双曲线点差法

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

x2y2定理 在双曲线221（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点

aby0b2P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.

x0ax12y12221,(1)ab证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有2 2x2y21.(2)b2a2xxyy(1)(2)，得1221220.

ab2222y2y1y2y1b22. x2x1x2x1a又kMNy2y1y1y22y0y0,.

x2x1x1x22x0x0kMNy0b2. x0a2y2x2同理可证，在双曲线221（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，

aby0a2点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN. x0b2典题妙解

x21，过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点. 例1 已知双曲线C:y32 1

（1）求弦AB的中点M的轨迹；

（2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程. 解：（1）a1,b3,焦点在y轴上.

22ya2y1y1设点M的坐标为(x,y)，由kAB2得：，

xbx2x3整理得：x3y2x3y0.

22所求的轨迹方程为x23y22x3y0.

（2） P恰为弦AB的中点，

y0a2112由kAB2得：kAB,即kAB.

323x0b直线l的方程为y122(x2)，即2x3y10. 32例2 已知双曲线C:2xy2与点P(1,2).

（1）斜率为k且过点P的直线l与C有两个公共点，求k的取值范围； （2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？ （3）试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.

解：（1）直线l的方程为y2k(x1)，即ykx2k.

由ykx2k,222xy2.得(k2)x2(k2k)xk4k60.

2222直线l与C有两个公共点，

2k20,得

22224(k2k)4(k2)(k4k6)0.解之得：k＜

3且k2. 232k的取值范围是(,2)(2,2)(2,).

y21,a21,b22. （2）双曲线的标准方程为x22y0b2设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由kAB2得：k22,k1.

x0a由（1）可知，k1时，直线l与C有两个公共点，

存在这样的弦.这时直线l的方程为yx1.

2

y0b2（3）设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kAB2得：k12,k2.

x0a由（1）可知，k2时，直线l与C没有两个公共点，

设以Q(1,1)为中点的弦不存在.

22例3 过点M(2,0)作直线l交双曲线C:xy1于A、B两点，已知OPOAOB（O

为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：在双曲线C:xy1中，a2b21，焦点在x轴上.设弦AB的中点为Q.

22OPOAOB,

由平行四边形法则知：OP2OQ，即Q是线段OP的中点. 设点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为xy,. 22yy2yyyb由kAB22得：21，

xxaxx4x222整理得：xy4x0.

22(x2)2y21. 配方得：

44(x2)2y21，它是中心为(2,0)，对称轴分别为x轴和直线点P的轨迹方程是

44x20的双曲线.

2例4. 设双曲线C的中心在原点，以抛物线y23x4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准

线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l:y2x1与双曲线C交于A,B两点，求AB；

（Ⅲ）对于直线l:ykx1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A,B关于直

线l:yax4 (a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

22解：（Ⅰ）由y23x4得y23(x'233

)，

p3，抛物线的顶点是(23,0)，准线是x321. 23232c,31在双曲线C中，2. a2,b21.

3a1.23c双曲线C的方程为3x2y21.

y2x1,（Ⅱ）由2得：x24x20. 23xy1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24,x1x22.

|AB|(1k2)[(x1x2)24x1x2](122)[(4)242]210.

（Ⅲ）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A,B关于直线l'对称，则l'是线段AB的垂直平分线. 因而a11，从而l':yx4. 设线段AB的中点为P(x0,y0). kkyy0b2由kAB2得：k03，ky03x0.…………………………………………①

x0x0a 由y01x04得：ky0x04k.…………………………………………………② k由①、②得：x0k,y03.

由y0kx01得：3k21，k2.

3x2y21,22又由得：(k3)x2kx20.

ykx1.直线l与双曲线C相交于A、B两点，

4k28(k23)＞0，即k2＜6，且k23.

符合题意的k的值存在，k2.

金指点睛

1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为2，则此双曲线的方程为（ ） 34

x2y2x2y2x2y2x2y21 B. 1 C. 1 D. 1 A.34435225y21上两点，点N(1,2)是线段AB的中点. 2.（02江苏）设A、B是双曲线x22（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？

y2131，过点P(,)作直线l交双曲线于A、B两点. 3. 已知双曲线x3222（1）求弦AB的中点M的轨迹;

（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线l的方程和弦AB的长.

x2y21的焦点为焦点，以抛物线y223x的准线为4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆

2513右准线.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线l:ykx3(k0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线

l':ymx6(m0)对称，求k的值.

参考答案

5y0b5b22532. 1. 解：在直线yx1中，k1，x时，y. 由kMN2得122a33x0a32b25222又由a得a2,b5. 2a2b2c27故答案选D.

y0b22. 解：（1）a1,b2，焦点在x上. 由kAB2得：kAB22，kAB1.

x0a22所求的直线AB方程为y21(x1)，即xy10.

（2）设直线CD的方程为xym0，点N(1,2)在直线CD上， 12m0，m3.

直线CD的方程为xy30.

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又设弦CD的中点为M(x,y)，由kCDyb2y2得：12，即y2x. xaxxy30,由得x3,y6.

y2x.点M的坐标为(3,6).

xy10,又由得A(1,0),B(3,4). y221.x2由两点间的距离公式可知：|MA||MB||MC||MD|210. 故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆. 3. 解：（1）a1,b3，焦点在x上. 设点M的坐标为(x,y).

若直线l的的斜率不存在，则lx轴，这时直线l与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l的的斜

率存在.

223yb2y3， 由kAB2得：

1xxax22y整理，得：6x2y3x3y0.

22点M的轨迹方程为6x22y23x3y0.

3yb（2）由kAB02得：kAB23，kAB1.

1x0a231所求的直线l方程为y1(x)，即yx1.

2222y21,x由得x2x20， 3yx1.解之得：x12,x21. |AB|1k2|x2x1|2332.

x2y21中，a5,b13,ca2b223， 4. 解：（1）在椭圆

2513 6

焦点为F1(23,0),F2(23,0).

2在抛物线y23x中，p3，准线为x3. 2a23在双曲线中，. 从而a3,b3. c2x2y21. 所求双曲线C的方程为39（2）直线l'是弦AB的垂直平分线，m11，从而l':yx6. 设弦AB的中点为kkP(x0,y0).

yy0b2由kAB2得：k03，ky03x0.…………………………………………①

x0x0a1x06得：ky0x06k.…………………………………………………② k3k9由①、②得：x0,y0

22由y0又y0kx03，

93kk3，即k21. 22k1. x2y21,22由3得(k3)x6kx180. 9ykx3.直线l与双曲线C相交于A、B两点，

36k272(k23)＞0，即k2＜6，且k23. k1符合题意.

故k的值为1.

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