初中数学：矩形中的折叠问题

矩形中的折叠问题

——体会折叠中的方程思想及数形结合思想

◆类型一 折叠中求角度

1．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________．

第1题图 第2题图

2．如图，数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )

A．25° B．30° C．36° D．45° ◆类型二 折叠中求线段长【方法17】

3．如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD＝8，CE＝3，则DE＝________．

第3题图 第4题图

4．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F处，则线段BE的长为________．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为________．

第5题图 第6题图

◆类型三 折叠中求面积

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC交AD于点E，则△BDE的面积为( )

A.

7521

B. C．21 D．24 44

7．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△ADE沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为( )

1

19

A. B. C．2 D．4 28

8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.

(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)；

(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．

参与解析

1．40° 2.B 3.5

4．2.5 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°.∵将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F处，∴AF＝AB＝5，AD＝BC＝4，EF＝BF.在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF＝AF－AD＝3.在矩形ABCD中，∵DC＝AB＝5，∴CF＝DC－DF＝2.设EC＝x，则EF＝BE＝4－x.在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5.∴BE＝4－1.5＝2.5.

5.

18

解析：连接BF交AE于H，由折叠可知，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH5

2

2

1222

＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴EC＝BE＝3.又∵AB＝4，∴AE＝AB＋BE＝5.∴BH＝，

524

则BF＝. 5

1

∵FE＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF，∴∠BFC＝∠BFE＋∠CFE＝×180°

2＝90°.∴CF＝BC－BF＝2

2

24186－＝. 55

2

2

2

6．A 7.C

8．解：(1)由折叠得∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，

1122

∴∠DAM＝∠DAB＝30°，∴DM＝AM.设DM＝x，则AM＝2x，在Rt△ADM中，AD＋DM32＝AM，即3＋x＝(2x)，解得x＝3，∴DM＝3.

(2)如图，延长MN交AB的延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠得∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝∠D＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，

222222

由勾股定理得AQ＝AN＋NQ，∴(x＋1)＝3＋x，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△ANB与4414124

△ANQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN·NQ＝××3×4＝.

552525

2

2

2

2

3