2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)． 2 (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使MAMC的值最大，求出点M的坐标．

大角夹半角模型

原题剖析： 如图，已知在形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有∠EAF=45°，

求证：BE+DF=EF．

模型提取：

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题型对比：

1.（2008天津）已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N． （Ⅰ）当扇形CEF绕点C在ACB的部旋转时，如图①，求证：MN2AM2BN2；

C

A

（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式

MN2AM2BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若

E

M N F 图①

B

C

E M

A

N F 图②

B

不成立，请说明理由．

实战训练

2. （2010改编）边长为2的等边△ABC的两边AB、AC两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠

上有

BDC=120°，BD=DC. 探究：当M、N分别在AB、AC动时，

△AMN的周长是否为定值？

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上移

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典型特例：

3.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，CD=3，设AC=x、

BD=y，求y关于x的表达式．

4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，

CQ=y ， 求y与x之间的函数关系式.

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5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，∠BAC= ∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、

E（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值围．

6. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，

DC=3，求△ABC的面积．

四点共圆

【板块一】对角互补

1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，求证：∠ANM=∠

B．

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AMNBDC

2. 如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，

BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点． 求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

DSPACB

【板块二】同线段同侧所的角相等

3. 如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线

上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（ ）

ADBC

C．150°

D．180°

A．90° B．120°

4. 形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为形一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14．则

PB= _________ ．

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DCPOAB

5. 如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，

过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．

AEQCHDPB

6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为

F，CF交AD于点G． 求证：∠CFD=∠CAD．

AEFBGDC

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