三角函数的图象问题

【典例1】【2021·浙江温州市·高三二模】 如图，已知函数f(x)Asin(x)A0,2的图象与y轴交于点0,1，且2

,1该图象的最高点． 3

（1）求函数yf(x)在[0,]上的零点； （2）若函数yf(x)在0,内单调递增，求正实数的取值范围． 2【思路引导】（1）结合题中所给的函数图象，利用图像的最高点的纵坐标求得A的值，利用图象与y轴的交点坐标求得的值，利用最高点的横坐标求得的值，从而求得函数解析式，进而求得给定区间上的函数的零点；

（2）根据正弦型函数的单调区间，利用整体角思维确定其参数的取值范围.

【典例2】【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】 已知函数fx3sin2x2sinx

2（1）求函数fx的单调增区间；

（2）将函数fx的图象向左平移象，当x12个单位，再向下平移1个单位后得到函数gx的图

,时，求函数gx的值域． 63【思路引导】

利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．

（1）由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围，可得函数fx的单调增区间； （2）由函数的伸缩和平移变换求得gx的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数gx的值域．

【典例3】【2021·广西钦州市·高三期末】 设xR，函数f(x)cos(x)（其中0,20）的最小正周期为，且

3． f42

（1）求和的值；

（2）在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0,]上的图象； （3）根据（2）的图象，写出f(x)1时，x的取值范围． 2【思路引导】（1）根据周期求，f3，求； 42（2）根据函数的定义域，结合“五点法”，列表画图；

（3）根据（2）的图象，可直接得一个周期的x范围，再结合周期性可得解.

【典例4】【福建省莆田第一中2019-2020期中考试数学试题】 函数fxAsinx1A0,0的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的6距离为

. 2

(Ⅰ)求函数fx的解析式和当x0,时fx的单调减区间； (Ⅱ)fx的图象向右平行移动

12个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到gx的图象,

用“五点法”作出gx在0,内的大致图象. 【思路引导】

(Ⅰ) 由函数fxAsinx相邻两条对称轴之间的距离为

1A0,0的最大值为3,可求得A的值，由图象6可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调2性解不式可得单调减区间，k取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到gx的解析式，列表、描点、作图即可得结果.

【典例5】【山东省历城二中学2021学年高三统练】

已知函数f(x)2sin(x)0,0高点.

的部分图像如图所示，P为该图像的最2

（1）若2，求cosAPB的值；

（2）若PAB45，P的坐标为1,2，求f(x)的解析式. 【思路引导】(1) 由2，则

AB2224，由周期可分别求出AQ,BQ,进一步

求出AP,BP ，由余弦定理可得答案.

(2)由条件可得AQQP2，即T8，所以案.

【典例6】【山东省聊城市第一中学2021届高三期中】 已知向量acos，又f(1)2sin()2可得答

44xxxxxxsin,2sin，bcossin,3cos，函数f(x)ab. 222222（1）求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取最大值时x的取值集合； （2）若，为锐角，cos()126，f()，求135f的值.

6【思路引导】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得

f(x)2sinx，再根据三角函数的性质求解即可；

6（2）由（1）得sin312cos()，再根据题意，结合同角三角函数关系得，6513sin()45cos，，进而得

651363coscos()，故

6665126f2sin2cos.

63665 .

【典例7】【山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】 将函数g(x)4sinxcosx的图象.

（1）若f(x)为偶函数，tan2，求f（2）若f(x)在,【思路引导】

（1）化简得到g(x)2sin2x数得到6的图象向左平移0个单位长度后得到f(x)2的取值范围.

76上是单调函数，求的取值范围. 1f(x)2sin2x21，根据偶函，得到66π43，代入数据得到答案. ，化简得到f()61tan2262（2）计算2x222,22，根据单调性得到，

66202计算得到答案.

【典例8】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模】 将函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的象向左平移

个单位长度后得到函数f(x)的图象. 61倍（纵坐标不变），再将所得的图2（1）写出函数fx的解析式； （2）若对任意x  ,， f6122 xmfx10恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求实数a和正整数n，使得Fxfxa在0,n上恰有2019个零点. 【思路引导】

（1）利用三角函数fxAsin(wx)的图象变换，即可求得函数的解析式；

（2）令tfx[0,1]，则gttmt10恒成立，再根据二次函数的图象与性质，

2即可求解；

（3）由题意可得fx的图象与ya在0,n上有2019个交点，分类讨论，即可求得a和n的值.

 【针对训练】 2)的部分图象如图所示，A为图

1. 【2021河北省石家庄一中高三模拟】

已知函数fxλsinωxφ(0，0，0象与x轴的交点，B，C分别为图象的最高点和最低点，ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积S3222acb. 4

（1）求ABC的角B的大小；

（2）若b3，点B的坐标为,λ，求fx的最小正周期及的值.

13

【思路引导】（1）根据S3222acb，利用余弦定理和三角形面积公式，易得431accosBacsinB，即tanB3求解. 222由a2c,b3,B3，利用余弦定理可得c1，进而得到函数fx的最小正周期为

13B2，然后由3,2在函数fx的图象上，求得fx即可. 

2. 【安徽省五校2019-2020学年高三联考数学试题】 把正弦函数函数图象沿x轴向左平移

1个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上621所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来

0，所得曲线是fx.点P,Q,R是直线

1QR. 23ymm0与函数fx的图象自左至右的某三个相邻交点，且PQ（1）求fx解析式； （2）求m的值. 【思路引导】

（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出fx；

（2）根据函数性质PQ求解.

1QR，求出P,Q,R三点横坐标之间关系，代入函数即可233. 【2021·浙江浙江省萧山中学高三一模】函数fxcosx0,分图象如图所示.

的部2

（1）求fx的最小正周期和单调递增区间； （2）若3,，f，求

5312f的值.

6【思路引导】（1）由给定的函数fx的图象，得到周期T，求得2，再结合

f()1，求得，得到fxcos(2x)，结合三角函数的性质，即可求解.

6612（2）由f43，利用三角函数的基本关系式，求得sin2，结合两角和

655的正弦公式，即可求解.

4. 下图为函数fxAsinxA0,0,0的部分图象，M、N是它2与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E0,1是线段MD的中点，且

OME为等腰直角三角形.

（1）求fx的解析式；

（2）将函数fx图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移得到gx的图象，求gx的解析式及单调增区间，对称中心. 【思路引导】

（1）由点E的坐标可得出A的值，再根据OEM为等腰直角三角形，可得出点E、D的坐标，从而求出、的值，由此可得出函数yfx的解析式； （2）根据三角函数变换规律求出函数gx2cos1个单位长度2x2，然后利用余弦函数的单调性和对

称性可求出函数ygx的单调增区间和对称中心的坐标.

5.【2021·福建省福州格致中学高三期末】 已知函数f(x)3sinxcosxcos21x. 22（1）若对任意x,，都有f(x)a成立，求实数a的取值范围； 32（2）若先将yf(x)的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移

1个单位长度，得到函数yg(x)的图像，求函数yg(x)在区间,363内的所有零点之和.

【思路引导】（1）先对函数f(x)化简变形，然后求出函数f(x)在x则可得到实数a的取值范围；

,上的最小值，32（2）根据题意，利用函数yAsin(x)的图像变换规律，先得到g(x)的解析式，函数

11yg(x)在区间,3内的所有零点，即sinx的实数根，它的实数根共4个，

33再根据正弦函数图像的对称性得到结论

6. 【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学】 已知向量m(sinx,3)，n(1,cosx)，且函数f(x)mn. （1）若x0,2fx，且，求sinx的值； 32（2）若将函数fx的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1，再将所得图像2向左平移

个单位，得到gx的图像，求函数gx在x0,的值域. 42【思路引导】

（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论； （2）先求出g(x)的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．

7. 【2021·威县第一中学高三期末】已知函数f(x)3sinxcosxcos2x(0)周期是

. 2（1）求fx的解析式，并求fx的单调递增区间；

（2）将fx图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个函数图像向上平移

个单位，最后将整623个单位后得到函数gx的图像，若x时，gxm2263恒成立，求m得取值范围.

【思路引导】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得f(x)sin2x1，由62T2，解得2，带入正弦函数的递增区间2k4x2k，化简22262即可得解；

（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得g(x)sin2x1，根据题意只需要6[g(x)2]maxm[g(x)2]min，在

6x2范围内求出g(x)的最值即可得解. 38. 【河南省南阳市第一中学2019届高三考试数学】 已知函数f(x)Asin(x)(xR,A0,0,02)的部分图象如图所示，P是

图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若Q30

（1）求函数yf(x)的解析式，

（2）将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x(1,2)时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域. 【思路引导】

（1）设P点的横、纵坐标为x0,y0，根据OQ4,OP5,PQ在OPQ中，13，22x0y05建立关于x0,y0方程组解出x0,y0，从而解出函数的解析式； 22(4x0)y013

（2）由（1）可得函数f(x)2sin(x)，向右平移2个单位后得到函数63g(x)2sin(6x)，则h(x)4sin(6x)•sin(6x3)，通过三角变换后，可

得h(x)2sin(

3x6)1，再由定义域可解出函数yh(x)的值域。

9. 【2021·广西钦州市·高三期末】设xR，函数f(x)cos(x)（其中

0,30）的最小正周期为，且f． 242

（1）求和的值；

（2）在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0,]上的图象； （3）根据（2）的图象，写出f(x)1时，x的取值范围． 2【思路引导】（1）根据周期求，f3，求； 42（2）根据函数的定义域，结合“五点法”，列表画图；

（3）根据（2）的图象，可直接得一个周期的x范围，再结合周期性可得解.

10. 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高三上学期第一次调研考试】设函数

fx2sin2x0．

21若x6为函数fx的图象的一条对称轴，当x0, 时，求函数fx的最小值；22将函数fx的图象向左平移

gx的单调递减区间．

【思路引导】

个单位得到函数gx的图象，已知g0，求360,1由题意利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求出当x2时，

函数fx的最小值．

2利用函数yAsinx的图象变换规律，求出gx的解析式，再利用正弦函数的

单调性，求得gx的单调递减区间．

参考答案

【典例1】【2021·浙江温州市·高三二模】

如图，已知函数f(x)Asin(x)A0,2的图象与y轴交于点0,1，且2,1该图象的最高点． 3

（1）求函数yf(x)在[0,]上的零点； （2）若函数yf(x)在0,内单调递增，求正实数的取值范围． 2【思路引导】（1）结合题中所给的函数图象，利用图像的最高点的纵坐标求得A的值，利用图象与y轴的交点坐标求得的值，利用最高点的横坐标求得的值，从而求得函数解析式，进而求得给定区间上的函数的零点；

（2）根据正弦型函数的单调区间，利用整体角思维确定其参数的取值范围. 【解析】（1）由图可知，f(x)的最大值为1，所以A1， 因为图象过0,因为11sin，所以， 222，所以6，

因为,1该图象的最高点，所以sin()1sin，所以2，

36236所以f(x)sin(2x)，

kk,kZ，解得x,kZ， 62127当k0时，x，当k1时，x，

12127所以函数yf(x)在[0,]上的零点为,；

1212令2x（2）f(x)sin(2x6),0，

x0,，2x(,)，

6662若函数yf(x)在0,则有内单调递增， 22， 3622所以正实数的取值范围为(0,].

3，解得

【典例2】【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】 已知函数fx3sin2x2sinx

2（1）求函数fx的单调增区间； （2）将函数fx的图象向左平移象，当x12个单位，再向下平移1个单位后得到函数gx的图

,时，求函数gx的值域． 63【思路引导】

利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．

（1）由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围，可得函数fx的单调增区间； （2）由函数的伸缩和平移变换求得gx的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数gx的值域．

【解析】fx3sin2x2sinx3sin2x1cos2x

2312sin2xcos2x12sin2x1． 226（1）由解得22k2x622k，kZ，

6kx3k，kZ．

∴函数fx的单调增区间为k,k，kZ；

36（2）将函数fx的图象向左平移得y2sin2x12个单位，

12sin2x1， 126再向下平移1个单位后得到函数gx2sin2x，

32sin2x,1， x,2x,由，得，∴63332则函数gx的值域为3,2

【典例3】【2021·广西钦州市·高三期末】 设xR，函数f(x)cos(x)（其中0,20）的最小正周期为，且

3． f42

（1）求和的值；

（2）在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0,]上的图象； （3）根据（2）的图象，写出f(x)1时，x的取值范围． 2【思路引导】（1）根据周期求，f3，求； 42（2）根据函数的定义域，结合“五点法”，列表画图；

（3）根据（2）的图象，可直接得一个周期的x范围，再结合周期性可得解.

【解析】（1）

T2,2

333,cos(2),sin f()42422又

20,

3（2）根据f(x)cos(2x列表如下：

3)

2x3 30 0  6 25 120  2 3-1 3 25π 3x f(x) 11 120  1 21 21 函数图解如图：

（3）由（2）的图象得，当x0,，f(x)1时，x的取值范围是,， 23所以，x的取值范围是x|kxk,kZ 3【典例4】【福建省莆田第一中2019-2020期中考试数学试题】 函数fxAsinx1A0,0的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的6距离为

. 2

(Ⅰ)求函数fx的解析式和当x0,时fx的单调减区间； (Ⅱ)fx的图象向右平行移动

12个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到gx的图象,

用“五点法”作出gx在0,内的大致图象. 【思路引导】

(Ⅰ) 由函数fxAsinx相邻两条对称轴之间的距离为

1A0,0的最大值为3,可求得A的值，由图象6可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调2性解不式可得单调减区间，k取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到gx的解析式，列表、描点、作图即可得结果. 【解析】

(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.

,∴最小正周期T=π, 23+2kπ,kZ, ∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤

626255+kπ,kZ,∵x[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,]. 即+kπ≤x≤6336∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-列表得：

)-1=2sin(2x-), 123

描点

连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.

【典例5】【山东省历城二中学2021学年高三统练】 已知函数f(x)2sin(x)0,0高点.

的部分图像如图所示，P为该图像的最2

（1）若2，求cosAPB的值；

（2）若PAB45，P的坐标为1,2，求f(x)的解析式.

【思路引导】(1) 由2，则

AB2224，由周期可分别求出AQ,BQ,进一步

求出AP,BP ，由余弦定理可得答案.

(2)由条件可得AQQP2，即T8，所以案.

【解析】解析：（1）由题设可知，由，又f(1)2sin()2可得答

44222，则

AB4

2T3T3 在△APB中，PQfmax(x)2，则AQ1,BQ44所以APAQPQ145，

222BPPQBQ322213，

222APPBAB5131665. 由余弦定理可得：cosAPB2APBP652513222

（2）由PAB45，P的坐标为1,2,所以在APQ，AQQP2 易知

T

2，T8，所以， 444)2，则

又f(1)2sin(又0422k,kZ

2，所以f(x)2sinx，所以.

444【典例6】【山东省聊城市第一中学2021届高三期中】 已知向量acosxxxxxxsin,2sin，bcossin,3cos，函数f(x)ab. 222222（1）求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取最大值时x的取值集合；

（2）若，为锐角，cos()126，f()，求135f的值.

6【思路引导】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得

f(x)2sinx，再根据三角函数的性质求解即可；

6312sin（2）由（1）得再根据题意，结合同角三角函数关系得cos()，，

6513sin()45，cos，进而得

651363coscos()，故

6665126f2sin2cos.

63665【解析】（1）f(x)cos2xxxxsin223sincoscosx3sinx2sinx， 22226令x622k，得x32k，kZ，

所以最大值为2，此时x的取值集合为xx2k,kZ 3（2）由，为锐角，cos()由f()∵0125，得sin()， 131336得sin

6552，∴

2， 663312sin,又， 6522∴

664，∴cos4， 65∴coscos() 6663cos()cossin()sin，

6665∴f1262sin2sin2cos. 6326665【典例7】【山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】

0g(x)4sinxcosx将函数个单位长度后得到f(x)的图象向左平移26的图象.

（1）若f(x)为偶函数，tan2，求f（2）若f(x)在,【思路引导】

（1）化简得到g(x)2sin2x数得到的取值范围.

76上是单调函数，求的取值范围. 1f(x)2sin2x2，得到1，根据偶函66π43，代入数据得到答案. ，化简得到f()261tan262（2）计算2x222,22，根据单调性得到，

66202计算得到答案. 【解析】（1）

31g(x)4sinxcosxsinx3sin2x(1cos2x)2sin2x1 226f(x)2sin2x21 ∴6又f(x)为偶函数，则

622k(kZ)，∵02，∴π 6∴f(x)2sin2x11 12cos2x12222cosxsinx1tanx2cos2xsin2x21tan2x∵tan2，∴f()441133

1tan21225又f()114f()3,33，∴的取值范围为. 251tan76（2）∵x,2x222,22，∴

662∵02，∴

732,，2, 6662222762,. ∵f(x)在,上是单调函数，∴∴66202【典例8】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模】 将函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的象向左平移

个单位长度后得到函数f(x)的图象. 61倍（纵坐标不变），再将所得的图2（1）写出函数fx的解析式； （2）若对任意x  ,， f6122 xmfx10恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求实数a和正整数n，使得Fxfxa在0,n上恰有2019个零点. 【思路引导】

（1）利用三角函数fxAsin(wx)的图象变换，即可求得函数的解析式；

（2）令tfx[0,1]，则gttmt10恒成立，再根据二次函数的图象与性质，

2即可求解；

（3）由题意可得fx的图象与ya在0,n上有2019个交点，分类讨论，即可求得a和n的值. 【解析】

（1）把函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1倍，得到函数ysin2x的2图象，再向左平移

个单位长度后得到函数fxsin[2(x)]sin(2x)的图象， 6633).

故函数fx的解析式为fxsin(2x（2）若对于任意x[又由f2612,]，则2x[0,]，所以fxsin(2x)[0,1]，

323xmfx10恒成立，

2令tfx[0,1]，则gttmt10恒成立， 则g010,g1m0，解得m0.

（3）因为Fxfxa在0,n上恰有2019个零点， 故函数fx的图象与ya在0,n上有2019个交点， 当x[0,]时，2x7[,]， 333①当a1或a1时，函数fx的图象与ya在0,n上无交点； ②当a1或a1时，函数fx的图象与ya在0,上仅有一个交点， 此时要使得函数fx的图象与ya在0,n上有2019个交点，则n2019；

③当1a33或a1时，函数fx的图象与ya在0,上2个交点， 22此时要使得函数fx的图象与ya在0,n上的交点个数，不能是2019个； ④当a3时，函数fx的图象与ya在0,上3个交点， 2此时要使得函数fx的图象与ya在0,n上有2019个交点，则n1009； 综上可得，当a1或a1时，n2019；当a

3时，n1009. 2 【针对训练】 2)的部分图象如图所示，A为图

1. 【2021河北省石家庄一中高三模拟】

已知函数fxλsinωxφ(0，0，0象与x轴的交点，B，C分别为图象的最高点和最低点，ABC中，角A，B，C所对

的边分别为a，b，c，ABC的面积S3222acb. 4

（1）求ABC的角B的大小；

（2）若b3，点B的坐标为,λ，求fx的最小正周期及的值.

1

3

【思路引导】（1）根据S3222acb，利用余弦定理和三角形面积公式，易得431accosBacsinB，即tanB3求解. 222由a2c,b3,B3，利用余弦定理可得c1，进而得到函数fx的最小正周期为

132，然后由B3,2在函数fx的图象上，求得fx即可.

【解析】（1）

S32ac2b2， 41由余弦定理得S3accosB，又SacsinB，

2231accosBacsinB，即tanB3， 22B0,，B3.

2由题意得，a2c,b3,B3，

由余弦定理b2a2c22accosB，得4c2c24c2cos即c1，

设边BC与x轴的交点为D,则ABD为正三角形，

33，

3且AD1，函数fx的最小正周期为2， 22，21fx3sinx 2又点B,3在函数fx的图象上， 323331fsin，即，即sin1

2323232k,kZ，即2k,kZ

632又02，6.

2. 【安徽省五校2019-2020学年高三联考数学试题】 把正弦函数函数图象沿x轴向左平移

1个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上621所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来

0，所得曲线是fx.点P,Q,R是直线

1QR. 23ymm0与函数fx的图象自左至右的某三个相邻交点，且PQ（1）求fx解析式； （2）求m的值. 【思路引导】

（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出fx； （2）根据函数性质PQ求解. 【解析】

（1）由题意可得fxsinx1QR，求出P,Q,R三点横坐标之间关系，代入函数即可2310， TPQQR， 621. 62∵T2，且0，∴2.fxsin2x（2）设Px0,m，Qx0,m，则311sin2x0sin2x0，

62362即sin2x05sin2x066则2x062x052k,kZ 6解得x01kkkZ，则msin，∵m0∴m1.

6223. 【2021·浙江浙江省萧山中学高三一模】函数fxcosx0,分图象如图所示.

的部

2

（1）求fx的最小正周期和单调递增区间； （2）若3,，f，求

5312f的值.

6【思路引导】（1）由给定的函数fx的图象，得到周期T，求得2，再结合

f()1，求得，得到fxcos(2x)，结合三角函数的性质，即可求解.

6612（2）由f43，利用三角函数的基本关系式，求得sin2，结合两角和

6553T53，可得最小正周期为46124的正弦公式，即可求解.

【解析】（1）根据给定的函数fx的图象，可得T

由T2又由f(12，可得2，所以fxcos2xφ，

)cos(6)1，可得2122k,kZ，

又因为2，所以6，所以fxcos(2x6)，

令2k2x62k,kZ，解得k5xk,kZ， 1212所以函数fx的单调递增区间为k5,kkZ. 1212（2）由fcos23， 35因为45,，可得2,，所以sin2，

65663312则fcos2sin2sin2 6266343. sin2coscos2sin6666104. 下图为函数fxAsinxA0,0,0的部分图象，M、N是它2与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E0,1是线段MD的中点，且

OME为等腰直角三角形.

（1）求fx的解析式；

（2）将函数fx图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移得到gx的图象，求gx的解析式及单调增区间，对称中心. 【思路引导】

（1）由点E的坐标可得出A的值，再根据OEM为等腰直角三角形，可得出点E、D的坐标，从而求出、的值，由此可得出函数yfx的解析式；

1个单位长度2（2）根据三角函数变换规律求出函数gx2cosx2，然后利用余弦函数的单调性和对

称性可求出函数ygx的单调增区间和对称中心的坐标. 【解析】

（1）由已知点E0,1为线段MD的中点，则A2， 又OME为等腰直角三角形，且MOE2 OMOE，，则点M1,0，则D1,2，

12112，解得，fx2sinx. 444将点D的坐标代入函数yfx的解析式得2sin2，sin1. 4403，，，解得，

4444242x；

44因此，fx2sin（2）将函数yfx图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数

1xy2sin的图象，再向左平移个单位长度，得到函数

2241xgx2sinx2cos，

2242由2k令

x22kkZ，得4k2x4kkZ.

x2k2kZ，解得x2k1kZ.

因此，函数ygx的单调增区间为4k2,4kkZ，对称中心为2k1,0kZ. 5.【2021·福建省福州格致中学高三期末】 已知函数f(x)3sinxcosxcos21x. 22（1）若对任意x,，都有f(x)a成立，求实数a的取值范围； 32（2）若先将yf(x)的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图

像向左平移

1个单位长度，得到函数yg(x)的图像，求函数yg(x)在区间,363内的所有零点之和.

【思路引导】（1）先对函数f(x)化简变形，然后求出函数f(x)在x则可得到实数a的取值范围；

（2）根据题意，利用函数yAsin(x)的图像变换规律，先得到g(x)的解析式，函数

,上的最小值，3211yg(x)在区间,3内的所有零点，即sinx的实数根，它的实数根共4个，

33再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【解析】（1）f(x)3sinxcosxcos21x 2213sinxcosx(2sin2x1)

231sin2xcos2xsin(2x)， 226若对任意x,，都有f(x)a成立，则只需f(x)mina即可， 32因为x55,，所以2x[,]，

666326所以当2x2即xπ时，f(x)取得最小值为1，所以a1， 6（2）先将f(x)的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得ysin(x个单位得到函数g(x)sinx的图像， 66)的图像，然后再向左平移

函数yg(x)11在区间,3内的所有零点，即sinx的实数根，它的实数根共4333对称， 2个，设为x1,x2,x3,x4，则根据对称性可知这4个根关于直线x所以

x1x2x3x43，所以x1x2x3x46.

426. 【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学】

已知向量m(sinx,3)，n(1,cosx)，且函数f(x)mn. （1）若x0,2fx，且，求sinx的值； 32（2）若将函数fx的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1，再将所得图像2x0,的值域. gxgx向左平移个单位，得到的图像，求函数在42【思路引导】

（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论； （2）先求出g(x)的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解． 【解析】

（1）由条件可得：f(x)sinx3cosx2sin(x)； 32f(x)2sin(x)；

331sin(x)．因为x[0,]，

332x3[,]， 3622． cos(x)1sin2(x)333sinxsin[(x)]sin(x)coscos(x)sin

33333311223126 32326（2）函数fx的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得g(x)2sin(2x)，

3再将所得图像向左平移

1， 2个单位， 4)]2sin(2x)； 4367当x[0,]时，2x[,]．

2666得g(x)2sin[2(x当2x67时，g(x)1；当2x时，g(x)2，

626所以函数g(x)在x[0,]的值域是[1,2]．

27. 【2021·威县第一中学高三期末】已知函数f(x)3sinxcosxcos2x(0)周期是

. 2（1）求fx的解析式，并求fx的单调递增区间；

（2）将fx图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个函数图像向上平移

个单位，最后将整623个单位后得到函数gx的图像，若x时，gxm2263恒成立，求m得取值范围.

【思路引导】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得f(x)sin2x1，由62T2，解得2，带入正弦函数的递增区间2k4x2k，化简22262即可得解；

（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得g(x)sin2x1，根据题意只需要6[g(x)2]maxm[g(x)2]min，在

6x2范围内求出g(x)的最值即可得解. 3【解析】（1）f(x)3sinxcosxcos2x

131sin2xsin2x(cos2x1)

6222由T12，解得2所以，f(x)sin4x

622224x∵2k∴

62k2∴2k34x2k2 3kkx 21226,，kZ ∴fx的单调递增区间为21226kk（2）依题意得g(x)sin2x1 6因为|g(x)m|2，所以g(x)2mg(x)2

2因为当x,时，g(x)2mg(x)2恒成立

63所以只需[g(x)2]maxm[g(x)2]min转化为求gx的最大值与最小值

2当x,时，ygx为单调减函数

63所以g(x)maxg2112gxg，110， min63从而[g(x)2]max0，[g(x)2]min2，即0m2 所以m的取值范围是0,2.

8. 【河南省南阳市第一中学2019届高三考试数学】 已知函数f(x)Asin(x)(xR,A0,0,02)的部分图象如图所示，P是

图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若Q30

（1）求函数yf(x)的解析式，

（2）将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x(1,2)时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域. 【思路引导】

（1）设P点的横、纵坐标为x0,y0，根据OQ4,OP5,PQ在OPQ中，13，22x0y05建立关于x0,y0方程组解出x0,y0，从而解出函数的解析式； 22(4x0)y013

（2）由（1）可得函数f(x)2sin(x)，向右平移2个单位后得到函数63g(x)2sin(6x)，则h(x)4sin(6x)•sin(6x3)，通过三角变换后，可

得h(x)2sin(【解析】

3x6)1，再由定义域可解出函数yh(x)的值域。

解：（1）设P点的横、纵坐标为x0,y0， 在OPQ中，OQ4,OP5,PQ13，

22x0x01y05所以有，解得， 22y20(4x0)y013所以得到A2,2T3 4故T12，解得6

将点P(1,2)代入函数f(x)2sin(6x)

得2sin(6)2，

因为(0,2)， 3，

所以得到故f(x)2sin(x)； 63（2）函数f(x)2sin(x)向右平移2个单位后,

63得到函数g(x)2sin(6(x2)3)2sin(6x)，

h(x)f(x)•g(x)4sin(4sin(6x)•sin(6x3)

13x)•(sinxcosx)626262sin2(6x)23sin(6x)cos(x)6x)

1cos(3x)3sin(32sin(3x6)1x(1,2)23x62

22sin(3x6)2h(x)(1,3)

9. 【2021·广西钦州市·高三期末】设xR，函数f(x)cos(x)（其中

0,30）的最小正周期为，且f． 242

（1）求和的值；

（2）在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0,]上的图象； （3）根据（2）的图象，写出f(x)1时，x的取值范围． 2【思路引导】（1）根据周期求，f3，求； 42（2）根据函数的定义域，结合“五点法”，列表画图；

（3）根据（2）的图象，可直接得一个周期的x范围，再结合周期性可得解. 【解析】（1）

T2,2

333,cos(2),sin f()42422又

20,

3（2）根据f(x)cos(2x列表如下：

3)

2x3 30 0  6 25 120  2 3-1 3 25π 3x f(x) 11 120  1 21 21 函数图解如图：

（3）由（2）的图象得，当x0,，f(x)1时，x的取值范围是,， 23所以，x的取值范围是x|kxk,kZ 310. 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高三上学期第一次调研考试】设函数

fx2sin2x0．

21若x6为函数fx的图象的一条对称轴，当x0, 时，求函数fx的最小值；

22将函数fx的图象向左平移

个单位得到函数gx的图象，已知g0，求36gx的单调递减区间．

【思路引导】

0,1由题意利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求出当x2时，

函数fx的最小值．

2利用函数yAsinx的图象变换规律，求出gx的解析式，再利用正弦函数的

单调性，求得gx的单调递减区间． 【解析】

fx2sin2x01函数，

2若x6为函数fx的图象的一条对称轴，02

262，6，fx2sin2x. 6当x0,故当2x712x,sin2x时，，,1， 66662267时，函数fx的最小值为1． 62将函数fx的图象向左平移

个单位得到函数 32gx2sin2x的图象，

3已知g202sin0，， 6332. 20，gx2sin2x3令2k232k，

2325xk求得k， 12122x可得gx的单调递减区间为k12,k5,kZ． 12