高三数学二轮专题六函数与导数

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 教学专题六 函 数 与 导 数 内容 第1讲 函数的图象和性质 学习过程 课堂笔记 热点一 函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性 (1)奇个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． 函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内： ①两个奇函数的和函数是奇函数，两 (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称． 3．周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|. 常见结论： (1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. (2)f(x＋a)＝1fx⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. (3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b2对称． 例1 (1)(2017届河北省衡水中学六调)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3]时，f(x)＝log(x－1)，则f 123等于( ) A．2－log23 B．log23－log27 C．log27－log23 D．log23－2 (2)(2017届四川省资阳市期末)已知函数f(x)＝x3＋3x (x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.2－∞，－2 C．(－2，－2) D．(－∞，－2) 跟踪演练1 (1)(2017届河南南阳一中月考)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，设a＝ln 1π，b＝(ln π)2，c＝ln π，当对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则( ) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b) (2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－1fx，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(2 018)＝________. 热点二 函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2017·深圳调研)函数y＝f(x)＝2x＋12x－1·cos x的图象大致是( ) 1

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 (2)(2017届菏泽期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝2，x<0，－x3＋6x2－9x＋a，x≥0 恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为( ) A．－2 B．2 C．1 D．0 跟踪演练2 (1)(2017届山西晋中榆社中学月考)函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为( ) ax3ax－x2(2)已知函数f(x)＝3＋＋32，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( ) 热点三 基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况． 例3 (1)(2017·深圳调研)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是( ) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a (2)(2017届云南曲靖一中月考)已知函数f(x)＝ax，x<0，a－3x＋4a，x≥0 满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2<0成立，则a的取值范围是( ) A.0，14 B．(1,2] C．(1,3) D.12，1 跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z (2)(2017届四川雅安中学月考)对任意实数a，b定义运算“Δ”：aΔb＝a，a－b≤2，b，a－b>2， 设f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函数f(x)与函数g(x)＝x2－6x在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m的取值范围是( ) A．[－1,2] B．(0,3] C．[0,2] D．[1,3] 真题体验 1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为________．(填序号) 2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为____________． 3．(2017·山东改编)设f(x)＝x，0宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 A．|x＋4| B．|2－x| C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1| 3．已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则y＝f(x)的图象大致为( ) 24．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝－x4，0h(2)，则实数4－2x，x>4， t的取值范围为________． 教学专题六 函数与导数 内容 第2讲 函数的应用 学习过程 课堂笔记 热点一 函数的零点 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 例1 (1)方程ln(x＋1)－2x＝0(x>0)的根存在的大致区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4) (2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( ) A．0 B．2 C．4 D．6 跟踪演练1 (1)函数f(x)＝2x＋2x的零点所在的区间是( ) A．[－2，－1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] (2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝12log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 例2 (1)(2017届山东菏泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是______． (2)已知实数f(x)＝ex，x≥0，lg－x，x<0， 若关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为________． 跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝2x，x<2， 若关于x的方程f(x)－k＝0有唯一一个实数根，则－x－32＋2，x≥2，实数k的取值范围是________． (2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于( ) A．－1112 B.3 C.2 D．1 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成3

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 实际问题作出解答． 例3 (2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为： 1y＝75x2－130x＋4 900，x∈[50，80， 12－x60，x∈[80，120]. (1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 跟踪演练3 (2017届运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 真题体验 1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2ωx2＋12sin ωx－12 (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________． 2．(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是______________． 23．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝x，x∈D，x，x∉D， 其中集合D＝n－1xx＝n，n∈N* ，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________． 4. (2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a； (2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 押题预测 1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知函数f(x)＝x＋2，x>a，2x＋2，x≤a， 若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数ax＋5的取值范围是( ) A．[－1,1) B．[0,2] C．(－2,2] D．[－1,2) 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m. 教学专题六 函数与导数 内容 第3讲 导数及其应用 学习过程 课堂笔记 热点一 导数的几何意义 1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 例1 (1)(2017届山东寿光现代中学月考)过点(0,1)且与曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( ) A．2x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y－2＝0 (2)(2017届成都一诊)已知曲线C，t>0)在点M41：y2＝tx(y>0t，2处的切线与曲线C2：y＝ex＋1－1tln 4e2也相切，则t的值为( ) A．4e2 B．8e C．2 D．8 跟踪演练1 (1)(2017届河北省正定中学期中)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′π4，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为________． (2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)若函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是( ) A.ln 12e，＋∞ B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D. (－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性 1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. 2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性． 例2 (2017届河南息县第一高级中学段测)已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋2x，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 5

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 跟踪演练2 (1)(2017届昆明市第一中学月考)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间12，2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B.－18，＋∞ C. －2，－18 D. (－2，＋∞) (2)定义在0，π2上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)2f π3 B．f(1)<2f π6sin 1 C.2f π6>f π4 D.3f π60，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值． 2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得． 例3 (2017届云南大理州统测)设函数G(x)＝xln x＋(1－x)·ln(1－x)． (1)求G(x)的最小值； (2)记G(x)的最小值为c，已知函数f(x)＝2a·ex＋c＋a＋1x－2(a＋1)(a>0)，若对于任意的x∈(0，＋∞)，恒有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围． 跟踪演练3 已知函数f(x)＝ax3＋bx2，在x＝1处取得极值16. (1)求a，b的值； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f′(x)≤kln(x＋1)成立(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，求实数k的最小值． 真题体验 1．(2017·全国Ⅱ改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________． 2. (2017·全国Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________． 3.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 6

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 总第 课时 编制人：范满 审核人：董海霞 押题预测 1．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A．－23 B．－2 C．－2或－223 D．2或－3 3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于________． 4．已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________． 7