三角函数和反三角函数

一、考纲要求

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构

1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+第二象限角：2kπ+

,k∈Z 2＜α＜2kπ+π,k∈Z 23第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z

23第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z

2(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+α，k∈Z。

(5)特殊角的集合：

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝

k，k∈Z｝ 2，k∈Z｝ 4终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝

4终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝

4终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+2.弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝

180弧度，1弧度＝()° 180(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。 弧长公式：l=｜α｜R

扇形面积公式：S=

112

lR=｜α｜R 223.周期函数：

(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。

(2)几个常见结论：

①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)

也是y=f(x)的周期。 (1)

②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么

T也是y=f(wx)(w≠0)的周期。 ③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα==

xy,cosα=,tgα

rrrxxy,ctgα=,Secα=,cscα= (如图(1))。 yyrr(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1 商数关系：tgα=

2

sincos,ctgα= cossin2

2

2

2

2

平方关系：sinα+cosα=1,1+tgα=secα,1+ctgα=cscα

(4)诱导公式： α 2kπ+α -α π-α π+α 2π-α -sinα cosα -tgα -ctgα -α 2cosα sinα ctgα tgα +α 2cosα -sinα -ctgα -tgα 正弦 sinα -sinα sinα -sinα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα 正切 tgα -tgα -tgα tgα 余切 ctgα -ctgα -ctgα ctgα 上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS

(2)三角函数的图像和性质： 函数 y=sinx 图象 定义域 R y=cosx R y=tgx ｛x｜x∈R且x≠kπ+Z｝ ,k∈2y=ctgx ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ ［-1，1］x=2kπ+值域 ymax=1 x=2kπ- 周期性 奇偶性 ［-1,1］  时x=2kπ时y=1 max2 时ymin=-1 2x=2kπ+π时ymin=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期为π 奇函数 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z) 周期为2π 偶函数 在［2kπ-π，2k在［2kπ-,2kπ+ ］π］上都是增函22上都是增函数；在［2kπ数；在［2kπ，单调性 2kπ+π］上都是2+ ,2kπ+π］上都减函数(k∈Z) 周期为2π 奇函数 周期为π 奇函数 在(kπ-+，kπ2)内都是增223函数(k∈Z) 是减函数(k∈Z) 7.函数y=Asin(wx+)的图像： 函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到： ＞0，图像左移

(1)y=sinx y=sin(x+) ＜0，图像右移｜｜ w＞1，横坐标缩短为原来的

y=sin(wx+)

0＜w＜1，横坐标伸长为原来的

1倍 w1倍 w A＞1，纵坐标伸长为原来的A倍

y=Asin(wx+) 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来的A倍 w＞1,横坐标缩短为原来的

1倍 w1倍 w(2)y=sinx 0＜w＜1,横坐标伸长为原来的 ＞0，图像左移y=sin(wx)  w ＜0,图像右移

w A＞1，纵坐标伸长为原来A倍

y=sin(wx+) y=Asin(wx+) 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来A倍

8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：

两角和与差的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ， tg(α±β)=

tgtg

1tgtg倍角公式：

sin2α=2sinαcosα，

2222

cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα， tg2α=

2tg.

1tg21cos, 2半角公式：

=±2cos=±

2tg=±2sin

1cos, 21cossin1cos==.

1cos1cossin积化和差公式：

1〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, 21cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕

21cosαcosβ= 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,

21sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕

2sinαcosβ=和差化积公式： sinα+sinβ=2sin

22sinα-sinβ=2cossin

22cosα+cosβ=2coscos ,

22cosα-cosβ=-2sinsin

22万能公式：

cos

,

2tgsinα=

221tg2，cosα=

2,tgα=22tg1tg221tg21tg22

(2)各公式间的内在联系：

(3)应注意的几个问题：

①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。 ④常具的变形公式有：cosα=β＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).

⑤asinα+bcosα=a2b2sin(α+).(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=

sin21cos21cos222

,sinα=,cosα=,tgα+tg

2sin22b确定)。 a变形 9.解斜三角形：

在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名称 公式 内角和定理 A+B+C=π 余弦定理 a=b+c-2bccosA 222b=a+c-2accosB 222c=a+b-2abcosC 222ABC+＝-，2A+2B＝2π-C 2222b2c2a2cosA= 2bca2c2b2cosB= 2aca2b2c2cosC 2aba=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=正弦定理 abc===2R sinAsinBsinCR为ΔABC的外接圆半径 acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a aac,sinB=,sinC= 2R2R2R 射影定理 ①SΔ=面积公式 111aha=bhb=chc 222111②SΔ=absinC=acsinB=bcsinA 2222S ab2SsinB= acsinA=③SΔ=④Sabc 4R=sinC=2S abΔP(P-a)(P-b)(P-c)(P=1 2(a+b+c)) ⑤SΔ=1 (a+b+c)r 2反余切函数 y=ctgx(x∈(0,y=tgx(x∈(- , π))的反函数，2叫做反余切函 )的反函数，叫数，记作2x=arcctgy 做反正切函数，记作x=arctgy arctgx表示属于arcctgx表示属于(0，π)且余切(-,)，且正切值等于x的角 22值等于x的角 反正切函数 (r为ΔABC内切圆半径) 10.反三角函数： 名称 反正弦函数 反余弦函数 y=sinx(x∈y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫〔-, 〕的反做反余弦函数，记22定义 函数，叫做反正弦作x=arccosy 函数，记作x=arsiny arcsinx表示属理解 于［-,］ 22arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 且正弦值等于x的角 图像 定义域 值域 ［-1，1］ ［-［-1，1］ ［0，π］ (-∞，+∞) (-(-∞，+∞) (0，π) 在(-∞，+∞)上是减函数 arcctg(-x)=π-arcctgx ctg(arcctgx)=x(x∈R) arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π)) ，］ 22，) 22性在〔-1，1〕上是单调性 质 增函数 arcsin(-x)=-arc奇偶性 sinx 周期性 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx恒等式 )=x(x∈［-互余恒等式 ,］) 22在［-1，1］上是减在(-∞，+∞)上是增函数 数 arccos(-x)=πarctg(-x)=-arctgx -arccosx 都不是同期函数 cos(arccosx)=x(xtg(arctgx)=x(x∈∈［-1,1］) R)arctg(tgx)=x（xarccos(cosx)=x(x∈(-,)） ∈［0,π］) 22arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) 2arctgx+arcctgx=(X∈R) 2 11.三角方程：

(1) 最简单三角方程的解集： 方程 ｜a｜＞1 sinx=a ｜a｜=1 ｜a｜＜1 方程的解集 Φ ｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝ k｛x｜x=kπ+(-1)arcsina,k∈z｝ ｜a｜＞1 Φ cosx=a ｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝ ｜a｜＜1 ｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈z tgx=a ｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝ ctgx=a ｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝ (2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。 三、知识点、能力点提示

三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。

下面对常见考点作简单分析：

1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。

2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。

3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域： (2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )

(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。

4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。

5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。

6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。

进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路： 1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。 2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。

3.常数的变换：常用方式有1=sinα+cosα=secα-tgα=tg

2

2

2

2

3,=sin等。 4234.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。

5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等

6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。 7.综合运用上述各种方式。 例1 sin600°的值是( )

A.

3311. B.- C. D.-

2222解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

=-∴应选D.

例2 已知sinθ+cosθ=

3 21,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_______. 5解:sinθ+cosθ=

15(sinθ+cosθ)2=(1125)2sinθ·cosθ=-25. ∴sinθ和cosθ是方程t2-1122

5t-25=0,即方程25t-5t-12=0的两根.

25t2

-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t431=5,t2=-5.

∵θ∈(0.π) sinθ＞0.

∴sinθ=45 ,从而cosθ=-35,

∴ctgθ=cos3sin.=-4.

应填-34 .

例3 tg20°+tg40°+3tg20°·tg40°的值是_______.

tg20解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=tg401tg20tg40,

∴tg20°+tg40°=3 (1-tg20°·tg40°).

∴原式=3(1-tg20°·tg40°)+ 3 tg20°·tg40°).

=3 应填3.

例4 求值：cos

58·cos8=________. 解：cos58·cos8

=12(cos34+cos2)=1222 (-2+0)=-4.

例5 关于函数f(x)=4sin(2x+3) (x∈R),有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-6)； ③y=f(x)的图像关于点(-

6 ,0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-6对称；

其中正确命题的序号是___________. (注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.

①令4sin(2x+3)=0,得2x+3=kπ (k∈Z),x=k2-6xk12-6,xk1=2=22-6 ,k1≠k2,k1,k2∈Z,

则f(x1)=f(x2)=0, 但x1-x2=

2(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1-x2不是π的整数倍 ∴命题①不正确.

∈Z),设

(k②y=f(x)=4sin(2x+∵命题②正确 ③根据 2x+)=4cos［-(2x+)］=4cos(-2x+)=4cos(2x-) 32366 2 124  3-0 π X Y  60 2 60 3 27 12-4 2π 5 60 作出y=f(x)=4sin(2x+

)的草图，如图 3由图知，f(x)的图像关于点(-，0)对称，

6∴命题③正确

④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-∴命题④不正确 应填②、③ 例6 函数y=sin(x-

对称 6)·cosx的最小值是_______. 6解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得

1［sin(2x-)］+sin(-)］ 26611= sin(2x-)-. 2∵sin(2x- )∈［-1,1］,

63∴ymin=-.

43应填-.

4sin3xsin3xcos3xcos3x例7 y= +sin2x,则y的最小值是_____.

cos22xy=

解：利用3倍公式：

33

sin3x=3sinx-4sinx,cos3x=4cosx-3cosx.

(3sinx-4sin3x)sin3x(4cos3x-3cosx)cos3xy=+sin2x 2cos2x3sin4x-4sin6x4cos6x-3cos4x=+sin2x

cos22x3(sin4x-cos4x)4(cos6x-sin6x)=+sin2x 2cos2x3(sin2x-cos2x)4(cos2x-sin2x)(1-cos2xsin2x)=+sin2x

cos22x-3cos2x4cos2x-4sin2xcos2xcos2x=+sin2x

cos22x1-sin22x= +sin2x

cos2x=cos2x+sin2x =2sin(2x+

) 4∴ymin=-2.

应填-2

例8 在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( )

A.有最大值

12和最小值0 B.有最大值12但无最小值

C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解：∵A+B=

2. ∴sinA·sinB=sinA·cosA=12sin2A, A∈(0,

2)2A∈(0,π) ∴sinAcosA有最大值12但无最小值.

应选B.

例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

的最大值 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2

x+cos2

x=1,cos2

x=1cos2x2∴y=sin2

x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2

x =1+sin2x+2·

1cos2x2 =sin2x+cos2x+2 =2(sin2x·cos4+cos2x·sin4)+2 =2 sin(2x+4)+2 ∴当2x+

4=2+2kπ时,ymax=2+2 即x=8+Kπ(K∈Z)，y的最大值为2+2

例10 已知α是第三象限角，且sinα=-2425则tg2=( ) A.43 B.34 C.- 34 D.- 43 2tg解：∵sinα=

2,sinα=-241tg225, 2 ∴-

1tg22

化简得12tg2+25tg2 +12=0，

即(4tg2+3)(3tg2+4)=0.

34解出tg2 =-4,tg2 =-3 .

又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，

24=252tg22.

3∴2∈2+kπ，+kπ)，

4∴tg2 ∈(-∞，-1)，

4∴tg2 =-3 (舍去tg2=-1).

应选D.

3+2kπ)， 222

例11 sin20°+cos80°+3sin20°·cos80°=___________. 22

解：sina20°+cos80°+3sin20°·cos80°

1-cos401cos1603=++·2sin20°·cos80°

22231=1-(cos40°+cos20°)+ (sin100°-sin60°)

2233=1-cos30°cos10°+ cos10°-

241= 41应填.

4例12 求sin20°+cos50°＋sin20°·cos50°的值_____________.

22

解:sin20°+cos50°+sin20°cos50°

22

=sin20°+sin40°+sin20°sin40°

2

=(sin20°+sin40°)-sin20°sin40° =(2sin30°cos10°)+

2

2

2

1 (cos60°-cos20°) 2cos20111=+ (-cos20°)

2223= 43应填.

4例13 tg20°+4sin20°=________. 解：tg20°+4sin20°

=

sin204sin20cos20cos20

=sin202sin40cos20

=(sin20sin40)sin40cos20

=cos10sin40cos20

=sin80sin40cos20

=3cos20cos20

=3.

例14 cos2

75°＋cos2

15°＋cos75°·cos15°的值等于( ) A.

62 B.32 C. D.1+34 解：cos2

75°+cos2

15°＋cos75°cos15°

=(sin2

15°+cos2

15°)+12sin15° =1+14 =

. 应选C.

例15 已知ctg

2=3,则cosθ=_________. 解：由已知有tg2=13.

1tg211∴cosθ=

2=9=4. 1tg221159例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________.

解：tgA+ctgA=mtg2

A+1=mtgA ∴sin2A=

2tgA21tg2A =tgAmtgA=2m. 例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b≠0时，求tg3A的值(用a、b表示)；

(2)求(1+2cos2A)2

（用a、b表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=

ab. (2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2

∴(1+2cos2A) 2

=

2absin6A.

a2tg3Ab=2ab, 又sin6A= =

a2a2b21tg23A1()b2ab222

∴(1+2cos2A)==a+b.

2aba2b22例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )

5151 B.arcsin 221515C.arccos D.arcsin

22A.arcos

解：不妨设此直角三角形三内角为A、B、C且A＜B＜C=90°.

由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列，

2

∴sinB=sinA

又A+B=90°，得sinB=cosA,

22

∴cosA=sinA,1-sinA=sinA，

2

即sinA+sinA-1=0.

1515 (舍去sinA=) 2251∴A=arcsin ,

2解出sinA=

应选B.

22

例19 如图，若sinx＞cosx，则x的取值范围是( ). A. ｛x｜2kπ-

3＜x＜2kπ+,k∈Z｝ 445B. ｛x｜2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z｝

44C. ｛x｜kπ-＜x＜kπ+,k∈Z｝

443D. ｛x｜kπ+＜x＜kπ+,k∈Z＝

44解：由于sinx和cosx的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.

在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx和cosx的图像.

2

2

3，π］的cosx的图像沿x轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x1=,x2＝.

424322

∴在(+2kπ，+2kπ)上有sinx＞cosx.

44把［

应选D.

例20 下列四个命题中的假命题是( ) A.存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α和β的值，使得 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α和β，使得

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在这样的α和β的值，使得

cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ

解：C是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D也正确. 对于A，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A正确.

对于B，取α=β=2kπ，k∈Z，则cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2kπ+sin2kπsin2k,

∴B.不正确. 应选B.

例21 解不等式(arctgx) 2

-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx＜1或arctgx＞2.

又-2＜arctgx＜2 . ∴-2＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg1.

例22 满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是( )

A.［-1,-

12］ B.［-12,0］ C.［0, 12 ］ D.［12,1］

解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数.

-1≤1-x≤1 ∴ -1≤x≤1 12≤x≤1 1-x≤x 应选D.

例23 已知cos2α=

725,α∈(0,2),sinβ=-5313,β∈(π, 2 ) 求α+β(用反三角函数表示).

解：由题设得sinα=1-cos22=35,从而cosα=4125,且cosβ=-13

又α+β∈(π,2π)(α+β-π)∈(0,π),

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-3365. ∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β)〕=-3365 . ∴-π+(α+β)=arccos3365

即α+β=π+arccos3365

例24 记函数y=1x的图像为l1，y=arctgx的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是( )

A.无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个 解：作出函数草图可知有2个交点. 又x:0→

12时,arctgx:0→+∞, x:+∞→0.

∴x＞0时，l1和l2有一个交点. 又arctgx和

1x都是奇函数， ∴x＜0时，l1和l2也有一个交点. 应选B.

π四、能力训练

1.设M＝｛第一像限角｝，N＝｛小于90°角｝，则M∩N是( )

(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案

(考查象限角的概念)

2.扇形圆心角为60°，半径为a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9

(考查扇形面积公式) 3.θ是第四象限角，且｜cos

｜＝cos，则在( ) 222(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限

(考查象限角与三角函数值的符号)

222

4.sin1°+sin2°+…+sin90°的值属于区间( )

(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）

(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)

5.已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0)，则sin

2

α(sinα+ctgα)+cosα的值是( )

(A)

12 (B) (C) (D) 5555 (考查三角函数定义和直线方程)

6.己知0＜a＜1，α)

logasinα

logasinαlogαcosα

＜α＜，则下列元数M=(sinα),N=(cosα),P=(cos42的大小关系是( )

(A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N

(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)

7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x等于( )

(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)

(考查诱导公式与函数解析式)

8.方程sinx=lgx的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错

(考查三角函数与对数函数的图像)

5)的图像中的一条对称轴方程是( ) 25(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=

442.函数y=sin(2x+

(考查三角函数图像的特征)

10.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，

那么f(x)的解析式可以写成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x)

(考查三角函数的图像与解析式)

11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( ) (A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y∈［cos1,1］ (D)不是周期函数

(考查三角函数有关性质及弧度制) 12.函数y=tg

x1-的最小正周期是( )

2sinx(A)

3 (B)π (C) (D)2π

22 (考查三角函数的周期和恒等变形)

13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( ) (A)周期为

的奇函数 (B)周期为的偶函数 22(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数

(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)

14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( ) (A)a＞

6bb6＞b (B)a＜＜b (C)a＜b＜ (D)b＜a＜ 2222(考查辅助角公式，三角函数的单调性)

15.下列四个命题中的假命题是( )

(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ (B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ

(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)

2

16.tgα、tgβ是方程7x-8x+1=0的二根，则

812

sin(α+β)cos(α+β)+cos(α+β)的值是( ) 771111(A) (B) (C) (D)

3579sin(α+β)-2

(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)

17.sin(α+β)=-cos2β＝( )

(A)-1 (B)1 (C)

333，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π)，α+β∈(，2π)。则5522244 (D)- 255(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)

1sin2x的值是( ) 246(A)- (B)- (C) (D)

555518.若ctgx=3，则cosx+

2

(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式) 19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2

(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式) 20.在△ABC中，(1)已知tgA=tgA=

sinB=，则∠C有且只有一解，(2)已知125123,sinB=,则∠C有且只有一解，其中正确的是( ) 55(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确

(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)

21.在△ABC中，若a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( ) (A)a，b，c成等差数列 (B)a，c，b成等差数列 (C)a，c，b成等比数列 (D)a，b，c成等比数列

(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列) 22.给出下列四个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；

222

③若sinA+sinB+sinC＜2，则△ABC是钝角三角形；

④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC是等边三角形，以上命题正确的个数是( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)

23.函数y=cosx(π≤x≤2π)的反函数是( )

(A)y=π+arccosx (B)y=(C)y=

5π-arcsinx 23π+arcsinx (D)y=π-arccosx 2(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)

24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx与y=arcctg

1 x1,p=arctg2，则m，n，p的大小关系是( ) 2(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)

(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义) 25.设m=arcsin

25,n=arccos

(A)p＞n＞m (B)n＞m＞p (C)p＞m＞n (D)m＞n＞p

(考查反三角函数的运算及其单调性) 26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-(A)(

2，)，则其值域是( )

33，) (B)( ，π) 323(C)(- ，) (D)(- ，π)

323(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)

27.函数y=logsinx的定义域是__________。

(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)

28.f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是____________

(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域)

(2cosx+1)

29.把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的左平移

1(纵坐标不变)。然后将新得图像向2单位，这样得到的图像的解析式是______________。 6(考查三角函数图像的变换)

30.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是_________。

(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程) 31：(1)tg70°+tg50°-3tg70°tg50°=________

(2)△ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log2sinc=_________ (3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)……(1+tg45°)=________

3，则△ABC的形状是______ 42

(5)己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tgA,tgC是方程x-3px+1-p＝0(p≠0，且

(4)己知tgA+tgB+3=3tgAtgB，且sinAcosB=

p∈R)，的两个实根，则tg(A+C)=________，tgA,tgC的取值范围分别是_____和_____，P的取值范围是__________

(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)

32.函数y=cosx-1(0≤x≤2π)的图像与x轴所围成图形的面积是_________。

(考查三角函数图形的对称变换) 33.函数y=arcsinx+arctgx的值域是___________

(考查反三角函数的定义域、值域、单调性) 34.关于函数f(x)=4sin(2x+

)(x∈R)，有下列命题 3①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-③y=f(x)的图像关于点(-

)； 6，0)对称； 6④y=f(x)的图像关于直线x=-对称

6其中正确命题的序号是______________

(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性) 35.设三角函数f(x)=sin(

kx+)，其中k≠0 53(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。

(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，

(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)

36.己知x+37.求值： (1)

11n

=2cosθ，试求x+n(n∈N)的值 xx(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)

3tg123)csc12 (2)sec50°+tg10° 24cos122(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)

38.解答下列各题：

510,sinB=,求A+B 51011(2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=,tgβ=-,求2α-β

27(1)己知A、B均为钝角，且sinA=

(3)己知α、β都是锐角，且3sinα+2sinβ=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=(4)求证：arcsin

2

2

 23516+arcsin(-)＝arcsin

5136511，cosα-cosβ= 2411+i； 42(考查如何求角，如何证明关于角的等式)

39.根据下列所给条件，分别求出cos(α+β)的值： (1)己知sinα-sinβ=

(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2kπ+β,k∈z)； (3)己知z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z1-z2=

2

2

(4)己知直线y=2x+m与圆x+y=1有两个公共点M，N，且x轴正半轴逆转到两射线OM，ON(O为原点)的最小正角依次为α、β

(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)

40.解答下列各题：

(1)锐角△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC (2)锐角△ABC中，求证：tgAtgBtgC＞1

sin2sin2(3)α、β∈［0，］，己知+=2，求证：α+β=

cos2cos222(考查三角函数的单调性)

41.解答下列各题：

(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。 (2)求y=

2-sinx的最值

2-cosx2

(3)设函数y=-2sinx-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式；

1的a的值。 2sinxcosx(4)求f(x)=的值域

1sinxcosx②试确定能使f(a)=

(5)求y=2sinxsin2x的最大值

a2b2(6)若θ为钝角，求y=+(a＞b＞0)的最小值

cos2sin21(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范围

2(8)己知3sinα+2sinβ=2sinα，求cosα+cosβ的最值

(考查三角函数常见最值的求法)

2

2

2

2

1cos(A-B)cosCa2b242.a、b、c是△ABC的三边，求证：=

1cos(AC)cosBa2c2(考查三角形中恒等式的证明)

43.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C＝

，求sinB的值。 3(考查三角形中的有关计算)

44.在△ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)

45.己知f(x)=tgx,x∈(0,＞f(

1)，若x1,x2∈(0, )，且x1≠x2，证明：［f(x1)+f(x2)］

222x1x22)

(综合考查三角函数与不等式)

2246.己知实数x，y满足x1-y +y1-x =1，问

x+y是否为定值?若是，请求该值：否则求其取值范围。

(考查代数与三角的综合题)

47.在高出地面30m的小山顶C处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得CD对A所张的角为45°，求电视塔的高度。

(考查应用数学知识处理实际问题的能力)

48.如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的角偏东30°，在C处测得A在船的南偏东60°，如果此船不改变航向，有无触礁的危险?

(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)

49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A，B是我们的观测站，A与B间的距离是S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船只在P点，在A处测得∠BAP=α，同时在B处测得∠ABP=β，问α及β满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域?

22

(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)

50.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆周长的动点，以AB为边，向形外作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大?并求出这个最大值。

(考查分析问题和解决问题的能力)

51.己知半径为1，圆心角为内接矩形的最大面积。

(考查三角函数在圆形最值中的运用)

52.腰为a的等腰△ABC中，∠A=90°，当A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。

(综合考查三角、解几、最值问题)

53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角α应该是多少?

(考查代数与三角的综合)

.用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木块，在二面角为α

的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值

(考查代数、三角、立几的综合运用)

55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两点A，B，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB最大。

(考查代数，三角，解几的综合运用)

的扇形，求一边在半径上的扇形的3能力训练参

1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D

2，且x≠2kπ+，k∈z＝ 28.［-2，2］ 3229.y=sin(2x+) 30.=kπ+ (k∈z) 31.(提示：应用公式tgα+tgβ＝tg(α+

34123

β)(1-tgαtgβ))(1)-3 (2)- (3)2(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5)

2233；(0，3)；(0，3)；［，1) 32.2π 33.［0，π］ 34.①②

341035.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T≤1)

k27.｛x｜2kπ＜x＜2kπ+36.2cosθ

方法(一)：用数学归纳法 方法(二)：设x=cosθ+t,则

2

2n

11==cosθ-t xcost∴t=-sinθ

于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可 37.(1)-43 (2) 3

38.(1)∵A+B∈(0，π)，sin(A+B)=1 ∴A+B=(2)tgα=tg［(α+β)-β］=∴β∈(

 211∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-∈(-1,0) 3743,π) 43) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β)］=1 ∴2α-β=- 443(3)α+2β∈(0，π) sin(α+2β)＝1 ∴α+2β=

223516(4)arcsin+arcsin(-)∈(-，)， arcsin∈(0, ) 又两边正弦相

51322652∴2α-β∈(-π,- 等

∴等式成立。

39.提示：问题都可归结为tg40.提示： (1)～(2)A+B＞

coscos13==-cos(α+β)= sinsin225 ∴＞A＞-B＞0 ∴sinA＞sin(-B)＝cosB 2222同理：sinB＞cosC,sinC＞cosA

sin2sin222

(3)显然：,必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sinα≤cosβ 2cos2cossinβ≥cosα ∴α+β≤

41.(1)5 (2)ymax=

2

2

 α+β≥ ∴α+β＝ 2224747，ymin=(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转33化为asinx+bcosx=c(处理)

1 (a≤-2)

a2(3)①f(a)= --2a-1 (-2＜a＜2＝ 2 1-4a (a≥2)

②a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)

212122222

,-1］∪(-1, ］ (5)y=4sinxcosx ∴y=8sinx·sin·x2cosx22sin2xsin2x2cos2x2

≤8()

38322222222222

∴ymax= (6)y=a(1+tgθ)+b(1+ctgθ)=a+b+(atgθ+bctgθ)≥(a+b)

9(4)［-∴ymin=(a+b)

2

11=cos(x-y)∈［-1,1］ M-＝cos(x+y)∈［-1，1］ 2211112332222

∴M∈［-，］ (8)cosα+cosβ= (sinα-)+ 又sinβ=sinα-sin

222222 (7)设cosxcosy=M,则M+α∈［0，1］

∴sinα∈［0,

2142222

］ ∴ (cosα+cosβ)max=2，(cosα+cosβ)min= 391cos(AB)cos(AB)2cos2Acos2Bsin2Asin2B42.提示：左====右 221cos(AC)cos(AC)2-cos2A-cos2CsinAsinC43.

39 844.由条件可知cosA=0 ∴ A=

 ∴12=b+c+b2c2≥2bc+2bc 2＞

∴bc=6(2-2) ∴Smax=108-722 45.分析：

sin(x1x2)cosx1cosx22sin(x1x2)1cos(x1x2)1+cos(x1+x2)＞

2cosx1cosx2cos(x1-x2)＜1

46.设x=cosα，y=cosβ(α,β∈［0,π］),则sin(α+β)=1，∴α+β＝47.150m

48.∵A离航向所在直线的距离为153＞20 ∴继续航行没有触礁的危险

49.设P到AB的距离为d，则S=d(ctgα+ctgβ)

22

∴ x+y=1 2S时，应向外国船发出警告。 D5350.设∠AOB=α(0°＜α＜180°＝，则S=+2sin(α-60°)

453∴α=150°时，Smax=2+

43151.设∠BOC=α，则S＝(cos(2α-)-)

3323∴α＝时，Smax=

66122352.设∠BAO=α，则OC=a(+sin2θ+cos2θ)

2251∴｜OC｜max=-a 2S2cos53.三边之和l=+h

sinhS∴α=30°时，lmin=+3h

h当d≤D，即ctgα+ctgβ≤

.设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x、y

222

(1)若长边紧贴地面，则a=x+y-2xycosα≥2xy(1-cosα) ∴此时Vmax=

12abctg=V1 422

2

2

(2)若短边紧贴地面，则b=x+y-2xycosα≥2xy(1-cosα) ∴ 此时Vmax=

12bactg=V2 42∵a＞b＞0 ∴V1＞V2

∴当长边紧贴地面，且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为

12abctg 4255.设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则

tg∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)=

abab(xab)x

abab

∴当x=ab时，(∠ACB)max=arctg

2ab