非线性半正分数阶微分方程多重正解的存在性

科󰀁学󰀁技󰀁术󰀁与󰀁工󰀁程

ScienceTechnologyandEngineering

󰀂10󰀁No󰀂35󰀁Dec󰀂2010󰀁Vol

󰀁󰀁2010󰀁Sci󰀂Tech󰀂Engng󰀂

非线性半正分数阶微分方程

多重正解的存在性

许晓婕

(中国石油大学(华东),数学与计算科学学院,青岛266555)

摘󰀁要󰀁应用Krasnoselskii不动点定理研究了分数阶微分方程的多重正解的存在性。

D󰀁u(t)=p(t)f(t,u(t))-q(t),0u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。

其中3<󰀁!4是任意实数,D󰀁emann󰀁Liouville型分数阶微分。0+是标准的Ri关键词󰀁

正解󰀁󰀁分数阶微分方程󰀁󰀁半正边值问题󰀁󰀁锥不动点定理

中图法分类号󰀁O175.8;󰀁󰀁󰀁󰀁文献标志码󰀁A

󰀁󰀁最近,分数阶微分方程受到广泛的关注。这不仅是分数阶微分方程的理论发展的需要,也是分数阶微分方程应用的需要。除了数学的多个领域,分数阶微分方程还在流体力学,流变学,黏弹性力学,分数控制系统与分数控制器,各种电子回路,电分析化学,生物系统的电传导,神经的分数模型以及回归模型,特别是与分形维数有关的物理与工程方面有广泛的应用

D

󰀁

0+

[1󰀂5]

t

Ih(t)=

0

󰀁0

∃(t-s)󰀂(󰀁)󰀁-1

h(s)ds,

其中右边是在(0,∀)上逐点定义的。

定义1.2

[6]

󰀁函数y:(0,∀)#R的󰀁>0阶

nt

Riemann󰀁Liouville微分是指D0+y(t)=

󰀁

1d

󰀂(n-󰀁)dt。

0

∃1

,󰀁-n+1y(s)ds

(t-s)

给出其中n=󰀁+1,

引理1.1

(1)

[7]󰀁

󰀁代表󰀁的整数部分,右边

本文考虑分数阶微分方程

u(t)=p(t)f(t,u(t))-q(t),0󰀁

是在(0,∀)上是逐点定义的。

󰀁给定h%C(0,1),3<󰀁!4,方程D0+u(t)=h(t),01

式(1)中3<󰀁!4是任意实数,D0+是标准的Rie󰀁mann󰀁Liouville型分数阶微分。

的唯一解是u(t)=

1󰀁预备知识

我们先介绍一些分数阶微积分定义和理论。这些定义可以在最近的文献[6,7]中找到。

定义1.1

[6]

0

G(t,s)h(s)ds。∃

󰀁-2󰀁-2其中

(t-s)

󰀁-1

+(1-s)t

(s-t)+(󰀁-2)(1-t)s,󰀂(󰀁)󰀁函数h:(0,∀)#R的󰀁>0阶

G(t,s)=󰀁󰀁0!s!t!1;(1-s)󰀁-2󰀁-2

Riemann󰀁Liouville积分是指

t(s-t)+(󰀁-2)(1-t)s,󰀁

󰀂(󰀁)

󰀁󰀁0!t!s!1。引理1.2

2010年9月27日收到,10月13日修改

[7]

󰀁由上式定义的函数G(t,s)满足下

面的结论8654科󰀁学󰀁技󰀁术󰀁与󰀁工󰀁程10卷

(1)G(t,s)=G(1-s,1-t),其中t,s%(0,1);(2)(󰀁-2)t

2

󰀁-2

方程

D0+u(t)=p(t)g(t,u(t)-#(t)),t%(0,1)u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0式(2)中#(t)定义见引理2.1。

f(t,u),u)0,f(t,0),u<0。

󰀁

(1-t)s(1-s)

󰀁-2

22󰀁-2

!󰀂(󰀁)&

G(t,s)!M0s(1-s)

2

,其中t,s%(0,1);

󰀁-2󰀁-2

(2)

(3)G(t,s)>0,其中t,s%(0,1);(4)(󰀁-2)s(1-s)󰀂(󰀁)G(t,s)!M0t

引理1.3

[8]

󰀁-2

t

(1-t)!

2

2

(1-t),

2

g(t,u)=

则我们有下面的结论

其中t,s%(0,1),M0=max{󰀁-1,(󰀁-2)}。

󰀁X是Banach空间,P%X是X的

锥。假设 1, 2是X的开子集,0% 1 ! 1 2,令S:P#P是全连续算子,使得

(i)∋S!∋!∋!∋,!%P(∀ 1,∋S!∋)∋!∋,!%P(∀ 2,或者(ii)∋S!∋)∋!∋,!%P(∀ 1,

∋S!∋!∋!∋,!%P(∀ 2,那么S在P(( !2\\ 1)中有一个不动点。

引理2.2󰀁如果当t%[0,1]时均有u(t))#(t),则当u(t)是方程(2)的正解时,u(t)-#(t)就是方程(1)的正解。

证明󰀁事实上,令x(t)=u(t)-#(t),则x(t))0,且u(t)=x(t)+#(t)带入方程(2)得

D0+[x(t)+#(t)]=p(t)g(t,x(t)),t%(0,1)(x+#)(0)=(x+#)(1)=(x+#) (0)=

(x+#) (1)=0。

由#定义可得

D0+x(t)=p(t)f(t,x(t))-q(t),t%(0,1)x(0)=x(1)=x (0)=x (1)=0。证毕。

因此我们首先寻找方程(2)的正解。显然方程(2)等价于下面的积分方程u(t)=

0

󰀁󰀁

2󰀁主要结果

给出如下的几个假设

(H1)f:[0,1]&[0,∀)#[0,∀)是连续的,p,q#0,这里p#0表示当t%[0,1]时,p)0,且在一个正测集上是恒正的。

(H2)存在∀%

∀

0,1使得

2

2

󰀁-2

G(t,s)p(s)g(s,u(s)-#(s))ds。∃

1

∃

1-∀󰀁

令E=C[0,1],则E是Banach空间,范数为

ds>0。

∋x∋=0max|x(t)|。!t!1

定义

(󰀁-2)t(1-t)

K=x%E,x(t))∋x∋,t%[0,1]。

M0显然K是E=C[0,1]中一个锥。

再令T:K#E如下(Tx)(t):=

0

󰀁-2

2

p(s)s(1-s)

由引理1.1和引理1.2很容易得出下面的引理。

引理2.1󰀁假设#(t)是方程

D0+u(t)=q(t),0的唯一解,则

0!#(t)!Ct

󰀁-2

M0󰀁-22

||q||1t(1-t):=

󰀂(󰀁)(󰀁-2)2

G(t,s)p(s)g(s,x(x)-#(s))ds。∃

1

显然方程(2)有解等价于Tx=x有不动点。

很容易可以得到下面的两个引理。引理2.3󰀁假设(H1)成立,则T(K) K。引理2.4󰀁T:K#K是全连续的。为了证明方便,我们给出下面几个记号N=

~

(1-t)。

0

其中∋q∋1=

∃|q(t)|dt,

1

q%L[0,1],C=

1

M0

∋q∋1。

󰀂(󰀁)(󰀁-2)为证方程(1)有解,我们先考虑下面的修正M0(󰀁-2)∋q∋12󰀁-2

maxs(1-s),0!s!1󰀂(󰀁)35期许晓婕:非线性半正分数阶微分方程多重正解的存在性8655󰀁

2M0

N=∃

󰀂(󰀁)∀

∃

1-∀

s(1-s)

2󰀁-2

p(s)ds,。

由(A2),式(3)和引理1.2,对任意的x%∀ 2,t%[∀,1-∀]有∋Tx∋)

∃=∀min(󰀁-2)(1-t)t!t!1-∀2M0

面的几个条件成立

2󰀁-2

定理2.1󰀁假设(H1),(H2)成立,另外假设下

~

M0C

(A1)存在常数R1>使得Nf(t,u)!R1,

󰀁-2∃(󰀁-2)

s(1-s)t)∃󰀂(󰀁)02

1

2

0

1

G(t,s)p(s)g(s,x(s)-#(s))ds)t

󰀁-2

󰀁-2

(1-

p(s)f(s,x(s)-(󰀁-2)R22

s(1-󰀂(󰀁)N#(s))ds>ts)

󰀁-2

󰀁-2

(1-t)

2

∀

∃1-∀

(t,u)%[0,1]&[0,R1];

(A2)存在常数R2>2R1使得Nf(t,u)>R2,(t,u)%[0,1]&[∃R2,R2];

f(t,u)(A3)u#limmax=0。+∀0!t!1u则方程(1)至少有两个正解。

证明󰀁我们首先证明式(2)至少有两个正解x1,x2满足R1!∋x1∋x(t)-#(t)!x(t)!||x||=R1,

(󰀁-2)t(1-t)󰀁-22

x(t)-#(t))R1-Ct(1-t))

M0

(󰀁-2)R1󰀁-22

。-Ct(1-t))0

M0

由(A1)和引理1.2可得

∋Tx∋=0max(Tx)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!10

1

󰀁-2

2

p(s)ds)2M0∃

∀

∃1-∀

R22󰀁-2

s(1-s)&󰀂(󰀁)N

p(s)ds=R2。

因此∋Tx∋>∋x∋,x%K(∀ 2。

接下来取%>0足够小,满足maxt(1-t)0!t!1

2

󰀁-2

%M0(󰀁-2)

&

󰀂(󰀁)∋p∋1!1。则对于上述的%,由

(A3)知,存在N>R2>0,使得对任意的t%[0,1],u)N,有f(t,u)!%u。令R3=

M0(󰀁-2)maxs(1-s)0!s!1

2

󰀁-2

∋p∋1(t,u)%max,N]f(t,u)[0,1]&[0

2󰀁-2(󰀂(󰀁)-%M0(󰀁-2)maxs(1-s)0!s!1

1

∋p∋1)

+N,

则R3>N>R2。

∋Tx∋=0max(Tx)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!10

1

x(s)-#(s))ds!M0

∃

(󰀁-2)

∃󰀂(󰀁)s(1-s)

2

0

󰀁-2

&

x(s)-#(s))ds!s)

󰀁-2

∃(󰀁-2)M∃s(1-󰀂(󰀁)2

0

0󰀁-2

1

p(s)(t,u)%maxf(s,u)ds+[0,1]&[0,N]M0

0

∃1

(󰀁-2)2󰀁-2

s(1-s)p(s)%(x(s)-󰀂(󰀁)

p(s)f(s,x(s)-#(s))ds!(󰀁-2)R1

~

#(s))ds!R3。

这说明∋Tx∋!∋x∋,x%K(∀ 3。

因此由引理1.3,方程(2)至少存在两个正解x1,x2满足R1!∋x1∋R1>CM0

,有󰀁-2

(󰀁-2)t(1-t)󰀁-22

x1(t)-#(t))R1-Ct(1-t))

M0

(󰀁-2)R1󰀁-22

,-Ct(1-t))0

M0

󰀁-22

x2(t)-#(t))(󰀁-2)t(1-t)R2-Ct(1-t))

M0󰀁-2

2

󰀁-2

2

M0

0

∃󰀂(󰀁)N

1

s(1-s)

2

p(s)ds!R1。

因此∋Tx∋!∋x∋,x%K(∀ 1。

另一方面,令 2={x%K|∋x∋2R1,我们有(󰀁-2)t(1-t)󰀁-2x(t)-#(t))R2-Ct&

M0

(1-t))

󰀁-2

2

󰀁-2

2

(󰀁-2)t(1-t)R2(3)

2M0

󰀁-22

所以由式(3),对任意的x%∀ 2,t%[∀,1-∀]∃,(󰀁-2)t(1-t)R2!R2!x(t)-#(t)!R2。

2M0

2

(󰀁-2)R2󰀁-22

-Ct(1-t))0。M08656科󰀁学󰀁技󰀁术󰀁与󰀁工󰀁程

2

10卷

所以x1,x2也是式(1)的解,证毕。

类似的,我们不加证明的给出下面的结论。定理2.2󰀁假设(H1),(H2)成立,另外假设下面的几个条件成立

2M0C(A4)存在常数R1>使得Nf(t,u))R1,

󰀁-2(t,u)%[0,1]&[∃R2,R2];

~

R1~

(A5)存在常数R2>maxR1,N使得Nf(t,

N

.0007[-2(u-7)+10100])7.003>Nf(u)=0

R1,(t,u)%[

~

13,]&[0.084,7],44

2

Nf(u)=0.069[-2(u-7)+10100]!690(t,u)%[0,1]&[0,7],Nf(u)=0.069[-10(u-7)+10100]!690f(u)(u-700)+3170并且,u#lim=lim=+∀。+∀u#+∀uu显然f:[0,1]&[0,∀)#[0,∀)是连续的。由定理2.2知式(4)至少存在两个解u1,u2。

参󰀁考󰀁文󰀁献

1󰀁AnatolyKA,HariSH,JuanTJ.Theoryandapplicationsoffrac󰀁

tionaldifferentialequations.

North󰀁HollandMathematicsstudies,

2~

u)(A6)

f(t,u)limmin=+∀。u#+∀∀!t!1-∀u

则方程(1)至少有两个正解。

例2.1󰀁考虑如下的分数阶微分方程

D0+u(t)=f(u)-3.5

1,0(4)

204,Amsterdam;ElsevierScienceB.V.,2006

2󰀁OldhamKB,SpanierJ.Thefractionalcalculus.NewYorkandLon󰀁

don;AcademicPree,1974

u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。

式(4)中

-2(u-7)+10100,

f(u)=-10(u-7)+10100,

(u-700)+3170,

我们有C=

N=2&令∀=󰀁N=

~

22

0!u!7,7!u!700,u)700。

3󰀁RossB(ED.).Thefractionalcalculusanditsapplications.LectureNotesinMathematics475,Berlin,Springer󰀁Verlag,1975

4󰀁NonnenmacherTF,MetzlerR.OntheRiemann󰀁Liouvilefractional

calculusandsomerecentapplications.Fractals,1995;3:557󰀂5665󰀁TatomFB.Therelationshipbetweenfractionalcalculusandfractals.

Fractals,1995;3:217󰀂229

6󰀁BaiZ,LuH.Positivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlin󰀁

earfractionaldifferentialequation,495󰀂505

7󰀁XuX,JiangD,YuanC.Multiplepositivesolutionsforboundaryval󰀁

ueproblemofnonlinearfractionaldifferentialequation.NonlinearAnalysisSeriesA:Theory,MethodsandApplications,NonlinearAnalysis,2009;71:4676󰀂4688

8󰀁Krasnosel󰀁skiiMA.Positivesolutionsofoperatorequations.Noord󰀁

hof,fGroningen,1964

JMathAnalApp,l2005;311:

(󰀁-1)(󰀁-2)&2∗1.5,

󰀂(󰀁)󰀁-12󰀁-2

maxs(1-s)∗0.069,󰀂(󰀁)s%[0,1]

󰀁-2

2

1(󰀁-2)t(1-t),则∃=1min3∗0.012,42M!t!0

44∃14

342M0∃2󰀁-2

s(1-s)ds∗0.0007。󰀂(󰀁)2CM0

取R1=7,R2=700,则R1>=5,󰀁

󰀁-2R2>maxR1,此有

N

R1=max{7,690}=690,因N

~

(下转第8662页)

8662

l+1

(2l+1)n

l

科󰀁学󰀁技󰀁术󰀁与󰀁工󰀁程10卷

lmin[B

(-1)[x(1-x)]Df(x)-f(x)]=l+12(l+1)!

l+12l+2

f(x)。

参󰀁考󰀁文󰀁献

1󰀁StancuDD.Approximationoffunctionsbyanewclassoflineapoly󰀁

5󰀁例子

1(0)(1)

取f(x)=(0!x!1),绘制B3f=B3f=

x+1B3f,B3f,B3f=L3f图像如图1。

从中可看出:BB3f、B

(3)

3

(2)3

(2)

(3)

nomialoperators.RerRoumaineMathPuresApp,l1968;13:1173󰀂

1194

2󰀁范传强.一类算子的逼近与拟合.辽宁石油化工大学学报,2010;

30(1):88󰀂91

3󰀁王宽福.函数带权的最佳逼近多项式的存在唯一性定理.科学技术与工程,2009;9(5):1222󰀂1225

f的逼近效果较B

(2)

n

(0)3

f=B

(1)3

f=

4󰀁SablonniereP.AfamilyofBernsteinquasi󰀁interpolateson[0,1].Ap󰀁

proxTheory&itsApp,l1992;8(3):62󰀂76

5󰀁蔡华辉,王国瑾.对数螺线段的多项式逼近与C󰀁B󰀁zier逼近.

2009;43(6):999󰀂1004

6󰀁张永锋,蒋大为.解析函数的几种逼近算法.西南民族大学学报

(自然科学版),2007;33(5):1018󰀂1022

f=L3f好,这是因为Bf兼顾了B3f、L3f二

者的优点。

TheApproximationPropertiesaboutaFamilyofOperatorsBn

FANChuan󰀁qiang

(SchoolofScience,LiaoningShihuaUniversity,Fushun113001,P.R.China)

(k)

[Abstract]󰀁AfamilyofoperatorsBnwithgraphsistaken.

(k)

isstudied,andgiventheirexpressionswhenn=3.Thensomeoftheir

propertiesandrelationsbetweenBnandLnarestudied.Lastlyanexampletoillustratetheirapproximationeffect[Keywords]󰀁Lagrangeoperator󰀁󰀁Bernsteinoperator󰀁󰀁Bn

(k)

operator

(上接第8656页)

MultiplePositiveSolutionsforNonlinearSemipositone

FractionalDifferentialEquations

XUXiao󰀁jie

(SchoolofMathematicsandComputationalScience,ChinaUniversityofPetroleum(EastChina),Qingdao266555,P.R.China)

[Abstract]󰀁Theexistenceofmultiplepositivesolutionsofanfractionaldifferentialequationoftheform

D0+u(t)=p(t)f(t,u(t))-q(t),0areobtained,where3<󰀁!4isarealnumber,andD0+isthestandardRiemann󰀁Liouvilledifferentiation.TheproofreliesonKrasnoselskiis'fixedpointtheorem.

[Keywords]󰀁positivesolutions󰀁󰀁fractionaldifferentialequation󰀁󰀁semipositoneboundaryvalueproblemskrasnoselskiis'󰀁󰀁fixedpointtheorem

󰀁

󰀁