风险理论练习题

1变异系数是用随机变量的方差除以期望 2.负二项分布的期望大于方差

3.随机变量的方差是指该变量的二阶原点矩

4.Jensen不等式说明随机收益的期望效用低于平均收益的效用 5.季比例法是精度最高的准备金评估方法 6责任准备金分为未到期责任准备金和IBNR 7所有的保险事故都将引起索赔 8 CV=RV+IBNR

9.PC：已报案赔款RL：已付赔款 10.二项分布的期望大于方差

三计算 1.设

X服从[0，100]上均匀分布，Y服从[0，200]上均匀分布，X与Y

相互独立，令S=X+Y，并记FS(x)为S的概率分布函数，则FS(220)=

2.设随机变量

X1，X2，X3相互独立，它们的分布列分别为：

X10120123012340.50.30.2，X20.40.30.20.1，X30.500.30.10.1

令S=X1+X2+X3，则fS(2)=（ ）。

3.某保险公司承保了

1500个相互独立的保单，每个保单最多发生一次

损失。在所有保单中，每个保单发生损失的概率为0.25，保单发生损失后，损失额的期望和方差分别为400和300，利用正态分布（标准正态分布表F(0.149)=0.5596）近似计算总损失额超过151000的概率

为？

4.已知某险种的实际损失额X的分布函数为： FX（x）=1－0.8e-0.02x－0.2e-0.001x，x≥0

若保单规定：损失额低于1000元就全部赔偿，若损失额高于1000元则只赔偿1000元。则被保险人所获得的实际赔付额期望为？

5.随机变量U的矩母函数为MU（t）=（1－2t）-9，t<0.5，则U的方差为?

6.某医疗保险保单的免赔额为100元，其每次实际损失额X的分布如下表所示。则每次理赔的平均理赔额为？

7.一个风险标的损失额服从均值为

3的泊松分布。一份保单为这个风

险提供保险保障，约定免赔额为2；另一份保单的赔付比例为α。假设这两份保单的平均成本相同，则α为？

8.已知损失服从参数为α=3和=2000的Pareto分布，如果考虑10％的通货膨胀且保单限额是3000时的平均赔付额与保单限额为3000时的平均赔付额之差为？

9.一个保险人承保的保险标的索赔次数随机变量N服从参数为λ的泊松分布，假设λ服从参数为1的指数分布，那么P（N≤1）？

10.给定在(0，1)上均匀分布的随机数序列{Ui≥1}，现在要产生参数为α（α为正整数）和

λ的伽玛分布的随机数V，V的概率密度函数为

1yf(y)ye ，

y>0，则随机数V的产生公式为？

11.现有[0，1]上均匀分布的随机数：0.00582，0.00725，0.69011，0.25976，0.09763。利用反函数方法获得均值为1的泊松分布的随机数，则其对应的随机数为？

12.某保险人承保的风险服从复合泊松分布，泊松参数为λ=2，个别理赔额X的分布为[0，40]上的均匀分布。下列有关索赔总额随机数的产生，说法错误的有（ ）。

（1）先产生索赔次数随机变量的随机数n，再产生n个[0，40]上均匀分布的随机数xi，i=1，2，…，n，然后就是一个S分布的随机数；

（2）先产生n个[0，1]上均匀分布的随机数，然后

xi1ni就是一个S分布的随机数；

（3）S分布的随机数不可能是0； （4）S分布的随机数有可能是120。 二简答

1请写出风险理论所包含的六个专题

2简述准备金评估的模型预测法里的三种方法 3阐述费率厘定和保费定价的区别 4保费不足准备金的计提方法

5.泊松分布与负二项分布关系定理 6.未决赔款准备金的定义以及构成

7.简述服从标准正态分布的随机数的生成方法以及原理（极限法） 8.简述服从参数为（α，θ）的伽马分布的随机数的生成方法

1答案：

1f(x)，xU(0，100)1001f(y)，yU(0，200)200

FS(220)P(XY220)2002000100220x1111dydxdydx2002001002001000.84

2.答案：依题意S=（X1+X2）+X3，

所以S的分布等于X1+X2的分布f (2)与X3的分布f3(x)的卷积，故： fS(2) =P(X1+X2=0，X3=2)+ P(X1+X2=1，X3=1)+ P(X1+X2=2，X3=0)

=0.5×0.4×0.3+(0.5×0.3+0.3×0.4)×0+(0.5×0.2+0.3×0.3+0.2×0.4)×0.5 =0.195。 3.答案：【解析】由已知条件得：E(S)=0.25×400×1500=150000， Var(S)=(4002×0.25×0.75+300×0.25)×1500=45112500。 故

SES151000ESPS151000PVarSVarSS150000151000150000P451125004511250015100015000014511250010.14910.55960.44

X1000X，YX1000 1000，4答案：【解析】解法①：记Y为实际赔付额随机变量，则EY=100001FXydy=00.02y10000.8e100000.02y0.2e0.001ydy

=40e200e0.001y=40+126.4=166.4fX（x）=0.016e-0.02x+0.0002e-0.001x

由题意得保单限额l为1000，则保险人所获得的实际赔付额期望为

E(Xl)xf(x)dxl[1F(l)]0l=10000x(0.016e-0.02x0.0002e-0.001x)dx1000[0.8e-200.2e-1]=166.4

5答案：由已知条件得：

E（U）=M ′U （t）｜t=0 =18（1－2t）-10｜t=0 =18

E（U2）= M ′′U （t）｜t=0 =360（1－2t）-11｜t=0 =360 6答案

0,X2X1，X2,X2 7 设X是损失额，X~P（3）。第一份保单的理赔额

第二份保单的理赔额

X2=αX。则这两份保单的平均成本分别为

E(X1)(k3)P(Xk)k3(k2)P(Xk)(k2)P(Xk)k0k0232[2P(X0)P(X1)]12e33e315e3E(X2)38对于Pareto分布，保单限额为3000时的平均赔付额为

315e3 ，可得α=0.42。 由题意知：

20002000E(X3000)[1()2]840220003000

通货膨胀调整后的平均赔付额为：

1.1E(X3000/1.1)1.1

20002000[1()2]903.11220003000/1.1则通胀下与仅有限额情况下的的平均赔付额之差为：903.11-840=63.11。

9已知索赔次数N服从参数为λ的泊松分布，且λ服从参数为1的指数分布，即服从α

1=1，θ＝1的Γ分布，所以N服从参数r=1，p＝ 1 =0.5的负二项分布。所以

P（Nk）Ckkr1prqkCkk110.510.5k0.5k1

因此，P（N=0）=0.5，P（N=1）=0.52=0.25，故 P（N≤1）=P（N=0）+P（N=1）=0.5+0.25=0.75

10.【解析】因为伽玛随机变量和指数随机变量之间的关系即α个参数均为λ的指数分布随机变量之和服从伽玛（α，λ）分布。

所以欲生成参数为α，λ的Gamma随机变量，可先生成α个均值为λ-1的独立的

指数分布随机变量，由反函数法知：

Xiln(1Ui)1 服从指数分布，于是

VXii1ln(1U)ii11

服从伽玛分布。

11

已知λ=1，故F0=e-λ=e-1=0.36788，F1=F0+p1=0.36788+e-1=0.73576， 随机数u1，u2，u4，u5即产生的泊松分布的随机数为：0，0，1，0，0。 12【解析】（1）对于复合分布的随机数，可先产生索赔次数分布的随机数n，再产生n个[0，40]区间上均匀分布

的随机数Xi，i=1，2，…，n，然后 i1xni 就是所求的索赔总额随机变量

的随机数；

（2）均匀分布的卷积不一定就是S的分布；

（3）如果（1）中产生的索赔次数随机数为0，则S的随机数为0；

（4）如果索赔次数产生的随机数为4，而4个[0，40]区间上均匀分布的随机数均为30，则S的一个随机数即为120。