2020年超常(数学)思维与创新能力测评
(六年级 初赛)
姓名:_____________ 考试时间:80分钟 满分:100分
考试说明
(1)本试卷包括25道不定项选择题(可能有几个选项正确),每小题4分。 (2)每道题的分值按正确选项的个数平均分配,但是如有错选,则该题不得分。 1. 左侧的图形为“待变图形”,右侧五个是旋转后的待变图形,其中正确的是(
2. 如果
1−
△+
△+
11△+
21=1+
2+
112+
11
).
13这里,“△”可以代表同一个数,也可以表示不同的数. 那么,5个“△”之和等
1△+△3+
于(
).
A.10 B.11 C.12 D.13 E.14
3. 如图所示,圆和正方形的面积相等,且中心重合. 如果阴影部分S的面积为1,则打点部分的面积T等于( ).
1 / 8
A.1 B.11 C.3
D. 𝜋 E. 𝜋−1
4. 两种不同的新冠疫苗A和B,已经在两个医院都做过了临床试验. 试验结果表明,在两个医院中,A疫苗均比B疫苗效果好. 但令人奇怪的是,当人们把结果合并(即把两个医院看作一个医院)后发现,B疫苗却比A疫苗效果好,这是否可能( ).
A. 不可能 B. 可能 C. 一定是 D. 一定不是 E. 无法确定
5. 如图所示,正方形点阵中阴影部分总面积为63,则空白部分总面积为 ( ).
A.51 B.61 C.71 D.81 E.91
6. 给定六个数:1、3、9、27、81、243,从中每次取出若干个数相加,可以得出一个新数,这样共得到63个新数. 把它们从小到大排列起来是1、3、4、9、10、12、⋯. 那么,第39个数是( ).
A.243 B.244 C.246 D.252 E.256
7. B地在A地的东边,甲、乙分别从A,B两地同时出发,向东匀速行进. 有一只小狗与甲同时从A地出发,在甲、乙之间来回穿梭(即从甲跑向乙,追上乙后调头跑向甲,与甲相遇后又调头跑向乙). 当小狗第1次回到甲处时,甲恰好行了140米;当小狗第2次回到甲处时,甲恰好共行了350米. 如果小狗的速度是乙速的3倍,那么当小狗第3次追上乙时甲、乙相距( )米.
A. 1000 B. 1080 C. 500 D. 800 E. 10000
2 / 8
8. 如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的每一个顶点与小正方形的两个不相邻顶点,形成了下图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为( ).
A.13 B.15 C.17 D.19 E.以上都不正确
9. 某竞赛考试有30个选择题,计分规则是:基础分30分,答对一题得4分,答错一题扣1分,不答不给分. 用公式表示就是𝑆=30+4𝑐−𝑤,其中S为分数,𝑐是答对的题数,𝑤是答错的题数,允许不答. 小马在这次考试中得分在80以上,他把分数告诉了小姜,小姜据此能推算出小马做出了几道题. 如果小马的得分少一些,但仍在80分以上,小姜就无法推算了. 那么小马得了( )分.
A.100 B. 110 C. 119 D.120 E.无法确定
10. 如图有1个大圆,1个中圆,3个小圆和1个等边三角形,已知小圆与大圆、小圆与中圆、小圆与三角形、中圆与三角形之间都是相切关系,且大圆的面积为32,那么图中阴影部分的面积为( ).
A.10 B.12 C.14 D.16 E.18
11. 我国古代用两种不同的符号“——”“— —”的不同组合来描述事物的变化,“——”叫作阳爻(yao),“— —”叫作阴爻,阳爻和阴爻统称为爻. 任
3 / 8
取三个爻从下往上重叠做成的三个爻的图形叫作卦,例如,,都是卦,
共有八种不同的卦. 用8个阳爻“——”和1个阴爻“— —”可以表示不同的卦的个数是(
)个.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 E. 10
12. 下列图中能够相互补充成圆的图形对是( ).
A.1,2;4,5 B.1,12;4,9 C.2,11;4,8 D.3,10;5,8 E.6,7;2,11
4 / 8
13. 这是我国著名数学家王元院士的题词:
如果不同的汉字代表1~9的不同数字,那么“数学竞赛好”是不同数字组成的五位数中最大的平方数,则这个五位数是(
).
A.96721 B.97468 C. 98215 D. 95843 E.98751
14. 小立方体的4个面被着色,且油漆未干,如下图所示. 如果无滑动地将这6个小立方体从左边位置向右翻转3次,每次翻90°,那么小立方体在纸上会留下的痕迹是(
).
5 / 8
A.1—⑤,2—①,3—⑥,4—②,5—③,6—④ B.1—④,2—①,3—⑥,4—③,5—②,6—⑤ C.1—②,2—③,3—④,4—⑤,5—⑥,6—① D.1—③,2—④,3—⑥,4—②,5—①,6—⑤ E.1—⑥,2—⑤,3—④,4—③,5—②,6—①
15. 将25克白糖放入杯中,倒入100克白开水充分搅拌后,喝去一半糖水,之后又加入36克白开水. 如果要使杯中糖水和原来一样甜,需要加入( )克白糖.
A.8 B.9 C.10 D.11 E.12
16. 如图是一个木制的立方体,将同一个面上四条棱的中点连起来,然后沿着这些线把8个角锯掉. 所得的立体图形有( ).
A.14个面和24条棱 B.14个面和36条棱 C.16个面和24条棱 D.12个面和36条棱 E.16个面和36条棱
17. 将120个5分硬币排成一列,每次操作都从头开始,第一次操作将硬币两个两个数,然后将数到二的硬币用1角的硬币替换;第二次操作将硬币三个三个数,然后将数到三的硬币用2角的硬币替换;第三次操作将硬币四个四个数,然后将数到四的硬币用5角的硬币替换;第四次操作将硬币五个五个数,然后将数到五的硬币用1元的硬币替换. 请问经过上述操作后这一列120个硬币的总值为(
)元.
A.40 B.44 C.44.4 D.46 E.48
18. 使24+27+2𝑛为完全平方数的正整数𝑛是( ).
6 / 8
A.10 B.12 C.8 D.7 E.5
19. 平面上有10个圆,最多可将平面分成( )部分. A.88 B. C.90
20. 每一组图中与其他图不同的那个图是(
A.1—A,2—B,3—C,4—D B.1—B,2—C,3—D,4—A C.1—D,2—B,3—C,4—C D.1—A,2—A,3—B,4—B E.1—D,2—A,3—C,4—C
7 / 8
D.91 E.92
).
21. 当你正坐在一条东西走向的路旁时,风以每小时10km的速度向东吹. 一辆卡车沿路朝东向你开来,突然马达出现故障,当它离你0.5km时开始排黑烟,尽管卡车有故障,它仍以常速继续向东开去. 你发现自己刚好处在烟中2分钟,则卡车的速度是( )km/h.
A. 60 B. 30 C. 6 D. 5 E. 100
22. 某大型超市元旦假期举行促销活动. 规定一次购物不超过100元的不给优惠,超过100元而不超过300元,按该次购物全额9折优惠,超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠. 小乐两次购物分别用了94.5元和282.8元. 现小华决定一次购买小乐分两次购买的同样的物品. 那么小华付款可能为( )元.
A.377.3 B.366.8 C.363.4 D.358.4 E.348.6
23. 一个三位数,把它的百位与个位交换后得到的三位数是原三位数的倍数,这样的三位数有( )个.
A.42 B.56 C.72 D.90 E.110
24. 新建成的芜宣机场停有10架飞机,第一架飞机起飞后,每隔40分钟,有一架飞机起飞. 在第一架飞机起飞20分钟后,有一架飞机降落该机场. 以后每隔1个小时有一架飞机降落,降落的飞机在原有的10架飞机起飞后,又依次每隔40分钟起飞一架. 那么从第一架飞机起飞后,经过( 一次出现没有飞机的现象.
A.16 B.163 C.17 D.173 E.18
25.设𝑥,𝑦是分母不超过2016的最简真分数. 如果<𝑥<𝑦<
41
910
2
1
)小时,飞机场第
,则𝑦−
𝑥的最大值是(
A.
26305844048135
).
4048135
1808
504
504
1808
2020
B. 2630584 C. 2009−2015 D. 2015−2009 E. 2021
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2020年超常(数学)思维与创新能力测评
(六年级 初赛 答案)
姓名:_____________ 考试时间:80分钟 满分:100分
考试说明
(1)本试卷包括25道不定项选择题(可能有几个选项正确),每小题4分。 (2)每道题的分值按正确选项的个数平均分配,但是如有错选,则该题不得分。 1. 左侧的图形为“待变图形”,右侧五个是旋转后的待变图形,其中正确的是(
解 只有A是旋转了180°的待变图形,其他四个图形均不符合,因此本题的正确答案应为A.
注:待变图形为黑色区域,将经过旋转(非翻转),成为右边答案图形,且答题时需注意图形为相同的,只是方向改变,如答案B经过上下翻转,与待变图形已无法在同一平面上重合.
2. 如果
1−
△+
△+
11△+
21=1+
2+
112+
11
).
1△+△13+3这里,“△”可以代表同一个数,也可以表示不同的数. 那么,5个“△”之和等于(
).
A.10 B.11 C.12 D.13 E.14 解 等号右端化简后得.
7956
1 / 20
111115623
======
117979793+103+13+3+233223232+2+2010103111
===
1113+3+3+2222+2+2+2116+36+36+11+
22故选E. 1−
3. 如图所示,圆和正方形的面积相等,且中心重合. 如果阴影部分S的面积为1,则打点部分的面积T等于( ).
A.1 B.11 C.3
D. 𝜋 E. 𝜋−1
解 如题图所示,设圆和正方形公共部分的面积为A,可得4S+A=圆的面积=正方形的面积=4T+A,得𝑇=𝑆=1. 故选A.
4. 两种不同的新冠疫苗A和B,已经在两个医院都做过了临床试验. 试验结果表明,在两个医院中,A疫苗均比B疫苗效果好. 但令人奇怪的是,当人们把结果合并(即把两个医院看作一个医院)后发现,B疫苗却比A疫苗效果好,这是否可能( ).
A. 不可能 B. 可能 C. 一定是 D. 一定不是 E. 无法确定 解 这是有可能的,下面分两种情况讨论:
(1)若A疫苗在甲医院有𝑛个人接受试验,𝑎个人有效;B疫苗在甲医院有𝑛个人接受试验,𝑏个人有效,则>,所以𝑎>𝑏.
𝑛
𝑛𝑎
𝑏
A疫苗和B疫苗在乙医院都有𝑚个人接受试验,分别有𝑐和𝑑个人有效,依题
2 / 20
意
𝑐
𝑚
>
𝑑𝑚
,所以𝑐>𝑑. 于是
𝑎+𝑐𝑚+𝑛
>
𝑏+𝑑𝑚+𝑛
.
在这种情况下,把结果合并后A疫苗仍比B疫苗效果好.
(2)若A疫苗在甲医院有20个人接受试验,6个人有效;B疫苗在甲医院有10个人接受试验,2个人有效,显然
620
>
2
10
.
A疫苗在乙医院有80个人接受试验,40个人有效;B疫苗在医院有990个人接受试验,478个人有效,显然
然而把结果合并后却可得
5. 如图所示,正方形点阵中阴影部分总面积为63,则空白部分总面积为 ( ).
A.51 B.61 C.71 D.81 E.91 解 如解图,2个①号等腰直角三角形可与1个②号小正方形互换.
则空白部分总面积为63÷(−36)×36=81. 故选D.
6. 给定六个数:1、3、9、27、81、243,从中每次取出若干个数相加,可
46100
40809904801000
>
478
. <,即B疫苗比A疫苗效果好. 故选B.
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以得出一个新数,这样共得到63个新数. 把它们从小到大排列起来是1、3、4、9、10、12、⋯. 那么,第39个数是( ).
A.243 B.244 C.246 D.252 E.256 解 给定的六个数是1、3、32、33、34和35,对于其中任一数,它大于前面所有各数之和. 在取若干个数作和时,对于每一个数只有取与不取两种情况. 用二进制将39表示为(100111)2. 因此第39个数是1×35+1×32+1×31+1=256. 故选E.
7. B地在A地的东边,甲、乙分别从A,B两地同时出发,向东匀速行进. 有一只小狗与甲同时从A地出发,在甲、乙之间来回穿梭(即从甲跑向乙,追上乙后调头跑向甲,与甲相遇后又调头跑向乙). 当小狗第1次回到甲处时,甲恰好行了140米;当小狗第2次回到甲处时,甲恰好共行了350米. 如果小狗的速度是乙速的3倍,那么当小狗第3次追上乙时甲、乙相距( )米.
A. 1000 B. 1080 C. 500 D. 800 E. 10000 解法1 如解图(𝑎),甲到C时,狗在D第一次追上乙并调头与甲在E相遇,此时乙到F. 狗调头,当甲到G时,狗在H第二次追上乙并调头,与甲在P相遇,此时乙到M.
那么,AE=140,AP=350,EP=350−140=210. 令𝐷𝐹=𝑎,则
140
ED=3𝑎,AD=3𝑎+140,BD=𝑎+3
140770
)=2𝑎−𝑃𝐵=3𝑎−210−(𝑎+ 33
𝐹𝑀𝐸𝑃2103
=== 𝐵𝐹𝐴𝐸1402
所以
𝐹𝑀=3𝑎+70
所以
𝐸𝐻+𝐻𝑃=9𝑎+210
𝑃𝐻=(9𝑎+210−210)÷2=4.5𝑎
4 / 20
那么 HM=1.5𝑎,FH=1.5𝑎+70.
由解图(𝑎)可知,𝑃𝐻=4.5𝑎=2𝑎−3+𝑎+3+𝑎+1.5𝑎+70, 解得 𝑎=140.
所以甲速:乙速=AE:BF=3:7, 所以甲速:乙速:狗速=3:7:21.
图(𝑎)
当甲与狗第二次相遇时,甲、乙相距𝑃𝑀=840米,如解图(𝑏),当狗第三次追上乙时比乙多行840米,此时甲行:840÷(21−7)×3=180(米),乙行:840÷(21−7)×7=420(米).
甲、乙相距:840+420−180=1080(米).
图(𝑏)
解法2 从甲和狗同时同地向东出发到狗回到甲看成一次过程,甲、乙、狗
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770140
不断重复这个过程,只是每个过程开始时甲、乙的距离不一样.
第一个过程甲走140米,第二个过程甲走350−140=210米,这两个过程中甲所走路程的比是140:210=2:3,那么这两个过程中甲、乙、狗所走路程比也都是2 : 3,而且两个过程开始时甲、乙距离的比也是2 : 3.
设AB的距离是2份,那么狗第一次回到甲时甲乙的距离(解图(𝑐)中DE)是3份.
图(𝑐)
设狗在C地追上乙,因为狗的速度是乙的3倍,距离差AB是2份,所以BC是1份. 狗与乙在C地,背向而行,共走DE(3份),当狗第一次回到甲(即E点)时,狗走了3×1+3=2.25份路程(CE),此时甲走3−2.25=0.75份路程(AE),所以甲与狗的速度比为0.75∶(3+2.25)= 1:7,而且AB的路程为140÷0.75×2=
1120
米. 337
3
当狗第一次追上乙时,乙走1份路程,狗走3份路程,那么甲走 份路程,此时甲乙的距离为 3−7=27份路程,为
3
4
11203
÷2×2
47
=480米.
第二个过程的开始距离是第一个过程开始距离的3÷2=1.5倍,那么狗第二次追上乙时甲乙的距离是第一次追上乙时甲乙距离的1.5倍;同样狗第三次追上乙时甲乙的距离是第二次追上乙时甲乙距离的1.5倍,小狗第3次追上乙时甲、乙相距:480×1.5×1.5=1080米. 故选B.
8. 如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的每一个顶点与小正方形的两个不相邻顶点,形成了下图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为( ).
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A.13 B.15 C.17 D.19 E.以上都不正确 解 取特殊值,使得两个正方形中心相重合,由图可知,A、B、C、D均为相邻两格点的中点,则图中4个空白处的三角形的高为1.5,因此空白处的总面积为6×1.5÷2×4+2×2=22(𝑐𝑚2),阴影部分的面积是6×6−22=14(𝑐𝑚2). 故选E.
9. 某竞赛考试有30个选择题,计分规则是:基础分30分,答对一题得4分,答错一题扣1分,不答不给分. 用公式表示就是𝑆=30+4𝑐−𝑤,其中S为分数,c是答对的题数,w是答错的题数,允许不答. 小马在这次考试中得分在80以上,他把分数告诉了小姜,小姜据此能推算出小马做出了几道题. 如果小马的得分少一些,但仍在80分以上,小姜就无法推算了. 那么小马得了( )分.
A.100 B. 110 C. 119 D.120 E.无法确定 解 已知𝑆=30+4𝑐−𝑤>80. 问题要求找到最小的这样的𝑆,与它对应的𝑐是唯一的. 首先注意到𝑐增加1,𝑤增加4,𝑆值不变,但要满足(𝑐+1)+(𝑤+4)≤30,即𝑐+𝑤≤25. 在𝑐+𝑤≤25时,对同一个𝑆,不能唯一确定𝑐值. 因此只有
𝑐+𝑤≥26 ①
才可能唯一地确定𝑐值. 其次,应有
𝑤≤3 ②
否则,若𝑤>3,可使𝑤减4,𝑐减1而得到S值不变(从𝑆>80得出𝑐≥13,
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这也是可能的). 于是,为了使S尽可能地小,我们应在不等式①与②许可的范围内,尽量减小𝑐,尽量增大𝑤. 这导致𝑤=3,𝑐=23. 所以𝑆=30+4×23−3=119,即小马得了119分. 故选C.
10. 如图有1个大圆,1个中圆,3个小圆和1个等边三角形,已知小圆与大圆、小圆与中圆、小圆与三角形、中圆与三角形之间都是相切关系,且大圆的面积为32,那么图中阴影部分的面积为( ).
A.10 B.12 C.14 D.16 E.18 解 如解图,联结OA,OB,所以△AOB是等边三角形,所以中圆的半径等于小圆的直径,大圆的半径等于中圆的直径,所以大圆面积是中圆的4倍,中圆面积是小圆的4倍,所以阴影部分面积为32−8−3×2=18.
故选E.
11. 我国古代用两种不同的符号“——” “— —”的不同组合来描述事物的变化,“——”叫作阳爻(yao),“— —”叫作阴爻,阳爻和阴爻统称为爻. 任取三个爻从下往上重叠做成的三个爻的图形叫作卦,例如,
,都是
卦,共有八种不同的卦. 用8个阳爻“——”和1个阴爻“— —”可以表示不同的卦的个数是(
)个.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 E. 10
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解 由1个阴爻和2个阳爻表示的卦中,由于阴爻可以在上、中、下3种不同的位置,有3种不同的卦((
),所以,共有4种不同的卦. 故选B.
12. 下列图中能够相互补充成圆的图形对是( ).
A.1,2;4,5 B.1,12;4,9 C.2,11;4,8 D.3,10;5,8 E.6,7;2,11 解 1,12;2,11;3,10;4,9;5,8;6,7. 故选BDE.
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),剩下的6个阳爻只能组成1种卦
13. 这是我国著名数学家王元院士的题词:
如果不同的汉字代表1~9的不同数字,那么“数学竞赛好”是不同数字组成的五位数中最大的平方数,则这个五位数是(
).
A.96721 B.97468 C. 98215 D. 95843 E.98751 解 五个答案都是由不同的5个数字组成的五位数. 首先,末位为3和8的数不可能是平方数,排除答案B和D;其次,末尾是5的平方数,其十位数字必为2,排除C,最后,一个平方数,如果其十位数字是奇数,则个位一定是6,排除E. 所以应选A.
14. 小立方体的4个面被着色,且油漆未干,如下图所示. 如果无滑动地将这个6个小立方体从左边位置向右翻转3次,每次翻90°,那么小立方体在纸上会留下的痕迹是( ).
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A.1—⑤,2—①,3—⑥,4—②,5—③,6—④ B.1—④,2—①,3—⑥,4—③,5—②,6—⑤ C.1—②,2—③,3—④,4—⑤,5—⑥,6—① D.1—③,2—④,3—⑥,4—②,5—①,6—⑤ E.1—⑥,2—⑤,3—④,4—③,5—②,6—① 解 1—⑤,2—①,3—⑥,4—②,5—③,6—④. 故选A.
15. 将25克白糖放入杯中,倒入100克白开水充分搅拌后,喝去一半糖水,之后又加入36克白开水. 如果要使杯中糖水和原来一样甜,需要加入( )克白糖.
A.8 B.9 C.10 D.11 E.12 解法1 设需要加入𝑥克白糖,则
𝑥+25÷225
=
100+25(100+25)÷2+𝑥+36
解得 𝑥=9. 解法2 设需要加入糖𝑥克,则
25𝑥
= 10036
解得 𝑥=9. 故选B.
16. 如图是一个木制的立方体,将同一个面上四条棱的中点连起来,然后沿着这些线把8个角锯掉. 所得的立体图形有( ).
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A.14个面和24条棱 B.14个面和36条棱 C.16个面和24条棱 D.12个面和36条棱 E.16个面和36条棱
解法1 首先注意到立方体有6个面和8个顶点. 切割后有8个三角形面(对应于8个原顶点)和6个正方形面(对应于原来的面),即一共有14个面. 又注意到每条棱恰好属于一个三角形且8个三角形有8×3=24条棱. 故选A.
解法2 利用联系凸多面体的顶点数(𝑉),棱数(𝐸)和面数(𝐹)的著名的欧拉公式,即𝑉−𝐸+𝐹=2,即𝐸−𝐹=𝑉−2. 现在问题中所得立体有𝑉=12,即𝐸−𝐹=10,唯一可能地给出的选择是𝐸=24和𝐹=14. 故选A.
17. 将120个5分硬币排成一列,每次操作都从头开始,第一次操作将硬币两个两个数,然后将数到二的硬币用1角的硬币替换;第二次操作将硬币三个三个数,然后将数到三的硬币用2角的硬币替换;第三次操作将硬币四个四个数,然后将数到四的硬币用5角的硬币替换;第四次操作将硬币五个五个数,然后将数到五的硬币用1元的硬币替换. 请问经过上述操作后这一列120个硬币的总值为(
)元.
A.40 B.44 C.44.4 D.46 E.48
解法1 由于[2,3,4,5]=60,所以,后面的60个硬币与前面60个情形相同. 以下按60个硬币计算.
①凡位置是5的倍数,上面是1元硬币,共有[5]=12个;
②凡位置是4的倍数,且不是5的倍数,上面是5角的硬币,共有[4]−[4×5]=15−3=12个;
③凡位置是3的倍数,且不是4,也不是5的倍数,上面是2角的硬币,共有[3]−[
60
606060
]−[]+[]=20−5−4+1=12个; 3×43×53×4×5 12 / 20
60
60
60
④凡位置是2的倍数,且不是3,4,5的倍数,上面是1角的硬币. 2的倍数共有30个,将位置编号除以2变为1~30,去掉其中2,3,5的倍数,共有
30303030303030
]+[]+[]−[] 30−[]−[]−[]+[
352×32×53×52×3×52
=30−15−10−6+5+3+2−1=8
⑤剩下60−12−12−12−8=16个位置上是5分硬币. 于是总钱数按元计算是:(1×12+0.5×12+0.2×12+0.1×8+0.05×16)×2=44.
故选B.
解法2 先放1元硬币,再放5角硬币且如此继续下去,对前面30个位置我们得到表1:
从31到60与从29开始反方向得到的模式相同,且从61到120的硬币与从1到60的硬币相同. 所以,如表2
13 / 20
故选B.
18. 使24+27+2𝑛为完全平方数的正整数𝑛是( ).
A.10 B.12 C.8 D.7 E.5 解 注意到24+27=144=122. 令144+2𝑛=𝑚2,其中𝑚为正整数,则
2𝑛=𝑚2−144=(𝑚−12)(𝑚+12)
上式右边的每个因式必须为2的幂,设
𝑚+12=2𝑝 ① 𝑚−12=2𝑞 ②
其中,𝑝,𝑞∈𝑁,𝑝+𝑞=𝑛,𝑝>𝑞.
由①−②得
2𝑞(2𝑝−𝑞−1)=23×3
因为2𝑝−𝑞−1为奇数,2𝑞为2的幂. 所以等式仅有一个解,即𝑞=3,𝑝−𝑞=2. 因此𝑝=5,𝑞=3.
故𝑛=𝑝+𝑞=8是使所给表达式为完全平方数的唯一正整数. 故选C.
19. 平面上有10个圆,最多可将平面分成( )部分. A.88 B. C.90
D.91 E.92
解 采用递推的办法,从中找出规律和答案. 列表如下:
从上表看出,10个圆最多把平面分成10×(10−1)+2=92个部分. 故选E.
20. 每一组图中与其他图不同的那个图是(
14 / 20
).
A.1—A,2—B,3—C,4—D B.1—B,2—C,3—D,4—A C.1—D,2—B,3—C,4—C D.1—A,2—A,3—B,4—B E.1—D,2—A,3—C,4—C
解 1—D,2—B,3—C,4—C. 故选C.
21. 当你正坐在一条东西走向的路旁时,风以每小时10km的速度向东吹. 一辆卡车沿路朝东向你开来,突然马达出现故障,当它离你0.5km时开始排黑烟,尽管卡车有故障,它仍以常速继续向东开去. 你发现自己刚好处在烟中2分钟,则卡车的速度是( )km/h.
A. 60 B. 30 C. 6 D. 5 E. 100
15 / 20
解 你所碰到的烟是卡车在你之西0.5km到从你身旁开过这段时间内排放的.注意,如果卡车速度𝑠<10km/h,你一开始遇到的烟是卡车最先排出的,而如果𝑠>10km/h,你首先遇到的是卡车从你身旁开过时最后排出的烟.
从卡车开始排烟那一时刻到你开始遇到烟的这段时间是𝑡=10. 因为风以每小时10km的速度将烟吹过了0.5km,当卡车从你身旁开过去时排出的烟刚一排出在时间𝑡=
0.5
立即遇到你,因为卡车是以速度𝑠通过了0.5km路程. 既然你在𝑠130
0.5
烟中的时间共为2分钟(即为
0.5𝑠
小时),我们有|
0.510
−
0.5𝑠
|=
1
30
,这样或者
0.510
−
=
130
,或者
0.5𝑠
−
0.510
=
130
,即3𝑠−30=2𝑠或30−3𝑠=2𝑠,因而两个答案是
𝑠=30km/h或𝑠=6km/h.
故选BC.
22. 某大型超市元旦假期举行促销活动. 规定一次购物不超过100元的不给优惠,超过100元而不超过300元,按该次购物全额9折优惠,超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠. 小乐两次购物分别用了94.5元和282.8元. 现小华决定一次购买小乐分两次购买的同样的物品. 那么小华付款可能为( )元.
A.377.3 B.366.8 C.363.4 D.358.4 E.348.6 解 注意到100×0.9=90<94.5<100,300×0.9=270<282.8. 设小乐第二次购物的原价为𝑥元,则
(𝑥−300)×0.8+300×0.9=282.8
解之,得 𝑥=316. 下面分两种情况讨论:
(1)小乐第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元,则小华应付: (316+94.5−300)×0.8+300×0.9=358.4(元);
(2)小乐第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过300元,则第一次购物原用去94.5÷0.9=105(元). 所以小华应付(316+105−300)×0.8+300×0.9=366.8元. 即小华应付款358.4元或366.8元.
故选BD.
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23. 一个三位数,把它的百位与个位交换后得到的三位数是原三位数的倍数,这样的三位数有( )个.
A.42 B.56 C.72 D.90 E.110 ̅̅̅̅,则̅̅̅̅̅=𝑘𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅,1≤𝑘≤9且𝑎,𝑐≥1 𝑐𝑏𝑎解法1 假设这个三位数是̅𝑎𝑏𝑐①若𝑘=4,则100𝑐+10𝑏+𝑎=400𝑎+40𝑏+4𝑐
133𝑎+10𝑏=32𝑐,所以𝑎=2,从而133+5𝑏=16𝑐,矛盾;
②若𝑘=7,则100𝑐+10𝑏+𝑎=700𝑎+70𝑏+7𝑐,从而31𝑐=233𝑎+20𝑏,矛盾;
̅̅̅̅−̅̅̅̅̅=99(𝑐−𝑎). ̅̅̅̅̅=̅𝑐𝑏𝑎𝑎𝑏𝑐③若𝑘≠4且𝑘≠7,由于(𝑘−1)𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅, 如果𝑐−𝑎≠0,由于𝑘−1≤9−1=8,因此99|𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅=198,297,396,495,594,693,792,1, 即̅𝑎𝑏𝑐
但是1=99×9与198=99×2没有倍数关系,同样792=99×8与297=99×3;693=99×7与396=99×4;594=99×6与495=99×5都没有倍数关系. 所以,𝑐=𝑎. 由于𝑎,𝑐有9种取法,𝑏有10种取法,共90个.
故选D.
̅̅̅̅,则̅̅̅̅̅=𝑘𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅,1≤𝑘≤9且𝑎,𝑐≥1 𝑐𝑏𝑎解法2 假设这个三位数是̅𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅−̅̅̅̅̅=99(𝑐−𝑎) ̅̅̅̅̅=̅则(𝑘−1)𝑎𝑏𝑐𝑐𝑏𝑎𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅, 如果𝑐−𝑎≠0,由于𝑘−1≤9−1=8,因此11|𝑎𝑏𝑐因此𝑏=𝑎+𝑐或者𝑏=𝑎+𝑐−11 ①若𝑏=𝑎+𝑐,则
100𝑐+10𝑏+𝑎=𝑘(100𝑎+10𝑏+𝑐)
110𝑐+11𝑎=𝑘(110𝑎+11𝑐)
10𝑐+𝑎=𝑘(10𝑎+𝑐) 11(𝑎+𝑐)=(𝑘+1)(10𝑎+𝑐)
因此10𝑎+𝑐必须是11的倍数,𝑎=𝑐,矛盾 ②若𝑏=𝑎+𝑐−11,则
110𝑐−110+11𝑎=𝑘(110𝑎−110+11𝑐)
17 / 20
10𝑐+𝑎−10=𝑘(10𝑎+𝑐−10)
两边模9,得𝑎+𝑐−1≡𝑘(𝑎+𝑐−1)(𝑚𝑜𝑑 9)
因此𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 9)或𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 3) 𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 3)或𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 9) 𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 9),又由于𝑎+𝑐=11+𝑏,在12~18之间没有合适的值 𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 3),𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 3),𝑎+𝑐=13或16,则𝑘=1或4, 𝑘=1显然得出𝑎=𝑐,𝑘=4则由于11(𝑎+𝑐)=(𝑘+1)(10𝑎+𝑐),5|11(𝑎+𝑐),与𝑎+𝑐=13或16矛盾
综上,𝑐=𝑎. 由于𝑎,𝑐有9种取法,𝑏有10种取法,共90组. 故选D.
24. 新建成的芜宣机场停有10架飞机,第一架飞机起飞后,每隔40分钟,有一架飞机起飞. 在第一架飞机起飞20分钟后,有一架飞机降落该机场. 以后每隔1个小时有一架飞机降落,降落的飞机在原有的10架飞机起飞后,又依次每隔40分钟起飞一架. 那么从第一架飞机起飞后,经过( 一次出现没有飞机的现象.
A.16 B.163 C.17 D.173 E.18 解 因为每隔40分钟有一架飞机起飞,每隔1小时才有一架飞机降落. 因此,到某一时刻,飞机场会出现暂时没有飞机的现象
2
1
)小时,飞机场第
设从第一架飞机起飞直至中断前最后一架飞机降落这段为𝑥分钟(此时必然同时有一架飞机起飞,否则这就不是最后一架降落的飞机):
由题意,得
𝑥−20𝑥
+1)=9 (+1)−(6040
𝑥=1040
这表明,第一架飞机起飞1040分钟后,机场只剩下刚刚降落后的一架飞机,显然,再经过40分钟,最后一架飞机起飞后,机场就没有飞机了. 故选E.
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25.设𝑥,𝑦是分母不超过2016的最简真分数. 如果<𝑥<𝑦<
41
910
,则𝑦−
𝑥的最大值是(
A.
26305844048135
).
4048135
1808
504
504
1808
2020
B. 2630584 C. 2009−2015 D. 2015−2009 E. 2021
𝑚𝑛
解 设满足题目条件最小的分数𝑥为,其中𝑚,𝑛为正整数,𝑚<𝑛≤2016,则
𝑚14𝑚−𝑛
−= 𝑛44𝑛
因为<𝑥,所以4𝑚−𝑛≥1.
41
首先考虑4𝑚−𝑛=1的自然数. 可以看出𝑚=1,𝑛=3是一个特解. 因此得到所有的正整数通解为
𝑚=1+𝑡
{(𝑡=0,1,2,⋯) 𝑛=3+4𝑡
要求𝑛≤2016,即𝑛=3+4𝑡≤2016,得到0≤𝑡≤503. 此时有
𝑚𝑛
14
𝑚𝑛
−
14
=
14𝑛
,所以𝑛越大,越接近,故取𝑡=503. 此时,𝑛=2015,𝑚=504,于是
𝑚50450411
=,−= 𝑛20152014×2015
对于其他的𝑚,𝑛,即考虑4𝑚−𝑛≥2的情况
211𝑚1
−≥≥> 𝑛44𝑛4×10084×2015
因此满足<𝑥且分母不大于2016的最小的分数为
4
𝑟𝑠
1
𝑚𝑛
=
504
2015
.
类似地,记满足题目条件最大的𝑦为,𝑟,𝑠为正整数,𝑟<𝑠≤2016,则
9𝑟9𝑠−10𝑟−= 10𝑠10𝑠
由于𝑦<
9
,则9𝑠−10𝑟≥1. 10首先考虑9𝑠−10𝑟=1的自然数. 可以看出𝑟=8,𝑠=9是一个特解. 因此得到正整数通解为
𝑟=8+9𝑡{(𝑡=0,1,2,⋯) 𝑠=9+10𝑡
要求𝑠≤2016,即𝑠=9+10𝑡≤2016,得到0≤𝑡≤200. 此时有
19 / 20
910
−
𝑟𝑠
=
110𝑠
,所以𝑠越大,越接近𝑠
𝑟9
10
,故取𝑡=200. 此时,𝑠=2009,𝑟=1808,于是
𝑟18018081=,−= 𝑠200910200910×2009
对于其他的𝑟,𝑠,即考虑9𝑠−10𝑟≥2的情况
9𝑟211−≥≥> 10𝑠10𝑠10×100810×2009
因此满足𝑦<
𝑟180
且分母不大于2016的最大的分数为=. 10𝑠2009
最终,满足题目条件的𝑦−𝑥的最大值为
18085041808×2015−504×20092630584
−== 200920152009×201048135
故选AC.
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