第３７卷第１１期 计算机科学 Ｖｏ１．３７ Ｎｏ．１１ ２０１０年１１月 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｎｏｖ ２０１０ 一种基于Ｚｅｒｎｉｋｅ矩形状检索的新算法 郭丹闰德勤吴晓婷刘胜蓝 （辽宁师范大学计算机与信息技术学院 大连１１６０８１） 摘要高维Ｚｅｒｎｉｋｅ矩作为图像检索的形状特征描述子，具有描述图像区域细节信息的能力，能够全面有效地表征 图像的内容。但是高维的矩存在着“维数灾难”的问题，不仅使算法的复杂度增大，而且会增加不必要的信息，造成主 要信息混淆，影响对图像的描述。提出了流行学习的方法来处理冗余的数据信息。在通过拉普拉斯图保持局部样本 数据不变的情况下，引入了全局算法来保证样本的整体性。考虑到信息之间的相关性而影响投影的准确率，对其进行 Ｓｃｈｕｒ特征值分解，得到正交基向量，从而使数据重构相对容易，并且Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的旋转不变性仍能保持下来，使检索 得到的图像更加符合人眼视觉效果。该方法在检索性能上优于传统的局部保持投影方法，检索效果有明显的提高。 关键词Ｚｅｒｎｉｋｅ矩，图像检索，主成分分析，局部保持投影，Ｓｃｈｕｒ分解 中图法分类号ＴＰ３０１．６ 文献标识码Ａ Ｎｅｗ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ Ｚｅｒｎｉｋｅ Ｍｏｍｅｎｔｓ Ｆｅａｔｕｒｅｓ ｆｏｒ Ｓｈａｐｅ－ｂａｓｅ Ｉｍａｇｅ Ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ＧＵＯ Ｄａｎ ＹＡＮ Ｄｅ－ｑｉｎ ＷＵ Ｘｉａｏ－ｔｉｎｇ ＬＩＵ Ｓｈｅｎｇ－ｌａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６０８１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｌ ｃｔ Ａｓ ｓｈａｐｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ，ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｔｉｏｎ ｚｅｒｎｉｋｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌ ｉｎｆｏｒ— ｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｒｅｇｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｅ】【ｉｓｔ“ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄｉｓａｓｔｅｒ”．Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｕｎｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅ ｍａｊｏｒ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｆｕｓｅｄ，ａｎｄ ｗｉｌｌ ａｆｆｅｃｔ ｄｅｃｒｉｂｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ． Ａ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｄａｔａ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎ— ｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｌａｐｌａｃｅ ｆｉｇｕｒｅ ｋｅｅｐｉｎｇ ｌｏｃａｌ ｓａｍｐｌｅ ｄａｔａ，ｏｖｅｒａｌｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍ— ｐｌｅ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ，ｓｃｈｕｒ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏ— ｓｉｔｉｏｎ ｗａｓ ｍａｄｅ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｖｅｃｔｏｒｓ．Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｄａｔａ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｅａｓｉｅｒ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｔａ— ｔｉｏｎ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｆ Ｚｅｒｎｉｋｅ ｍｏｍｅｎｔ ｃａｎ ｓｔｉｌｌ ｋｅｅｐ ｄｏｗｎ，ｔｈｅｎ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ａｃｃｏｒｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈｕｍａｎ ｖｉｓｕａｌ ｅｆｆｅｃｔ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｔｈａｎ ＬＰＰ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ。ａｎｄ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｚｅｒｎｉｋｅ ｍｏｍｅｎｔ，Ｉｍａｇｅ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ，ＰＣＡ，ＬＰＰ，Ｓｃｈｕｒ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ １ 引言 对象。于是，在图像检索领域中，对图像的形状特征进行恰当 的描述就显得尤其重要。形状通常被认为是一条封闭的轮廓 随着Ｉｎｔｅｒｎｅｔ日益普及，特别是随着多媒体技术、存储技 曲线所包围的区域，所以形状的描述涉及到一条封闭边界以 术、压缩技术和网络带宽等技术的不断发展，图像的使用日益 及这个封闭边界所包围的区域。通常形状的描述可以分为基 广泛。一方面，网上信息（包括许多数字图片）每年在以指数 于轮廓和基于区域两大类。其中，基于轮廓的形状描述技术 形式增长；另一方面，很多图像数据库，包括遥感图像、医学图 已相当成熟，不足之处是没有考虑形状区域内的像素。基于 像、多媒体、数字图书馆等应用数据库也连接到互联网供用户 区域的形状描述方法主要有区域的面积、形状的纵横比区域 检索。随着应用的不断增加，大量图像数据库检索问题得到 拓扑、区域频谱等。 人们的广泛关注。要想有效管理和利用这些庞大的图像资 但基于矩的描述方法更适合图像的形状特征，因为它们 源，就必需有高效率的图像检索技术。 不仅仅计算轮廓上的像素点，还计算构成形状区域的所有像 提取图像特征是进行图像检索的首要前提。图像基本特 素点［１］。目前常用的矩主要有几何矩、中心矩、正交不变矩 征包括颜色、纹理、形状和物体间方位关系等。自然界的物体 等，而Ｚｅｒｎｉｋｅ矩就是正交不变矩中比较成熟并被广泛使用 主要靠形状来区别，因为对具有相同颜色特征的物体而言，其 的一种复数矩［２］。Ｚｅｒｎｉｋｅ矩作为一种基于区域的形状描述 形状可能不同，而且形状表示了图像中有意义的区域或相关 子，具有良好的旋转不变性和易构造高阶矩等特点，使其能够 到稿日期：２００９—１２—０４返修日期：２０１０—０２—１１ 本文受国家自然科学基金（６０３７２０７１），中国科学院自动化研究所复杂系统与智能科学重点实 验室开放课题基金（２００７０１０１），辽宁省教育厅高等学校科学研究基金（２００８３４４）资助。 郭丹（１９８５一），女，硕士生，主要研究方向为图像检索和降维等，Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｕｏｄａｎ０５２６＠１６３．ｃｏｒｎ；闫德勤（１９６２一），男，博士，教授，主要研究方 向为模式识别、图像检索、数据挖掘和信息安全等；吴晓婷（１９８５一），女，硕士生，主要研究方向为模式识别、数据降维；刘胜蓝（１９８４一），男，主要 研究方向为数据降维和模式识别等。 很好地提取图像内部的形状信息。但是也存在着一些不足， ｆ（ｘ， ）的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的定义： ＝ 由于高阶Ｚｅｒｎｉｋｅ矩能够描述图像的细节信息，因此为了提 高检索精度，我们尽量去构造高阶矩作为形状描述子，从而导 致特征数据维度过高。对于高维数据，要理解隐藏其中感兴 趣的模式或知识，并不是所有的维度都是必要的或重要的。 ｆ｝ ２ ２≤１ （ ，ｙ）ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ 式中，Ｖ （ｚ， ）表示Ｖ （ｚ， ）的共轭。对于一幅离散数字图 像，它的ｍ重 阶Ｚｅｒｎｉｋｅ矩表示为： Ｚ肌一 “ｒ 因此所提取的大量图像特征中有可能存在冗余信息，从而导 致图像处理结果的精确度下降，还会导致图像处理算法的复 杂度过高。 ∑ＥＳ（ｘ， ） ｚ （１０， ）， ＋ ≤１ （１） ２．２ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的提取与特征库的形成 ２．２．１ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的提取 针对这一问题，需要采用一种有效的方法来降低数据维 数。最近提出许多用于数据降维的流行学习算法并且成功地 应用于人脸识别中，取得了很好的实验效果。在此类方法中， 因为Ｚｅｒｎｉｋｅ矩被定义在极坐标系统（ｐ， ）内，并且 ≤ １，计算Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式需要对图像坐标（ｉ， ），ｉ， —Ｏ，１，２，…， Ｎ一１进行线性变换，并映射到合适的圆形区域内，（ ， ）∈ Ｒ 。现有两种常用的转换方法［３一，如图１所示。在此，我们选 主成分分析（ＰＣＡ）是使用较广的方法＿４］。但是，最近许多研 究表明，图像数据中可能存在非线性结构，而ＰＣＡ仅考虑了 数据的全局结构，因此它们不能有效处理数据的流形结构。 近来，已经提出了许多流形学习方法来发现数据中的非线性 流形结构，如ＩＳＯＭＡＰＥ 、局部线性嵌入（Ｉ ＬＥ）Ｅ 和拉普拉斯 映射图（ＬＥ）¨７］。虽然在大多情况下这些算法更能反映数据 的本质特性，但是也存在一些缺点，就是对于新来的样本点不 能进行有效的处理，而且没有直接的转换矩阵，不如线性降维 算法简单、直观。为了克服上述缺点，Ｈｅ等人提出了局部保 持投影（ＬＰＰ）方法并成功应用到人脸识别中［８ｊ，该方法能够 保持图像数据的局部结构信息。对于图像检索这个很耗费时 间的应用来说，数据极为庞大，用户都希望尽快得到结果。在 保证准确度的前提下，选取相应计算量小的，以便在有效地缩 短检索时间的情况下获得相对精确的检索效果。ＬＰＰ方法 更适合在图像检索中使用。Ｌｕ Ｋｅ，Ｈｅ Ｘｉａｏｆｅｉ将ＬＰＰ直接 应用到图像检索中ｌ９］，取得了一定的效果，但是它只考虑到图 像的局部结构信息，忽视了数据的整体性，具有一定的局部限 制性。为了更好地刻画图像所表达的信息，我们采用局部和 全局相结合的算法正交地引入ＰＣＡ的拉普拉斯图映射 （ＯＬＰ），不仅保留了图像数据的局部非线性，而且保留了数据 集绝大部分结构特征的紧凑子空问。为使每个分量能够充分 发挥其作用，并且不受其他信息的干扰，我们又对其进行 Ｓｃｈｕｒ分解，以这种简单易行的方式获得正交基向量，使图像 检索的效果更加精确有效。在１００８幅ｌ４类图像数据库上进 行了实验，实验结果验证了算法的有效性，并且其明显优于传 统的ＬＰＰ算法。 ２ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩及其形状特征库 ２．１ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩描述子 Ｚｅｒｎｉｋｅ提出了一组定义在极坐标下（ｚ。＋ ≤１）上的复 数多项式 （ｚ， ），表达如下： Ｖ （ ，．）’）一 （ｐ， ）一ｅｘｐ（ｊｍＯ） 式中， 为正整数或零，ｍ为满足条件， 一ｌ ｌ是偶数，且 ≥ ｝ ｛，（．０， ）是点（ ， ）的极坐标表示，Ｐ表示从圆心到点（Ｌｚ， ） 的向量长度，０为向量．０沿逆时针方向与 轴的夹角，ｆ（ｘ， ） 为向量长度，ｆ（ｘ， ）等于０或１。Ｒ 为正交的径向多项式， 且有Ｒ ，～ （ｆＤ）一Ｒ （Ｉ。），定义如下： Ｒ （ｐ）一 （ （ 一是） 一０ ！（ 一圳（ 一走） Ｔｅａｇｕｅ以Ｚｅｒｎｉｋｅ正交多项式为基础，给出了二维函数 ・２４８・ 择第二种Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的提取方法，将图像转换到极坐标下的 单位圆中，即将目标的重心（形心）作为极坐标的圆心，以圆心 到目标区域内最外像素点的距离为半径（取最远距离作为半 径，使得区域中所有像素都落在单位圆内，避免像素信息丢 失），对目标区域内的像素重新采样到单位圆内。相比之下， 第二种方法较第一种有一定的优势，因为第一种忽略了目标 的边缘像素，这样会引起一定的误差。直角坐标到极坐标的 转换为ｘ＝ｐｃｏｓＯ，ｙ＝ｐｓｉｎＯ，其中ｆ０一 ＋ｙ ， 一ａｒｃｔａｎＹ。 —计算中，要注意直角坐标系中像素点所在的象限，因为 一 ａｒｃｔａｎ÷定义在区间ｌ一号，号ｌ内。最后计算出各阶Ｚｅｒｎｉ— ｋｅ矩，取其幅值作为图像的描述子，ｆＡ ｆ作为其目标描述向 量。本文主要取前３６阶矩。 一 ０壁 ， Ⅳ 【ｃ） 图１ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩提取方法 在计算Ｚｅｒｎｉｋｅ矩之前要对图像进行归一化操作ｌ４］，因 为Ｚｅｒｎｉｋｅ矩本身具有旋转不变性。因此，为了获得鲁棒性 的图像特征，图像ｆ（ｘ， ）应该在计算Ｚｅｒｎｉｋｅ矩之前进行相 应的变换。为了获得平移不变量，要将图像ｆ（ｘ， ）的重心移 到单位圆的中心： ｛ｇ（ＸＴ，ｙＴ）： １ 一 — ，．），Ｔ— 一 ｝ 式中，ｇ（ＸＴ，Ｙｒ）是新的平移函数；（－ｒ， ）是图像函数ｆ（ｘ，ｊ，） 的重心，计算如下： ｊ一 Ｏ０ 。 ＝ ｌｎｏｏ 式中，执ｌ， 。和ｍ。。分别是图像函数ｆ（ｘ， ）的（０＋１），（１＋ ０）和（Ｏ＋Ｏ）阶的几何矩，它们分别定义为： ｒｒ ｍ１ｏ—ｌ＿ｘｆ（ｚ， ）ｄｘｃｄｙ ｍｏｌ—Ｉｆｙｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ ｍ０ｏ—ＩＩｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ （２）映射Ｆ． Ｅ＜＜Ｄ 五一Ｆ（ ）尺度不变量是在上述图像平移之后的基础上对其进行归 一化的，新的目标区域的ｍ。。＝ｆｌ， 是预先定义的值。所以新 的尺度函数ｈ（ｘｓ，Ｙｓ）定义为： ｓ，ｙｓ）涵一ｚ 一ｙ ＼ 平移和尺度不变性可通过下式获得： 。（ｚ， ）一＿厂（ ＋ ， ＋ ） 式中，ｎ一￣／—ｌｆ／ｍ—ｏｏ，ｏ（ｘ， ）是新的经过平移和尺度缩放的函 数。 ２．２．２矩特征库的形成 Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的基是正交径向多项式，因此可以保证所提取 的特征相关性小，冗余性小，抗噪声能力强；Ｚｅｒｎｉｋｅ矩具有旋 转不变性，经过相关改进后可以具备平移不变性以及更好的 比例不变性。一幅图像的形状特征可以用一组Ｚｅｒｎｉｋｅ矩集 合很好地表示，低阶矩描述的是一个图像目标的整体形状，高 阶矩描述的是图像目标的细节。在式（１）中，可以根据 中 的变化计算出图像不同阶的Ｚｅｍｉｋｅ矩；相应地，在ｍ值确 定的情况下，又可以根据，ｚ值的变化计算ｍ阶的各个Ｚｅｒｎｉｋｅ 矩值，而这些矩值就可以被看作具体图像的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩特征。 把计算出的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的各阶矩值，按照 递增次序并且在 确定的情况下，再按照 递增次序排列，则可以组成相关图 像形状特征的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩特征集ｚ 。如表１所列的Ｚｅｒｎｉｋｅ 矩的前３６阶矩，是在考虑ｍ＞Ｏ时的情况。若再计算ｍ＜Ｏ 时的情况，那么Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的个数就会翻倍。因此，要对这些 高维的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的特征向量作降维处理，以便后续分析和 处理。 表１ Ｚｅｒｎｉｋｅ矩及其个数 ３降维及其引进ＰＣＡ的局部投影的改进 ３．１降维的定义 降维技术是希望通过一个映射找到数据的低维表示。假 设我们得到Ｄ空间上的一个实向量样本集｛Ｐ ｝ ，降维问题 基于如下的基本假设：高维数据实际位于一个维数比数据空 间的维数小得多的流形上。降维的目的就是获得这一流形的 低维的坐标表示。 我们可以定义降维问题的模型为（Ｐ，＾ ，其中， （１）Ｐ一｛ｔ ｝Ｎ 是Ｄ维空间中的数据集合（一般是ＲＤ的 一个子集）； 一ｚ ＣＤ）＜Ｄ １ 善（巧一ｉ） ，其中 一音备 。为了简写协方差 ｉ一１ ∑ｚ，一 ，ｚ ，因此有： ｘ一［ ，…， ］＝［Ｉｚ 一 ，…，岛一－ｒ］一ｘ一 一ｘ一 ｅＴ—ｘ（Ｉ—Ｔ）一 ，Ｊ＝Ｉ一 ｅｅＴ 因此，协方差矩阵可以写为Ｃ—ＸＪＪ Ｘ 。又ＪＪ 一Ｊ， 所以Ｃ＝ＸＪ 。ＰＣＡ的优化函数为： 』《【 啪 ：ｔ“ “一１ Ｉ、 ．ｔｍａｘ“ ｕＴｕ一１ ＸＪｘ （… ２） ．・２４９・ ３．２．２新算法ＯＬＰ的描述 正交基向量。当被分析的矩阵是非对称矩阵时，Ｓｃｈｕｒ分解 定理可以很好地代替特征分析法。 定理１（Ｓｃｈｕｒ） 设Ａ为 阶方阵， ，ａｚ，…， 是Ａ的 特征值，不论它们是实数还是复数，总存在相似矩阵Ｕ，使得 Ａ—Ｕ丁 ，其中Ｔ为三角矩阵，对角线上的元素是 ，Ａ ， …我们建立一个具有ｍ个顶点的权图Ｇ。如果节点ｘ 是 的Ｋ＿近邻或者乃是 的 近邻，则在节点蕊和ｚ 之间 用一条边连接。按上述规则构成的权图可以很好地模拟内嵌 在高维空间中的低维流形。大量研究表明，人类的感觉（听 觉、视觉）往往表现为非线性的流形结构，这就使得图像数据 这样的视觉产物含有大量的非线性特性。因此，在图像检索 中基于上面的权图来建立映射可以获得良好的效果。 令ｘｉ和 为一个局部Ｋ＿邻域结构中里的两个点集，并且 ， 。 依据定理，当Ａ为实 阶方阵时，它的Ｓｃｈｕｒ分解是Ａ— ＵＴＬ ，这里Ｕ就是正交矩阵。为了获得正交基向量，我们并 没有对Ｄ＿１Ｘ（Ｌ—Ｊ）Ｘ 进行特征分析，而是对Ｄ Ｘ（Ｌ～－，） Ｘ 进行Ｓｃｈｕｒ分解。假设Ｄ Ｘ（Ｌ—Ｊ） 的分解是 满足ｌｌ五一弓ｌ｛。＜Ｋ。定义一个集合Ｌ严，使 ＝｛ｌ ｌ２ｃ／一弓ＩＩ ＜Ｋ｝。当ｚ 和 投影到“方向时，得到新的点集Ｙ 和Ｙ 。 因此数据样本的局部分布可以定义为： 舰 “’ ｌ １ ∈ ＵＴＵ丁，“ ，“ｚ，…， 是矩阵Ｕ的所有列向量。 假设Ｕ ，“２，…，蚴是Ｄ Ｘ（Ｌ—Ｊ） 前ｄ个最小特征 （ｙｉ－ ∞专 ∈ （ｙｉ－ＹＪ 。‘。 值所对应的Ｓｃｈｕｒ分解向量，那么Ｕ ，Ｕｚ，…，Ｕ 可以最小化 目标函数Ｍ（Ｕ）。 式中，Ｎ 是满足ｌ ｌｚ 一面ｌ１ ＜Ｋ的样本对的个数。 定义邻接矩阵ｗ，满足下面的条件： ｗ，一ｆ ，如果ｘｊ是 ｔ的近邻或者 是ｚ 的近邻ｌ １０， 其它情况 Ｊ 很显然邻接矩阵ｗ是对称的，因此式（３）可以为： （“）一寺互墨 （ 一∞）。 一５ －∑∑ｗｊ（ Ｔｘ －－Ｕ ，） 一“ １专∑∑ （Ｌ厶ｉ—ｌｉ：１ 。 五一乃）（五一∞）。 ｌ．Ｊ “ —ｕｒＳＬＵ 式中， 一音∑∑ （ 一 ）（ｘｌ一 ） ，由于矩阵ｗ是对 称的，因此有如下推导： ＳＬ一去（∑∑ｗ，ｚ ｘＴ＋∑∑ＷｊｘＪ－ｚ，－－２∑∑Ｗｉｘ ｚ ） ＝【，＝１ ｌ＝¨一ｌ ｌ—ｊ１＝１ 一（∑Ｄ ．２２ 一∑∑Ｈｊｘ －ｚ ） 一（ＸＤＸ ｒ—ＸＨ ）一ＸＬＸ （４） 式中，Ｘ一（ｚ ，３１＂ｚ，…，ｚｗ）；Ｄ是对角矩阵，其对角线上的元素 是矩阵Ｈ的列向量的和，Ｄ 一∑ＨＪ。Ｌ—Ｄ—Ｈ是拉普拉斯 矩阵。这样引入全局算法ＰＣＡ，结合式（２）和式（４），得到如 下的目标函数： ～一 ｆ ａｒｎ Ｕ ＸＬＸ ｕ／ｕ ＸＪＸ Ｕ 一｛５．ｆ“ｉ ｘＤｘ “一１ 求ｍｉｎ（ｕＶＸＬＸ ｕ／ｕ ＸＪＸ Ｕ），即求ｍｉｎ（ＵＴＸ（Ｌ—Ｊ） “）。再应用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法，首先构造拉格朗日方程如 下： ＩＬ（ｕ）ｏｃｅ＝ｍｉｎ｛ｕＴｘ（Ｌ—Ｊ）Ｘｒｕ－ａ（ｕＴｘＤｘＴ一１）、 对拉格朗日方程求导： 一ＵＴＸ（Ｌ—Ｊ）Ｘ＇ｒｕ— （“ｒＸＤＸ ～１）一０ 约束优化问题（３）的求解变为求以下广义特征值问题： ｘ（Ｌ—Ｊ）ｘＴｕ＝ａＸＤＸｒｕ 那么基向量｛“ ，Ｕ ，…，Ｕｄ｝是矩阵，因为矩阵（ＸＤＸ ） Ｘ（Ｌ～Ｊ）Ｘｒ是前ｄ个特征值所对应的特征向量。因为 （ＸＤＸｒ） Ｘ（Ｌ一．，） 不是对称的，所以基向量｛“ ，“ｚ，…， Ｕｄ）不一定是正交的，这使得数据重构很困难。为了解决这一 问题，本文应用Ｓｃｈｕｒ分解定理嘲，以一种简单的方式来获得 ・２５０・ 证明：因为“ ，Ｕ２，…， 是 Ｘ（Ｌ—Ｊ） 前ｄ个最小特 征值所对应的Ｓｃｈｕｒ分解向量，所以有 ｘ（Ｌ—Ｊ） 一 ａｉＵ， ＝１，２…，ｄ，｜＝【 是Ｄ Ｘ（Ｌ—Ｊ） 的第ｉ个最小特征值。 从上式可以得出： ｕｌ， ２，…， ］Ｔｘ（Ｌ—Ｊ）ｘ丁［“１，“２，…，蚴］ 一［“１， ，…， ］ ｘ（Ｌ一．，）ｘ ［ ，“２，…， ］ ｄｉａｇ（ａ１，｜：【２，…， ） 因此可以有： Ｍ（Ｍｌ，“２，…Ｕｄ）一 ［“１，Ｕ２，…，Ｕａ］ （Ｌ—Ｊ）Ｘ ［“】，Ｕ２，…， ］ ［“１，Ｕ２，…， ］ Ｄ［“ｌ，Ｕ２，…， ］ ｄ 一Ⅱ 一ｒａｉｎＭ（Ｕ） 于是，选取Ｕ１，“ ，…， 这一组新的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩作为特征向 量，进行图像检索。 ４实验结果 为了检验本文方法的性能，我们选取１００８幅、１４个种 类、每类含有７２幅带有不同旋转角度的图像库作为实验对 象。提取图像的Ｚｅｒｎｉｋｅ矩作为图像的形状特征，运用欧式 距离度量法进行图像间的相似性度量。应用本文提到的算法 ＯＰＬ与传统的ＬＰＰ作对比，显示前４Ｏ个图像的返回结果。 我们从不同的角度来评判本文方法的有效性。 为了评价本文方法的效果，采用“精确度（ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ）”和 “检索效率（ｒｅｃａｌ１）”作为图像相似性的评价准则。其中精确 度Ｊ定义为检索结果队列中检索到的目标图像数与检索结果 队列中所有图像数之比，即Ｊ—ｙ／Ｘ，其中ｙ为目标图像数，Ｘ 为结果队列中所有的图像数。检索率．，定义为检索结果队 列中检索到的目标图像数与数据库中全部目标图像数之比， 即Ｊ—ｙ／Ｆ，Ｆ为数据库中的目标图像总数。由精确度和检 索率的定义可知，ＩＥ［ｏ，１］，ＪＥ［Ｏ，１］。通过执行例子集合中 的各个查询来计算出查询的平均检索精度和查全率，据此就 能给出系统的检索性能评价。对本文提出的算法ＯＬＰ和应 用传统的ＬＰＰ算法所得到的结果进行了对比。我们选取图 示中的第一个图像作为样本图像，从图像库中查询与样本图 像相似的图像。通过表２可以看出，经过本文改进的算法查 准率和查全率都比较高，并且效果明显好于传统的ＬＰＰ算 法。例如应用传统ＬＰＰ算法的图示（见图２）中，与小盒差距 较大的其他形状的图像都被检索出来。而经过改进的本文算 法，返回的相关图像全部是想要得到的目标图像。 表２ Ｉ Ｐ和ＯＬＰ检索结果的查准率和查全率 再用排序方法作为评价指标。由图像库得到１４类图像 药瓶 ７２ ３Ｏ １—３Ｏ １５．５００ ３６ ０．４３１ 的每类图像总数Ｆ，由１４类图像和检索结果得到分别用原算 ＴＹＬＥＮＯ ７２ ２６ １—２１．２３．２５—２８ １３．８４６ ３６ ０．３８５ 画滑盒７２ ３Ｏ １，２，４．５，１３，２７ 】５．５００ ３６ ０．４３１ 法和改进算法检索的１４类图像检索结果中的相关图像数和 小伞 ７２ ３Ｏ １—３Ｏ １５．５００ ３６ ０．４３１ 相关图像的排序序号Ｐ ，根据公式计算相关图像的平均排序 小猪 ７２ １４ １，３，５，７，８，１０，１２，１５，１６ １４．１４３ ３６ ０．３９３ Ｒ ２１，２２，２４，２６，２８ ＡⅥ氓一（１／Ｒ）∑Ｐ 、理想的相关图像平均排序／ＡＶＲＲ一２／ 杯子 ７２ ２９ １—２３．２５—３０ １５．２０７ ３６ ０．４２２ ｉ—ｌ 敞篷车７２ １３ １ ８，１０，１５，１７，１９．２６ ９．４６ｌ ３６ ０．２６３ 丁。因此得出传统ＬＰＰ算法和本文改进算法的相关平均排 序，见表３和表４。／ＡＶＲＲ表示在理想情况下所有返回图像 全部排列在最前面时的平均序号，Ａ 识表示返回图像排列 在前面的程度，其值越小越接近 Ⅵ氓越好。因为图像总 数是返回图像数的２倍，所以ＡＶＲＲ／ＭⅥ 越小越接近 ０．５越好。从表３和表４可以看出，改进算法的ＡＶＲＲ／ＩＡＶＲＲ 更小，更接近０．５，即相似图像排在前面。可见改进算法的检 索效果优于原算法，而且改进算法的检索速度比原算法快。 表３ ＬＰＰ的检索结果的平均排序 图２ ＬＰＰ和ＯＬＰ检索结果对比 而且，若再做仔细精确判断，如图３所示，虽然检索出来 的图像的总数大概相近，但是因为图像显示的顺序是按照图 像问的相似距离由小到大排序的，所以，越往前排的图像，越 与目标图像相似。从直观上看，经过本文算法所得到的图像 相比传统ＬＰＰ检索得到的图像更加符合人眼视觉效果。从 Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的角度来观察，通过上述的效果对比，我们也可以 看到此算法更有效地保持了Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的旋转不变性，对于 不同方向的、大小不一的同类图像，检索得更加精确些。从检 索时间上来看，０ＬＰ用时更短，提高了检索的效率。 招财猫７２ ２５ １—１８，２３，２４—２９ １３．７２０ ３６ ０．３８１ 鸭子 ７２ ２１ １—２１ １１．５２０ ３６ ０．３２０ 三角圆７２ １９ １—１８ ９．０００ ３６ ０．２５０ 轿车 ７２ １１ １—５，７，１０，１４，１９，２０—２２，２４ １３．８１８ ３６ ０．３８４ ＡＮＣＩＮ ７２ ３０ １—３Ｏ １５．５００ ３６ ０．４３１ 赛车７２ ２２ １”６，９１４，１６，１７’ １６．６８２ ３６ Ｏ．４６３ １９一２３图３ ＬＰＰ和ＯＬＰ的检索结果精确对比 ，２５３。积木 ７２ ２５ ｌ一１９，２２—２５，２９，３０ １３．７２０ ３６ ０．３８１ （下转第２８６页） ・２５１・ 大岩桐 杜鹃 风信子 ８Ｏ．２７ ７０．７３ ７４．０６ ８０．９７ ６３．４２ ６５．６７ ７０．３９ ６０．３４ ９７．３３ ８３．３０ ９０．５２ ９７．７０ ９０．７０ ７３．２４ ７５．８６ ８２．６２ ６５．３８ ６７．０７ 机研究与发展，２００１，３８（３）：３４５—３５４ ８５．２９ ８８ ７ｌ＿２５ ７１．１９ Ｅ２］斯白露．基于感兴趣区域的图像检索方法［Ｄ］＿北京：中国科学 院，２００２ 荷花 鸡冠花 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ［３］吴清锋．基于内容的中草药植物故乡检索关键技术研究［Ｄ］．厦 门：厦门大学，２００７ 喇叭花 ０ １ ２ ３玫瑰 蒲公英 ８Ｏ．９２ ４ ５ ６ ７２．３６ ６３．５０ ７４．２６ ９８．６７ ８８．９８ ９３．８２ ９８．２９ ９４．０５ ８９．０７ ８３ ９７．８７ ８４．９５ ９０．９２ Ｅ４］Ｃａｎｎｙ Ｊ．Ａ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｅｄｇｅ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ＥＪ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐａｔｔｅｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉ— 三色堇 石蒜 水仙花 天堂鸟 向日葵 郁金香 ｇｅｎｃｅ，１９８６，８（１１）：６７９—６９８ ９７．８２ ９１．２９ ８５．５７ ７６．７８ Ｉｓ］林开颜，吴军辉，徐立鸿．彩色图像分割方法综述ＥＪ３．中国图象 图形学报，２００５。ｉ０（１）：１—１０ ８５．０ ７５．２２ ８１．４５ 弘ｍ 星、 ∞ ［６］杜娟，李文锋．基于金字塔连接算法的彩色图像分割ＩＪ］．武汉理 工大学学报，２００６，２８（１）：１１２一ｌ１５ 趼∞∞ Ｔｏｔａｌ Ｈ踮％ 鲫 ８６．３４ ８３．８２ 从表２可以看到，我们提出的基于ＳＶＭ多特征融合的 ［７］Ｌａｕｒｅｎｔ Ｉ，Ｃｈｒｉｓｔｏｆ Ｋ，Ｅｒｎｓｔ Ｎ．Ａ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｓａｌｉｅｎｃｙ－ｂａｓｅｄ Ｖｉｓｕａｌ Ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｒａｐｉｄ Ｓｃｅｎｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９９８，２０（１ １）：１ ２５４ １２５９ 花卉图像检索效果很理想。图像库有１５类花卉图像，在 返回２Ｏ张图像的前提下，查准率达到８Ｏ 以上的有１２类， 只有荷花、鸡冠花、玫瑰的查准率仅达到７Ｏ 多；而查全率高 达８ｏ 以上的共有９类；综合图像库中１５类花卉，综合查准 率高达８６．３４ ，综合查全率也达到８１．４５ ，而综合率达到 了８３．８２ 。分析查准率没有达到８Ｏ 的花卉种类，可能的 Ｅ８３ Ｃｈｅｎ Ｇｕｏ．Ｔｈｅ Ｆｉｓｈｅｒ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｔｈ— ｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ ＥＪ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｉＳｅｎｔｉｆｉｃ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ（仪器仪 表学报），２００３，２４（６）：５６４—５６７ ［９］王国胜．支持向量机的理论与算法研究ＥＤ］．北京：北京邮电大 学，２００７ 原因如下：一是这些花卉的分割效果还不理想；二是这些花卉 与其它类别的花卉比较相似；三是目前的特征不能完全描述 这些花卉。 ［１Ｏ］Ｓｔｒｉｃｋｅｒ Ｍ Ａ，Ｍａｒｋｕｓ Ｑ Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｌｏｒ Ｉｍａｇｅｓ［Ｃ］／／ＳＨＥ Ｓｔｏｒａｇｅ ａｎｄ Ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｆｏｒ Ｉｍａｇｅ ａｎｄ Ｖｉｄｅｏ Ｄａｔａｂａｓｅｓ．１９９５， ２１８５：３３７—３４９ 结束语本文以植物花卉图像为研究对象，对植物花卉 图像在区域分割、特征提取、基于内容的重复图像过滤以及基 于ＳＶＭ的植物花卉图像检索等问题进行了系统、深入和较 为全面的研究。通过大量实验，验证了我们提出的重复图片 过滤算法、基于２ＲＧＢ混合颜色模型的自适应阂值分割算法 的有效性。接着针对分割后的花卉图像提出了分块Ｇａｂｏｒ、 ［ｕ］Ｃｈａｎｇ Ｅ，Ｇｏｂ Ｋ，Ｗｕ Ｇａｎｇ．ＣＢＳＡ：Ｃｏｎｔｅｎｔ—ｂａｓｅｄ ｓｏｆｔ ａｎｎｏｔａ— ｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｍｏｄａｌ ｉｍａｇｅ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｕｓｉｎｇ ｂａｙｅｓ ｐｏｉｎｔ ｍａｃｈｉｎｅｓ ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ Ｖｉｄｅｏ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，１３（１）：２６—３８ ［１２］Ｇｒｉｇｏｒｅｓｃｕ Ｓ Ｅ，Ｐｅｔｋｏｖ Ｎ，Ｋｒｕｉｚｉｎｇａ Ｐ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｔｅｘｔｕｒｅ Ｆｅａｔｕｒｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇａｂｏｒ ＦｉｌｔｅｒｓＥＪ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎ￣ｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｍａ－ ｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００２，１１（１０）：１１６０—１１６７ 基于ＨＳＶ颜色模型的加权不变矩、边缘ＬＢＰ算子等特征提 取算法。通过在花卉图像库中进行实验，验证了我们提出的 若干算法的有效性。下一步的研究工作包括如何提取更适合 花卉的特征以及如何结合相关反馈技术对分类结果进行改善 等。 ［１３］Ｏｊａｌａ Ｔ，Ｐｉｅｔｉｋａｉｎｅｎ Ｍ，Ｍａｅｎｐａａ ｔ Ｍｕｌｔｉｒｅｍｌｕｔｉｏｎ Ｇｒａｙ－ｓｃａｌｅ ａｎｄ Ｒｏｔａｔｉｏｎ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｔｅｘｔｕｒｅ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｌｏｃａｌ Ｂｉｎａｒｙ Ｐａｔｔｅｒｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａ— ｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，２００２，２４（７）：９７１－９８７ 参考文献 ［１］李向阳，庄越挺，潘云鹏．内容的图像检索技术与系统［Ｊ］．计算 ［１４］Ｍａｅｎｐａａ Ｔ，Ｏｊａｌａ Ｔ，Ｐｉｅｔｉｋａｉｎｅｎ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ｒｏｂｕｓｔ ｔｅｘｔｕｒｅ ｃｌａｓｓｉ— ｆｉｅａｔｉｏｎ ｂｙ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｂｉｎａｒｙ ｐａｔｔｅｒｎｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．１５ｔｈ Ｉｎ— ｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．２０００：９４７—９５０ （上接第２５１页） ｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｆａｓｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｅｒｎｉｋｅ ｍｏｍｅｎｔｓ 结束语本文在Ｚｅｒｎｉｋｅ矩的形状特征检索的基础上， ＥＪ］．Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，２００３，３６：７３１—７４２ ［４］Ｃｈｄｓ Ｈ，Ｄｉｎｇ Ｑ，Ｈｅ Ｘ Ｆ．Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｆ— 提出了一种新的降维方法，将ＬＰＰ中保持局部的拉普拉斯图 中引入全局算法ＰＣＡ，使得保留样本局部结构的同时保证样 本的相对完整性，而且有效地保持了Ｚｅｒｎｉｋｅ矩本身具有的 ｆｅｃｔｉｖｅ Ｋ——ｍｅａｎｓ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ［Ｃ］／／Ｐｒｅｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｔｈ ＳＩ—－ ＡＭ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄａｔａ Ｍｉｎｉｎｇ．２００４ 旋转不变性，提高了图像检索的精度。同时大大降低了时间 和计算量，在实际应用中会有效提高工作效率。实验结果表 ［５］Ｔｅｎｅｎｂａｕｍ Ｊ，ｄｅ ＳｉｌｖａＶ，Ｌａｎｇｆｏｒｄ Ｊ．Ａ ｇｌｏｂａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｒａｍｅ— ｗｏｒｋ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０００， ２９０（１２）：２３１９—２３２３ 明，本文方法不但有效，而且具有很好的检索性能，其检索结 果能较好地接近人的视觉感知效果。 Ｅ６］陈高曙，曾庆宁．基于ＬＬＥ算法的人脸识别方法ＥＪ］．计算机应 用研究，２００７ 参考文献 ｎ，Ｐｅｎｇ Ｊｉａｘｉｏｎｇ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ａｎｄ Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ［１］ Ｙｅ ＢｉＺｅｒｎｉｋｅ Ｍｏｍｅｎｔｓ Ｕｓｉｎｇ ａｓ ａ Ｒｅｇｉｏｎ ｂａｓｅｄ Ｓｈａｐｅ Ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ［７］Ｂｅｌｋｉｎ Ｍ，Ｎｉｙｏｇｉ Ｐ．Ｌａｐｌａｃｉａｎ Ｅｉｇｅｎｍａｐｓ ｆｏｒ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ Ｒｅ— ｄｕｃｉｏｎ ａｎｄ Ｄａｔａ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｅｕｒａｌ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００３， １５（６）：１３７３－ｌ３９６ ＥＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｍａｇｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００２， ｌ２（４）：４ｌ９－４２８ ｋａｓｉｍ Ｓ，Ｓｈｒｉｄｈａｒ Ｍ，Ａｈｍａｄｉ Ｍ．Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｅ２］ Ｂｅｌ［８］Ｈｅ Ｘ，Ｎｉｙｏｇｉ Ｐ．Ｌｏｃａｌｉｔｙ Ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ［Ｃ．］∥Ｐｒｏｃ． ｏｎｆＣ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ．２００３ ［９］刘慧，袁文燕．矩阵论及其应用［Ｍ］．北京：化学工业出版社， ２００３ Ｍｏｍｅｎｔ Ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ：Ａ ｏｍｐＣａｒａｔｉｖｅ Ｓｔｕｄｙ ａｎｄ Ｎｅｗ Ｒｅｓｕｌｔｓ［Ｊ］． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，１９９１，２４（１２）：１１１７－１１３８ Ｒ．Ａ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ａ ［３］ Ｃｈｏｎｇ Ｃｈｅｅ－ｗａｙ，Ｒａｖｅｅｎｄｒａｎ Ｐ，Ｍｕｋｕｎｄａｎ ● ［１Ｏ］Ｌｕ Ｋｅ，Ｈｅ Ｘｉａｏｆｅｉ．Ｉｍａｇｅ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ ＳＵＳ－ ｐａｃｅｌｅａｍｉｎｇ［Ｊ］．ＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，２００５，３８（１１）：２０４７—２０５４ ２８６・
