第５６卷第１期 吉林大学学报（理学版） Ｖｏ１．５６ Ｎｏ．１ ２０１８年１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊａｎ ２０１８ ｄｏｉ：１０．１３４１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂｌｘｂ．２０１８．０１．０１ 非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性 代 群 ’ 李辉来 ，孙艳 高瑞梅 （１．长春理工大学理学院，长春１３００２２；２．吉林大学数学学院，长春１３００１２） 摘要：应用增算子不动点定理和锥拉伸压缩不动点定理研究一类非线性多阶分数阶微分方程 组的正解，得到了该方程组正解的存在性． 关键词：非线性方程组；Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数；正解；不动点定理 中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—５４８９（２０１８）０１—０００１—０５ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｍｕｌｔｉ－－ｏｒｄｅｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｓｙｓｔｅｍ ＤＡＩ Ｑｕｎ ，ＬＩ Ｈｕｉｌａｉ。，ＳＵＮ Ｙａｎ ，ＧＡＯ Ｒｕｉｍｅｉ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １ ３００２２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００１２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｃｏｎｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｗｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉ—ｏｒｄｅｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ；Ｃａｐｕｔｏ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ 分数阶微分方程在物理学、化学、工程学等领域应用广泛 ．文献［５—８］应用不动点定理研究了 非线性微分方程正解的存在性和唯一性；Ａｌｓａｅｄｉ等Ｌ９］研究了如下非线性时间分数阶微分方程组解的 存在性和爆破解问题： ｆ ｚ‘ （ ）一Ｄ备十（ 一“（０））（ ）一Ｕ （￡）７３ （￡），ｔ＞０， （￡）一Ｄ （口一 （Ｏ））（ ）一 （￡）７３ （ ），ｔ＞０， 【 （Ｏ）一 ０＞０， （０）一口ｏ＞０． 本文考虑如下非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性问题： ｆ Ｌ】（Ｄ）Ｕ（￡）一Ｕｐ（￡）Ｖｑ（￡），ｔ＞０， Ｌ２（Ｄ） （￡）一Ｕ （ｚ） （￡），ｔ＞０， （１） 【 （０）＝：：ｚ‘ｏ＞０， （０）＝＝： ０＞０， 其中： ｗ－１ Ｌ （Ｄ）一 Ｄ叶Ｓｎ一∑ｎｃ上 ，。Ｓ＋ｉ，０＜Ｓ ＜…＜Ｓ ≤１， 口 ＞ｏ； 一１ ｍ一１ Ｌ２（Ｄ）： Ｄ。Ｋ＋ｍ一∑６ｃ； Ｋ。阜．，０＜Ｋ ＜…＜Ｋ ≤１，ｂ ＞０， Ｊ＝１ 收稿日期：２０１７—０６—０１． 作者简介：代群（１９８１一），女，汉族，博士，讲师，从事微分方程的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｄａｉｑｕｎｌｌ３０＠１６３．ｔｏｍ．通信作者：高瑞梅 （１９８３一），女，汉族，博士，讲师，从事微分方程的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｇａｏｒｍ１３５＠ｎｅｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ． 基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１５０１０５１）． ２ 吉林大学学报（理学版） 第５６卷 Ｄ ， ＤＫ牟（ 一１，２，…， ；Ｊ一１，２，…， ）是Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数；“＞０，ｖ＞０，Ｐ，ｑ，ｒ，５是正实数． １ 预备知识 定义１ Ｅ。 函数Ｙ：（０，＋。。）一 的口＞Ｏ阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分定义为 １ ｆｔ ｍ （￡）一志Ｊ。（ ｓ） （ ｓ， 其中等式右端在（Ｏ，＋ｏｏ）内有定义． 定义２Ｅ。 具有 阶连续导数的函数Ｙ：（０，＋。。）一 的ａ＞０阶Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数定义为 Ｄ ＋ （ ）一 ＝＝－ ｊ。（ 一ｓ） Ｙ （５） ， 一 ＜ａ≤ ， ＞ｏ， Ｅ ・ 定义３Ｅ 定义４ Ｌ３＿ 设Ｋ为Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中的一个闭锥，在Ｅ中偏序≤定义为：对于ｚ，ＹＥＥ，如果 对于ｚ，ＹＥＥ，偏序区间（ｚ， ＞定义为（ｚ， ＞一｛ｚＥＥ： ≤ ≤Ｙ）． —ｚ∈Ｋ，有ｚ≤ ，则称（Ｅ，Ｋ）为一个偏序Ｂａｎａｃｈ空间． 引理１１３－４３ 设（Ｅ，Ｋ）是一个偏序Ｂａｎａｃｈ空间，ｚ０，Ｙｏ Ｅ Ｋ，ｚｏ≤ ０，Ｆ：（ｚ０，Ｙ０）一＜ｚ０，Ｙｏ）是一个 增算子，且 。≥ｚ。，Ｆｙ。≤ 。．如果Ｆ是一个连续紧算子，并且Ｋ是一个正规锥，则Ｆ在（ｚｏ，ｙｏ）中 有一个不动点． 引理２＿３－ 设（Ｅ，Ｋ）是一个偏序Ｂａｎａｃｈ空间，Ｕ ，Ｕ。为Ｅ中开集，０ Ｅ Ｕ （＝＝Ｕ Ｃ Ｕ２，且 Ｆ：Ｋｎ（Ｉ２／ｕ ）一Ｋ是全连续算子．若下列条件之一成立： １）Ｊｆ Ｆ ｌｌ≤ｌ ｌｌｌ， Ｅ Ｋ Ｎ ＯＵ ，且ｌ ｌＦ甜Ｊｆ≥Ｉ ｌｌｌ， Ｅ Ｋ ｎ ３Ｕ ； ２）ｌｌ Ｆ ｌＩ≥ｌ ｌＩｌ， Ｅ Ｋ Ｎ ３Ｕ ，且ｌ ｌＦｕ Ｊｌ≤Ｉ ｌＵ ｌｌ，Ｕ∈Ｋ ｎ ａＵ ． 则Ｆ有一个不动点． 设空间ｘ一｛ （￡）： （￡）Ｅ Ｃ Ｅｏ，１］），在Ｘ中定义范数 ｌＩ ｌ—ｍａｘ｛ｌ （ ）ｌ：ｔ Ｅ Ｅｏ，１３）． 令 Ｋ一｛ （ ）∈Ｘ： （￡）≥０，０≤ｔ≤１）． 显然，Ｋ是一个正规锥． ２ 主要结果 ） ＋）～＋蓦 Ｓ－Ｓ￣－ＩＵ㈤ｄｓ＋志 ＿ｓ） ｎ～ ｓ ㈤ （２） 喜而 ｊ’ （ Ｋｍ－Ｋｊ－１ ７Ｊ㈤ｄｓ＋志 ｍ ．（３） ）一 ）一ｉｉＥＤ）￣：用算子Ｊ 同时作用于方程组（１）第一个方程的两边，得 萎 ｓ ￡）：：＝ ㈤］， 从而 ）～＋萎 （ Ｓｎ－Ｓｉ－１ＩＡ㈤ｄ ＋志ｊ－ （ ． 同理可得方程（３）． 算子Ｆ，Ｇ：Ｋ－－￣Ｋ定义为 ㈤～＋薯 Ｉｆ （ Ｓｎ－Ｓｉ－１ＩＡ㈤ｄｓ＋志 （ ｍ ， ． ㈤～＋ 而 』 （ Ｋ－－Ｋｊ－１ ７Ｊ㈤ｄｓ＋志ｊ． 第１期 代群，等：非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性 ３ Ｍ是锥Ｋ中的有界子集，如果存在正常数Ｌ，使得对任意的 ＥＭ则ｆ’（Ｍ），Ｇ（Ｍ）是紧致子集． — ，都有ｆｆ ｆｆ≤Ｌ， 证明：只需证明Ｆ，Ｇ：Ｋ—Ｋ是全连续算子． 首先，证明Ｆ（Ｍ）是有界集．令 Ｐ１一ｌ＋ ｍａｘ｛ｕ （￡） （ ）：ｏ≤ ， ≤ Ｌ｝， Ｏ≤￡≤１ —，，’ 、 Ｐ２—１＋ ｍａｘ｛ （￡） （￡）：０≤ ， ≤Ｌ）， Ｏ≤￡≤１ …’ 、 Ｐ＝ｍａｘ｛Ｐｌ，Ｐ２）． 则有 Ｉ Ｆ． ）ｉ≤“。＋ｆ ｒ（ｓ．ａ－＇ｓ，）ｆ （ｔ－ｓ）Ｓｎ－Ｓｉ－１Ｕ㈤ｄｓ｝＋ Ｊ志 （ｔ－ｓ ｑ 丽 Ｉ Ｊ≤ ．三 Ｉ＋ ≤ 一 ．２ 暑丽 同理，有 一一 ＋ 。 Ｆ（Ｓ ）’， ￡∈ｒｎ，，ＬＵ ｉｊ．’ 一（￡）Ｊ≤ ＋ 因此，Ｆ（Ｍ），Ｇ（Ｍ）是有界集． Ｆ（Ｋ —— —６．Ｌ Ｋ ＋１） ＋志，． ０ 十 其次，证明算子Ｆ是等度连续的．令“， ＥＭ，对任意的０≤ ＜ ≤１有Ｉ 一￡ Ｉ＜ ，则 Ｉ ｃ 一 ｃ ｌ≤霎 兰 ｃ 一ｓ 一 一 ｄｓ～ ｃ 。一 ～ 一 ｄ Ｉ＋ 志 Ｐ（Ｓ 一Ｓ ） ’ｒ１ ． （ｈ－－ｓ）Ｓ＂－ｉｄｓｌ￣ ｒ（ｓ 一Ｓ ） 而ＰＦ（Ｓ 萎 一［（ｔｌ－－Ｓ）ｓ＂－Ｉ－－（ｔｚ－－ｓ）Ｓｎ－１］ｄ５＋ （ｔｚ－－Ｓ ４－ １） ｓ ［ｔｉ－ｔ２ Ｉ＋ ｓ ｓ Ｊ≤ ｉ＝１ Ｉ－－ ｔｉ—ｔ 一ｚＩ ≤ ｗ１ Ｊ ｔ 一ｔ ｊ ｎ一一 ， 其中Ⅳ ＝＝：蓦 同理，可得 干 ＋ 与 无关． ， 是 Ｉ （ １）一Ｇｖ（ ２）１≤Ｖ ２ Ｉ ｔｌ—ｔ２ １ ｍ～ 一 ， 其中ｗｚ与￡ ， ｚ无关．因此，Ｆ，Ｇ是等度连续算子．由Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理可知而紧致集． 引理Ｓ ＜０，口 ＜０． 证明：对方程（２）两边同时求ｔ的导数，有 “ 一茎 Ｓｎ－Ｓｉ－２ 蚪 ｓ ㈤ 。． ４ 吉林大学学报（理学版） 第５６卷 同理，有 ＜Ｏ． 定理１ 如果存在Ｏ≤ｚ（ ）≤７ｃ（ｔ），Ｏ≤ （￡）≤ （ｆ），满足 Ｌ１（Ｄ）ｚ（ ）≥ｚ （￡）Ｙ （ｆ）， Ｌ１（Ｄ）芏（ ）≤芏 （ ） （ ）， Ｌ２（Ｄ） （￡）≥ｚ （￡） （￡）， Ｌ２（Ｄ） （￡）≤芏 （￡）夕 （￡）， 则方程组（１）有正解． 证明：只需证明Ｆ，Ｇ有不动点即可．由引理４，Ｆ，Ｇ是全连续算子．对于０＜ ＜ ｚ，Ｏ＜ ＜ ｚ， “１， ２， １，７２２ Ｅ Ｋ， ＞Ｏ，ｑ＞０，有 ｚ（ ）一 （￡）一 ／－／．ｊ （ｔ－ｓ）Ｓｎ－Ｓｉ－］［税ｚ（ｓ）一 （ｓ）］ｄｓ＋ Ｊ。（￡一ｓ）Ｓｎ－１［甜；（ｓ） ；（ｓ）一 （ｓ） ｉ（ｓ）］ｄ５一 — Ｆ（Ｓ 一Ｓ ）Ｊ ｏ Ｉ‘（ｆ一５） 一 一 ［ （ｓ）一 （ｓ）］ｄｓ＋ ～ …～ ‘……一’ Ｊ。（ 一ｓ） ” ；（ｓ）［ ！（ｓ）一 （ｓ）］ ＋ 志Ｊ。（ 一ｓ） 由定理中的条件，可得 ［ 一甜㈧ ＞０， 从而Ｆ （ ）＞Ｆ甜 （￡）．同理可得Ｇｖ （￡）＞Ｇ （ ）．因此，Ｆ，Ｇ是增算子． Ｆｘ≥ｚ， Ｆ ≤芏， Ｇｙ≥Ｙ， Ｇ ≤ ． 又由引理２，Ｆ，Ｇ有不动点Ｕ Ｅ（ｚ，芏＞，７２ Ｅ（ｙ， ＞， ＞Ｏ， ＞０． 定理２如果存在两个正数 ，Ｍ，使得 ≤Ｕ （￡）７２ （ ）≤Ｍ， 令 ≤ （￡） （ ）≤Ｍ， Ｖ ｔ Ｅ［０，１］． 则方程组（１）有正解． 证明：令 ｕ 一 Ｋ．１ ＜南）１， ｕｚ＝＝＝ Ｋ：ＩＩ“ＩＩ＜ ）． 对于 ，ｖＥ Ｋ Ｎ ＯＵ。，有 。≤ ）≤ 由于 （ ） （￡）≤ ，则 眦 ， Ｖ￡∈［０，１３． 霎而 Ｉ 一卅 Ｉ Ｉ≤ 蓦而 ＋蒜≤ 矗ｒ（ ）『 ｌ ＋善 Ｓ。 ｒ（ 一 Ｓ ＋１ｉ ）。＋ ”］ ｌ≤ ｒ（ ） ‘≤ ． ＋第１期 代群，等：非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性 ５ 凶此， Ｉ ＩＩＩ≤ 一ＩＩ ＩＩ， Ｖ ∈Ｋ ｎ ａ 同理，有Ｊ ｌＧ ｌｌ≤Ｉｌ ｌｌ，Ｖ ∈Ｋｎ ａＵ ． 另一方面，对于Ｕ∈Ｋｎ ａｕ ，有 Ｉｎ（ ≥志 Ｓｎ－１Ｕｐ ｄｓ≥ ≥ ， Ｖ ∈［ｏ＇１］． 因此， ＩＩ Ｉ≥冠专 一Ｉ ＩＩＩ， Ｖ ∈Ｋ ｎ ａｕ ． 同理，Ｖ ∈Ｋｎａｕ ，有ＩＩ Ｇ ＩＩ≥ｃ ＩｌＩ．又由引理２。方程绢（１）在Ｋｎ（ ／Ｕ ）中有不动点． ３数值实验 例１考虑分数阶微分方程组： ｆ（Ｄ 一 。）Ｕ：Ｕ 。 ，５，ｔ∈［ｏ，１］， 口＞０， （Ｄ 。一ｂＤ 。） ： 。 ，ｔ∈［０，１］， ｂ＞０， 【ｕ（Ｏ）一Ｕｏ＞１， （Ｏ）一 ０＞１． 由引理５， ＜Ｏ， ｚ‘（Ｏ）≥“（￡）≥ （１）， （Ｏ）≥ （ ）≥ （１）， 因此 Ｔ］１／２ （１）≤Ｕ （￡） （￡）≤Ｕ （Ｏ） （Ｏ）， 叩一ｍｉｎ｛１，“（１）｝． 又由定理２知， 该分数阶微分方程组存在正解． 参 考 文 献 ［１］Ｋｉｌｂａｓ Ａ Ａ，Ｓｒｉｖａｓｔａｖａ Ｈ Ｍ，Ｔｒ￣ｉｌｌｏ Ｊ Ｊ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ，２００６． ［２］Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ Ｖ，Ｌｅｅｌａ Ｓ，Ｊｏｎｎａｌａｇｅｄｄａ Ｖ Ｄ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｃｏｔｔｅｎｈａｍ： Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２００９． ［３］ Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ Ｖ，Ｖａｔｓａｌａ Ａ Ｓ．Ｂａｓｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＥＪｑ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２００８， ６９（８）：２６７７－２６８２． ［４］ Ｓａｂａｔｉｅｒ Ｊ，Ａｇｒａｗａｌ Ｏ Ｐ，Ｔｅｎｒｅｉｒｏ Ｍ Ｊ Ａ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＥＭ］．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００７． ［５］ ＤＡＩ Ｑｕｎ，ＬＩ Ｈｕｉｌａｉ，ＬＩＵ Ｓｕｌｉ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ－ｏｒｄｅｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ３．Ｃｏｍｍｕｎ Ｍａｔｈ Ｒｅｓ，２０１６，３２（３）：２４９－２５８． ［６］ ＤＡＩ Ｑｕｎ。ＷＡＮＧ Ｃｈａｎｇｊｉａ，ＧＡＯ Ｒｕｉｍｅｉ，ｅｔ ａ１．Ｂｌｏｗｉｎｇ－Ｕｐ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ－ｏｒｄｅｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ＥＪ］．Ａｄｖ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｅｑｕ，２０１７，２０１７：１３０． ［７］ 代群，刘素莉，李辉来．非线性分数阶微分方程特征值问题正解的存在性Ｉ－Ｊ］．吉林大学学报（理学版），２０１５， ５３（１）：１—４．（ＤＡＩ Ｑｕｎ，ＬＩＵ Ｓｕｌｉ，ＬＩ Ｈｕｉｌａｉ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１５，５３（１）：１－４．） ［８］ 李雪梅，代群，李辉来．一类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性［Ｊ］．吉林大学学报 （理学版），２０１５，５３（２）：１５７—１６０．（ＬＩ Ｘｕｅｍｅｉ，ＤＡＩ Ｏｕｎ，ＬＩ Ｈｕｉｌａｉ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｏＳｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１５，５３（２）：１５７—１６０．） ［９］ Ａｌｓａｅｄｉ Ａ，Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｋｉｒａｎｅ Ｍ Ｂ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ｂｌｏｗｉｎｇ－Ｕｐ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｔｉｍｅ－Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｂｕｌｌ Ｍａｔｈ Ｓｃｉ，２０１７，７（２）：２０１—２１０． （责任编辑：赵立芹）