您的当前位置：首页 2020 年超常(数学)思维与创新能力测评 (六年级初赛)含答案

2020 年超常(数学)思维与创新能力测评 (六年级初赛)含答案

来源：爱够旅游网

2020年超常（数学）思维与创新能力测评

（六年级初赛）

姓名：_____________ 考试时间：80分钟满分：100分

考试说明

（1）本试卷包括25道不定项选择题（可能有几个选项正确），每小题4分。（2）每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分。 1. 左侧的图形为“待变图形”，右侧五个是旋转后的待变图形，其中正确的是（

2. 如果

1−

△+

11△+

21=1+

112+

）.

13这里，“△”可以代表同一个数，也可以表示不同的数. 那么，5个“△”之和等

1△+△3+

于（

）.

A.10 B.11 C.12 D.13 E.14

3. 如图所示，圆和正方形的面积相等，且中心重合. 如果阴影部分S的面积为1，则打点部分的面积T等于（）.

1 / 8

A.1 B.11 C.3

D. 𝜋 E. 𝜋−1

4. 两种不同的新冠疫苗A和B，已经在两个医院都做过了临床试验. 试验结果表明，在两个医院中，A疫苗均比B疫苗效果好. 但令人奇怪的是，当人们把结果合并(即把两个医院看作一个医院)后发现，B疫苗却比A疫苗效果好，这是否可能（）.

A. 不可能 B. 可能 C. 一定是 D. 一定不是 E. 无法确定

5. 如图所示，正方形点阵中阴影部分总面积为63，则空白部分总面积为（）.

A.51 B.61 C.71 D.81 E.91

6. 给定六个数：1、3、9、27、81、243，从中每次取出若干个数相加，可以得出一个新数，这样共得到63个新数. 把它们从小到大排列起来是1、3、4、9、10、12、⋯. 那么，第39个数是（）.

A.243 B.244 C.246 D.252 E.256

7. B地在A地的东边，甲、乙分别从A，B两地同时出发，向东匀速行进. 有一只小狗与甲同时从A地出发，在甲、乙之间来回穿梭（即从甲跑向乙，追上乙后调头跑向甲，与甲相遇后又调头跑向乙）. 当小狗第1次回到甲处时，甲恰好行了140米；当小狗第2次回到甲处时，甲恰好共行了350米. 如果小狗的速度是乙速的3倍，那么当小狗第3次追上乙时甲、乙相距（）米.

A. 1000 B. 1080 C. 500 D. 800 E. 10000

2 / 8

8. 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的每一个顶点与小正方形的两个不相邻顶点，形成了下图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为（）.

A.13 B.15 C.17 D.19 E.以上都不正确

9. 某竞赛考试有30个选择题，计分规则是：基础分30分，答对一题得4分，答错一题扣1分，不答不给分. 用公式表示就是𝑆=30+4𝑐−𝑤，其中S为分数，𝑐是答对的题数，𝑤是答错的题数，允许不答. 小马在这次考试中得分在80以上，他把分数告诉了小姜，小姜据此能推算出小马做出了几道题. 如果小马的得分少一些，但仍在80分以上，小姜就无法推算了. 那么小马得了（）分.

A.100 B. 110 C. 119 D.120 E.无法确定

10. 如图有1个大圆，1个中圆，3个小圆和1个等边三角形，已知小圆与大圆、小圆与中圆、小圆与三角形、中圆与三角形之间都是相切关系，且大圆的面积为32，那么图中阴影部分的面积为（）.

A.10 B.12 C.14 D.16 E.18

11. 我国古代用两种不同的符号“——”“— —”的不同组合来描述事物的变化，“——”叫作阳爻（yao），“— —”叫作阴爻，阳爻和阴爻统称为爻. 任

3 / 8

取三个爻从下往上重叠做成的三个爻的图形叫作卦，例如，，都是卦，

共有八种不同的卦. 用8个阳爻“——”和1个阴爻“— —”可以表示不同的卦的个数是（

）个.

A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 E. 10

12. 下列图中能够相互补充成圆的图形对是（）.

A.1，2；4，5 B.1，12；4，9 C.2，11；4，8 D.3，10；5，8 E.6，7；2，11

4 / 8

13. 这是我国著名数学家王元院士的题词：

如果不同的汉字代表1～9的不同数字，那么“数学竞赛好”是不同数字组成的五位数中最大的平方数，则这个五位数是（

）.

A.96721 B.97468 C. 98215 D. 95843 E.98751

14. 小立方体的4个面被着色，且油漆未干，如下图所示. 如果无滑动地将这6个小立方体从左边位置向右翻转3次，每次翻90°，那么小立方体在纸上会留下的痕迹是（

）.

5 / 8

A.1—⑤，2—①，3—⑥，4—②，5—③，6—④ B.1—④，2—①，3—⑥，4—③，5—②，6—⑤ C.1—②，2—③，3—④，4—⑤，5—⑥，6—① D.1—③，2—④，3—⑥，4—②，5—①，6—⑤ E.1—⑥，2—⑤，3—④，4—③，5—②，6—①

15. 将25克白糖放入杯中，倒入100克白开水充分搅拌后，喝去一半糖水，之后又加入36克白开水. 如果要使杯中糖水和原来一样甜，需要加入（）克白糖.

A.8 B.9 C.10 D.11 E.12

16. 如图是一个木制的立方体，将同一个面上四条棱的中点连起来，然后沿着这些线把8个角锯掉. 所得的立体图形有（）.

A.14个面和24条棱 B.14个面和36条棱 C.16个面和24条棱 D.12个面和36条棱 E.16个面和36条棱

17. 将120个5分硬币排成一列，每次操作都从头开始，第一次操作将硬币两个两个数，然后将数到二的硬币用1角的硬币替换；第二次操作将硬币三个三个数，然后将数到三的硬币用2角的硬币替换；第三次操作将硬币四个四个数，然后将数到四的硬币用5角的硬币替换；第四次操作将硬币五个五个数，然后将数到五的硬币用1元的硬币替换. 请问经过上述操作后这一列120个硬币的总值为（

）元.

A.40 B.44 C.44.4 D.46 E.48

18. 使24+27+2𝑛为完全平方数的正整数𝑛是（）.

6 / 8

A.10 B.12 C.8 D.7 E.5

19. 平面上有10个圆，最多可将平面分成（）部分. A.88 B. C.90

20. 每一组图中与其他图不同的那个图是（

A.1—A，2—B，3—C，4—D B.1—B，2—C，3—D，4—A C.1—D，2—B，3—C，4—C D.1—A，2—A，3—B，4—B E.1—D，2—A，3—C，4—C

7 / 8

D.91 E.92

）.

21. 当你正坐在一条东西走向的路旁时，风以每小时10km的速度向东吹. 一辆卡车沿路朝东向你开来，突然马达出现故障，当它离你0.5km时开始排黑烟，尽管卡车有故障，它仍以常速继续向东开去. 你发现自己刚好处在烟中2分钟，则卡车的速度是（）km/h.

A. 60 B. 30 C. 6 D. 5 E. 100

22. 某大型超市元旦假期举行促销活动. 规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元，按该次购物全额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠. 小乐两次购物分别用了94.5元和282.8元. 现小华决定一次购买小乐分两次购买的同样的物品. 那么小华付款可能为（）元.

A.377.3 B.366.8 C.363.4 D.358.4 E.348.6

23. 一个三位数，把它的百位与个位交换后得到的三位数是原三位数的倍数，这样的三位数有（）个.

A.42 B.56 C.72 D.90 E.110

24. 新建成的芜宣机场停有10架飞机，第一架飞机起飞后，每隔40分钟，有一架飞机起飞. 在第一架飞机起飞20分钟后，有一架飞机降落该机场. 以后每隔1个小时有一架飞机降落，降落的飞机在原有的10架飞机起飞后，又依次每隔40分钟起飞一架. 那么从第一架飞机起飞后，经过（一次出现没有飞机的现象.

A.16 B.163 C.17 D.173 E.18

25.设𝑥，𝑦是分母不超过2016的最简真分数. 如果<𝑥<𝑦<

910

）小时，飞机场第

，则𝑦−

𝑥的最大值是（

26305844048135

）.

4048135

1808

504

1808

2020

B. 2630584 C. 2009−2015 D. 2015−2009 E. 2021

8 / 8

2020年超常（数学）思维与创新能力测评

（六年级初赛答案）

姓名：_____________ 考试时间：80分钟满分：100分

考试说明

解只有A是旋转了180°的待变图形，其他四个图形均不符合，因此本题的正确答案应为A.

注：待变图形为黑色区域，将经过旋转（非翻转），成为右边答案图形，且答题时需注意图形为相同的，只是方向改变，如答案B经过上下翻转，与待变图形已无法在同一平面上重合.

2. 如果

1−

△+

11△+

21=1+

112+

）.

1△+△13+3这里，“△”可以代表同一个数，也可以表示不同的数. 那么，5个“△”之和等于（

）.

A.10 B.11 C.12 D.13 E.14 解等号右端化简后得.

7956

1 / 20

111115623

======

117979793+103+13+3+233223232+2+2010103111

===

1113+3+3+2222+2+2+2116+36+36+11+

22故选E. 1−

3. 如图所示，圆和正方形的面积相等，且中心重合. 如果阴影部分S的面积为1，则打点部分的面积T等于（）.

A.1 B.11 C.3

D. 𝜋 E. 𝜋−1

解如题图所示，设圆和正方形公共部分的面积为A，可得4S+A=圆的面积=正方形的面积=4T+A，得𝑇=𝑆=1. 故选A.

A. 不可能 B. 可能 C. 一定是 D. 一定不是 E. 无法确定解这是有可能的，下面分两种情况讨论：

(1)若A疫苗在甲医院有𝑛个人接受试验，𝑎个人有效；B疫苗在甲医院有𝑛个人接受试验，𝑏个人有效，则>，所以𝑎>𝑏.

𝑛

𝑛𝑎

𝑏

A疫苗和B疫苗在乙医院都有𝑚个人接受试验，分别有𝑐和𝑑个人有效，依题

2 / 20

意

𝑐

𝑚

𝑑𝑚

，所以𝑐>𝑑. 于是

𝑎+𝑐𝑚+𝑛

𝑏+𝑑𝑚+𝑛

在这种情况下，把结果合并后A疫苗仍比B疫苗效果好.

(2)若A疫苗在甲医院有20个人接受试验，6个人有效；B疫苗在甲医院有10个人接受试验，2个人有效，显然

620

A疫苗在乙医院有80个人接受试验，40个人有效；B疫苗在医院有990个人接受试验，478个人有效，显然

然而把结果合并后却可得

5. 如图所示，正方形点阵中阴影部分总面积为63，则空白部分总面积为（）.

A.51 B.61 C.71 D.81 E.91 解如解图，2个①号等腰直角三角形可与1个②号小正方形互换.

则空白部分总面积为63÷(−36)×36=81. 故选D.

6. 给定六个数：1、3、9、27、81、243，从中每次取出若干个数相加，可

46100

40809904801000

478

. <，即B疫苗比A疫苗效果好. 故选B.

3 / 20

以得出一个新数，这样共得到63个新数. 把它们从小到大排列起来是1、3、4、9、10、12、⋯. 那么，第39个数是（）.

A.243 B.244 C.246 D.252 E.256 解给定的六个数是1、3、32、33、34和35，对于其中任一数，它大于前面所有各数之和. 在取若干个数作和时，对于每一个数只有取与不取两种情况. 用二进制将39表示为(100111)2. 因此第39个数是1×35+1×32+1×31+1=256. 故选E.

A. 1000 B. 1080 C. 500 D. 800 E. 10000 解法1 如解图(𝑎)，甲到C时，狗在D第一次追上乙并调头与甲在E相遇，此时乙到F. 狗调头，当甲到G时，狗在H第二次追上乙并调头，与甲在P相遇，此时乙到M.

那么，AE=140，AP=350，EP=350−140=210. 令𝐷𝐹=𝑎，则

140

ED=3𝑎，AD=3𝑎+140，BD=𝑎+3

140770

)=2𝑎−𝑃𝐵=3𝑎−210−(𝑎+ 33

𝐹𝑀𝐸𝑃2103

=== 𝐵𝐹𝐴𝐸1402

所以

𝐹𝑀=3𝑎+70

所以

𝐸𝐻+𝐻𝑃=9𝑎+210

𝑃𝐻=(9𝑎+210−210)÷2=4.5𝑎

4 / 20

那么 HM=1.5𝑎，FH=1.5𝑎+70.

由解图(𝑎)可知，𝑃𝐻=4.5𝑎=2𝑎−3+𝑎+3+𝑎+1.5𝑎+70，解得 𝑎=140.

所以甲速：乙速=AE：BF=3：7，所以甲速：乙速：狗速=3：7：21.

图(𝑎)

当甲与狗第二次相遇时，甲、乙相距𝑃𝑀=840米，如解图(𝑏)，当狗第三次追上乙时比乙多行840米，此时甲行：840÷(21−7)×3=180(米)，乙行：840÷(21−7)×7=420(米).

甲、乙相距：840+420−180=1080(米).

图(𝑏)

解法2 从甲和狗同时同地向东出发到狗回到甲看成一次过程，甲、乙、狗

5 / 20

770140

不断重复这个过程，只是每个过程开始时甲、乙的距离不一样.

第一个过程甲走140米，第二个过程甲走350−140=210米，这两个过程中甲所走路程的比是140：210=2：3，那么这两个过程中甲、乙、狗所走路程比也都是2 ： 3，而且两个过程开始时甲、乙距离的比也是2 ： 3.

设AB的距离是2份，那么狗第一次回到甲时甲乙的距离（解图(𝑐)中DE）是3份.

图(𝑐)

设狗在C地追上乙，因为狗的速度是乙的3倍，距离差AB是2份，所以BC是1份. 狗与乙在C地，背向而行，共走DE（3份），当狗第一次回到甲（即E点）时，狗走了3×1+3=2.25份路程（CE），此时甲走3−2.25=0.75份路程（AE），所以甲与狗的速度比为0.75∶(3+2.25)= 1:7，而且AB的路程为140÷0.75×2=

1120

米. 337

当狗第一次追上乙时，乙走1份路程，狗走3份路程，那么甲走份路程，此时甲乙的距离为 3−7=27份路程，为

11203

÷2×2

=480米.

第二个过程的开始距离是第一个过程开始距离的3÷2=1.5倍，那么狗第二次追上乙时甲乙的距离是第一次追上乙时甲乙距离的1.5倍；同样狗第三次追上乙时甲乙的距离是第二次追上乙时甲乙距离的1.5倍，小狗第3次追上乙时甲、乙相距：480×1.5×1.5=1080米. 故选B.

6 / 20

A.13 B.15 C.17 D.19 E.以上都不正确解取特殊值，使得两个正方形中心相重合，由图可知，A、B、C、D均为相邻两格点的中点，则图中4个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为6×1.5÷2×4+2×2=22(𝑐𝑚2)，阴影部分的面积是6×6−22=14(𝑐𝑚2). 故选E.

9. 某竞赛考试有30个选择题，计分规则是：基础分30分，答对一题得4分，答错一题扣1分，不答不给分. 用公式表示就是𝑆=30+4𝑐−𝑤，其中S为分数，c是答对的题数，w是答错的题数，允许不答. 小马在这次考试中得分在80以上，他把分数告诉了小姜，小姜据此能推算出小马做出了几道题. 如果小马的得分少一些，但仍在80分以上，小姜就无法推算了. 那么小马得了（）分.

A.100 B. 110 C. 119 D.120 E.无法确定解已知𝑆=30+4𝑐−𝑤>80. 问题要求找到最小的这样的𝑆，与它对应的𝑐是唯一的. 首先注意到𝑐增加1，𝑤增加4，𝑆值不变，但要满足(𝑐+1)+(𝑤+4)≤30，即𝑐+𝑤≤25. 在𝑐+𝑤≤25时，对同一个𝑆，不能唯一确定𝑐值. 因此只有

𝑐+𝑤≥26 ①

才可能唯一地确定𝑐值. 其次，应有

𝑤≤3 ②

否则，若𝑤>3，可使𝑤减4，𝑐减1而得到S值不变（从𝑆>80得出𝑐≥13，

7 / 20

这也是可能的）. 于是，为了使S尽可能地小，我们应在不等式①与②许可的范围内，尽量减小𝑐，尽量增大𝑤. 这导致𝑤=3，𝑐=23. 所以𝑆=30+4×23−3=119，即小马得了119分. 故选C.

A.10 B.12 C.14 D.16 E.18 解如解图，联结OA，OB，所以△AOB是等边三角形，所以中圆的半径等于小圆的直径，大圆的半径等于中圆的直径，所以大圆面积是中圆的4倍，中圆面积是小圆的4倍，所以阴影部分面积为32−8−3×2=18.

故选E.

11. 我国古代用两种不同的符号“——” “— —”的不同组合来描述事物的变化，“——”叫作阳爻（yao），“— —”叫作阴爻，阳爻和阴爻统称为爻. 任取三个爻从下往上重叠做成的三个爻的图形叫作卦，例如，

，都是

卦，共有八种不同的卦. 用8个阳爻“——”和1个阴爻“— —”可以表示不同的卦的个数是（

）个.

A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 E. 10

8 / 20

解由1个阴爻和2个阳爻表示的卦中，由于阴爻可以在上、中、下3种不同的位置，有3种不同的卦((

)，所以，共有4种不同的卦. 故选B.

12. 下列图中能够相互补充成圆的图形对是（）.

A.1，2；4，5 B.1，12；4，9 C.2，11；4，8 D.3，10；5，8 E.6，7；2，11 解 1，12；2，11；3，10；4，9；5，8；6，7. 故选BDE.

9 / 20

)，剩下的6个阳爻只能组成1种卦

13. 这是我国著名数学家王元院士的题词：

如果不同的汉字代表1～9的不同数字，那么“数学竞赛好”是不同数字组成的五位数中最大的平方数，则这个五位数是（

）.

A.96721 B.97468 C. 98215 D. 95843 E.98751 解五个答案都是由不同的5个数字组成的五位数. 首先，末位为3和8的数不可能是平方数，排除答案B和D；其次，末尾是5的平方数，其十位数字必为2，排除C，最后，一个平方数，如果其十位数字是奇数，则个位一定是6，排除E. 所以应选A.

14. 小立方体的4个面被着色，且油漆未干，如下图所示. 如果无滑动地将这个6个小立方体从左边位置向右翻转3次，每次翻90°，那么小立方体在纸上会留下的痕迹是（）.

10 / 20

A.1—⑤，2—①，3—⑥，4—②，5—③，6—④ B.1—④，2—①，3—⑥，4—③，5—②，6—⑤ C.1—②，2—③，3—④，4—⑤，5—⑥，6—① D.1—③，2—④，3—⑥，4—②，5—①，6—⑤ E.1—⑥，2—⑤，3—④，4—③，5—②，6—① 解 1—⑤，2—①，3—⑥，4—②，5—③，6—④. 故选A.

15. 将25克白糖放入杯中，倒入100克白开水充分搅拌后，喝去一半糖水，之后又加入36克白开水. 如果要使杯中糖水和原来一样甜，需要加入（）克白糖.

A.8 B.9 C.10 D.11 E.12 解法1 设需要加入𝑥克白糖，则

𝑥+25÷225

100+25(100+25)÷2+𝑥+36

解得 𝑥=9. 解法2 设需要加入糖𝑥克，则

25𝑥

= 10036

解得 𝑥=9. 故选B.

16. 如图是一个木制的立方体，将同一个面上四条棱的中点连起来，然后沿着这些线把8个角锯掉. 所得的立体图形有（）.

11 / 20

A.14个面和24条棱 B.14个面和36条棱 C.16个面和24条棱 D.12个面和36条棱 E.16个面和36条棱

解法1 首先注意到立方体有6个面和8个顶点. 切割后有8个三角形面（对应于8个原顶点）和6个正方形面（对应于原来的面），即一共有14个面. 又注意到每条棱恰好属于一个三角形且8个三角形有8×3=24条棱. 故选A.

解法2 利用联系凸多面体的顶点数(𝑉)，棱数(𝐸)和面数(𝐹)的著名的欧拉公式，即𝑉−𝐸+𝐹=2，即𝐸−𝐹=𝑉−2. 现在问题中所得立体有𝑉=12，即𝐸−𝐹=10，唯一可能地给出的选择是𝐸=24和𝐹=14. 故选A.

）元.

A.40 B.44 C.44.4 D.46 E.48

解法1 由于[2，3，4，5]=60，所以，后面的60个硬币与前面60个情形相同. 以下按60个硬币计算.

①凡位置是5的倍数，上面是1元硬币，共有[5]=12个；

②凡位置是4的倍数，且不是5的倍数，上面是5角的硬币，共有[4]−[4×5]=15−3=12个；

③凡位置是3的倍数，且不是4，也不是5的倍数，上面是2角的硬币，共有[3]−[

606060

]−[]+[]=20−5−4+1=12个； 3×43×53×4×5 12 / 20

④凡位置是2的倍数，且不是3，4，5的倍数，上面是1角的硬币. 2的倍数共有30个，将位置编号除以2变为1~30，去掉其中2，3，5的倍数，共有

30303030303030

]+[]+[]−[] 30−[]−[]−[]+[

352×32×53×52×3×52

=30−15−10−6+5+3+2−1=8

⑤剩下60−12−12−12−8=16个位置上是5分硬币. 于是总钱数按元计算是：(1×12+0.5×12+0.2×12+0.1×8+0.05×16)×2=44.

故选B.

解法2 先放1元硬币，再放5角硬币且如此继续下去，对前面30个位置我们得到表1：

从31到60与从29开始反方向得到的模式相同，且从61到120的硬币与从1到60的硬币相同. 所以，如表2

13 / 20

故选B.

18. 使24+27+2𝑛为完全平方数的正整数𝑛是（）.

A.10 B.12 C.8 D.7 E.5 解注意到24+27=144=122. 令144+2𝑛=𝑚2，其中𝑚为正整数，则

2𝑛=𝑚2−144=(𝑚−12)(𝑚+12)

上式右边的每个因式必须为2的幂，设

𝑚+12=2𝑝 ① 𝑚−12=2𝑞 ②

其中，𝑝，𝑞∈𝑁，𝑝+𝑞=𝑛，𝑝>𝑞.

由①−②得

2𝑞(2𝑝−𝑞−1)=23×3

因为2𝑝−𝑞−1为奇数，2𝑞为2的幂. 所以等式仅有一个解，即𝑞=3，𝑝−𝑞=2. 因此𝑝=5，𝑞=3.

故𝑛=𝑝+𝑞=8是使所给表达式为完全平方数的唯一正整数. 故选C.

19. 平面上有10个圆，最多可将平面分成（）部分. A.88 B. C.90

D.91 E.92

解采用递推的办法，从中找出规律和答案. 列表如下：

从上表看出，10个圆最多把平面分成10×(10−1)+2=92个部分. 故选E.

20. 每一组图中与其他图不同的那个图是（

14 / 20

）.

A.1—A，2—B，3—C，4—D B.1—B，2—C，3—D，4—A C.1—D，2—B，3—C，4—C D.1—A，2—A，3—B，4—B E.1—D，2—A，3—C，4—C

解 1—D，2—B，3—C，4—C. 故选C.

A. 60 B. 30 C. 6 D. 5 E. 100

15 / 20

解你所碰到的烟是卡车在你之西0.5km到从你身旁开过这段时间内排放的.注意，如果卡车速度𝑠<10km/h，你一开始遇到的烟是卡车最先排出的，而如果𝑠>10km/h，你首先遇到的是卡车从你身旁开过时最后排出的烟.

从卡车开始排烟那一时刻到你开始遇到烟的这段时间是𝑡=10. 因为风以每小时10km的速度将烟吹过了0.5km，当卡车从你身旁开过去时排出的烟刚一排出在时间𝑡=

0.5

立即遇到你，因为卡车是以速度𝑠通过了0.5km路程. 既然你在𝑠130

0.5

烟中的时间共为2分钟(即为

0.5𝑠

小时)，我们有|

0.510

−

0.5𝑠

，这样或者

0.510

−

130

，或者

0.5𝑠

−

0.510

130

，即3𝑠−30=2𝑠或30−3𝑠=2𝑠，因而两个答案是

𝑠=30km/h或𝑠=6km/h.

故选BC.

A.377.3 B.366.8 C.363.4 D.358.4 E.348.6 解注意到100×0.9=90<94.5<100，300×0.9=270<282.8. 设小乐第二次购物的原价为𝑥元，则

(𝑥−300)×0.8+300×0.9=282.8

解之，得 𝑥=316. 下面分两种情况讨论：

（1）小乐第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小华应付： (316+94.5−300)×0.8+300×0.9=358.4（元）；

（2）小乐第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元，则第一次购物原用去94.5÷0.9=105（元）. 所以小华应付(316+105−300)×0.8+300×0.9=366.8元. 即小华应付款358.4元或366.8元.

故选BD.

16 / 20

23. 一个三位数，把它的百位与个位交换后得到的三位数是原三位数的倍数，这样的三位数有（）个.

A.42 B.56 C.72 D.90 E.110 ̅̅̅̅，则̅̅̅̅̅=𝑘𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅，1≤𝑘≤9且𝑎，𝑐≥1 𝑐𝑏𝑎解法1 假设这个三位数是̅𝑎𝑏𝑐①若𝑘=4，则100𝑐+10𝑏+𝑎=400𝑎+40𝑏+4𝑐

133𝑎+10𝑏=32𝑐，所以𝑎=2，从而133+5𝑏=16𝑐，矛盾；

②若𝑘=7，则100𝑐+10𝑏+𝑎=700𝑎+70𝑏+7𝑐，从而31𝑐=233𝑎+20𝑏，矛盾；

̅̅̅̅−̅̅̅̅̅=99(𝑐−𝑎). ̅̅̅̅̅=̅𝑐𝑏𝑎𝑎𝑏𝑐③若𝑘≠4且𝑘≠7，由于(𝑘−1)𝑎𝑏𝑐

̅̅̅̅̅，如果𝑐−𝑎≠0，由于𝑘−1≤9−1=8，因此99|𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅=198，297，396，495，594，693，792，1，即̅𝑎𝑏𝑐

但是1=99×9与198=99×2没有倍数关系，同样792=99×8与297=99×3；693=99×7与396=99×4；594=99×6与495=99×5都没有倍数关系. 所以，𝑐=𝑎. 由于𝑎，𝑐有9种取法，𝑏有10种取法，共90个.

故选D.

̅̅̅̅，则̅̅̅̅̅=𝑘𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅，1≤𝑘≤9且𝑎，𝑐≥1 𝑐𝑏𝑎解法2 假设这个三位数是̅𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅−̅̅̅̅̅=99(𝑐−𝑎) ̅̅̅̅̅=̅则(𝑘−1)𝑎𝑏𝑐𝑐𝑏𝑎𝑎𝑏𝑐

̅̅̅̅̅，如果𝑐−𝑎≠0，由于𝑘−1≤9−1=8，因此11|𝑎𝑏𝑐因此𝑏=𝑎+𝑐或者𝑏=𝑎+𝑐−11 ①若𝑏=𝑎+𝑐，则

100𝑐+10𝑏+𝑎=𝑘(100𝑎+10𝑏+𝑐)

110𝑐+11𝑎=𝑘(110𝑎+11𝑐)

10𝑐+𝑎=𝑘(10𝑎+𝑐) 11(𝑎+𝑐)=(𝑘+1)(10𝑎+𝑐)

因此10𝑎+𝑐必须是11的倍数，𝑎=𝑐，矛盾 ②若𝑏=𝑎+𝑐−11，则

110𝑐−110+11𝑎=𝑘(110𝑎−110+11𝑐)

17 / 20

10𝑐+𝑎−10=𝑘(10𝑎+𝑐−10)

两边模9，得𝑎+𝑐−1≡𝑘(𝑎+𝑐−1)(𝑚𝑜𝑑 9)

因此𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 9)或𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 3) 𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 3)或𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 9) 𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 9)，又由于𝑎+𝑐=11+𝑏，在12~18之间没有合适的值 𝑎+𝑐≡1 (𝑚𝑜𝑑 3)，𝑘≡1 (𝑚𝑜𝑑 3)，𝑎+𝑐=13或16，则𝑘=1或4， 𝑘=1显然得出𝑎=𝑐，𝑘=4则由于11(𝑎+𝑐)=(𝑘+1)(10𝑎+𝑐)，5|11(𝑎+𝑐)，与𝑎+𝑐=13或16矛盾

综上，𝑐=𝑎. 由于𝑎，𝑐有9种取法，𝑏有10种取法，共90组. 故选D.

A.16 B.163 C.17 D.173 E.18 解因为每隔40分钟有一架飞机起飞，每隔1小时才有一架飞机降落. 因此，到某一时刻，飞机场会出现暂时没有飞机的现象

）小时，飞机场第

设从第一架飞机起飞直至中断前最后一架飞机降落这段为𝑥分钟(此时必然同时有一架飞机起飞，否则这就不是最后一架降落的飞机)：

由题意，得

𝑥−20𝑥

+1)=9 (+1)−(6040

𝑥=1040

这表明，第一架飞机起飞1040分钟后，机场只剩下刚刚降落后的一架飞机，显然，再经过40分钟，最后一架飞机起飞后，机场就没有飞机了. 故选E.

18 / 20

25.设𝑥，𝑦是分母不超过2016的最简真分数. 如果<𝑥<𝑦<

910

，则𝑦−

𝑥的最大值是（

26305844048135

）.

4048135

1808

504

1808

2020

B. 2630584 C. 2009−2015 D. 2015−2009 E. 2021

𝑚𝑛

解设满足题目条件最小的分数𝑥为，其中𝑚，𝑛为正整数，𝑚<𝑛≤2016，则

𝑚14𝑚−𝑛

−= 𝑛44𝑛

因为<𝑥，所以4𝑚−𝑛≥1.

首先考虑4𝑚−𝑛=1的自然数. 可以看出𝑚=1，𝑛=3是一个特解. 因此得到所有的正整数通解为

𝑚=1+𝑡

{(𝑡=0，1，2，⋯) 𝑛=3+4𝑡

要求𝑛≤2016，即𝑛=3+4𝑡≤2016，得到0≤𝑡≤503. 此时有

𝑚𝑛

−

14𝑛

，所以𝑛越大，越接近，故取𝑡=503. 此时，𝑛=2015，𝑚=504，于是

𝑚50450411

=，−= 𝑛20152014×2015

对于其他的𝑚，𝑛，即考虑4𝑚−𝑛≥2的情况

211𝑚1

−≥≥> 𝑛44𝑛4×10084×2015

因此满足<𝑥且分母不大于2016的最小的分数为

𝑟𝑠

𝑚𝑛

504

2015

类似地，记满足题目条件最大的𝑦为，𝑟，𝑠为正整数，𝑟<𝑠≤2016，则

9𝑟9𝑠−10𝑟−= 10𝑠10𝑠

由于𝑦<

，则9𝑠−10𝑟≥1. 10首先考虑9𝑠−10𝑟=1的自然数. 可以看出𝑟=8，𝑠=9是一个特解. 因此得到正整数通解为

𝑟=8+9𝑡{(𝑡=0，1，2，⋯) 𝑠=9+10𝑡

要求𝑠≤2016，即𝑠=9+10𝑡≤2016，得到0≤𝑡≤200. 此时有

19 / 20

910

−

𝑟𝑠

110𝑠

，所以𝑠越大，越接近𝑠

𝑟9

，故取𝑡=200. 此时，𝑠=2009，𝑟=1808，于是

𝑟18018081=，−= 𝑠200910200910×2009

对于其他的𝑟，𝑠，即考虑9𝑠−10𝑟≥2的情况

9𝑟211−≥≥> 10𝑠10𝑠10×100810×2009

因此满足𝑦<

𝑟180

且分母不大于2016的最大的分数为=. 10𝑠2009

最终，满足题目条件的𝑦−𝑥的最大值为

18085041808×2015−504×20092630584

−== 200920152009×201048135

故选AC.

20 / 20

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文

2020 年超常(数学)思维与创新能力测评 (六年级 初赛)含答案

2020 年超常(数学)思维与创新能力测评 (六年级初赛)含答案