《试验设计与数据处理》讲稿_第5章_优选法

优选法：合理安排试验，寻找试验最佳点

——确定达到最佳试验效果时得因素水平状态按因素的多少分为两大类：单因素、多因素5.1单因素优选法

••

假定：f(x)是定义在区间(a,b)的单峰函数在试验设计中：f(x)指的是试验结果；

区间(a,b)表示试验因素的取值范围。

如何确定f(x)获得最大值的近似位置x？

•

方法：来回调试法、均分法、黄金分割法、分数法、对分法、抛物线法、分批试验法、爬山法

1

5.1.1 来回调试方法—优选法的基础来回调试，求f(x)的最大值

2

5.1.2 均分法•

均分法是单因素试验方法中最简单的方法。(1)在考察的范围内，等间距安排试验点。(2)试验结果处理后，找出规律和优化条件。•••

优点：揭示因素变化对指标影响的规律。缺点：试验工作量大（次数多）。如何确定试验范围、试验点数和试验顺序？

3

※试验范围的确定：

(1)按要求：自热平衡温度的范围一般取25℃～100℃。(2)据经验：液固比一般取2.5～7

(3) 基础知识：高岭土煅烧温度取500～900℃

※试验点数的确定：

•两点：确定一条直线，但过两点的曲线是无限的•三点：可画一圆，也可画一条抛物线•四点：可画一条圆锥曲线

•3～4点的规律不可靠，试验点到少要五至六点以上。※试验范围宽：试验间距大，容易漏去最优点。※试验范围窄：试验间距小，容易落入误差范围内

这是均分法的最大缺点。※试验顺序的确定：4

5.1.3 黄金分割法（0.618法）

黄金分割法是一个分配比或中外比：

•把直线段L分为两部分，使其中一部分对于全部的

比等于其余一部分对于这部分的比：

LxxLxLxx510.6180339887L25

0.618法试验点的具体确定方法：

※第一次：4次试验：f(a)、f(b)、f(x1)、f(x2)

如果f(x2)＞f(x1)，f(x2)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，则极值点在(a,x1)之间，去掉(x1,b)

x2=b-0.618(b-a)0.618(b-a)a12340.618(b-a)56789bx1=a+0.618(b-a)中线6

第二次：1次试验：f(x3)

如果f(x2)＞f(x3)，则极值点在(x3,x1)之间，去掉(a,x3)

中线x2=b-0.618(b-a)a123456x3=b-0.618(x1-a)x1=a+0.618(b-a)7

第三次：1次试验：f(x4)

如果f(x4)＞f(x2)，则极值点在(x2,x1)之间，去掉(x3,x2)如果f(x2)＞f(x4)，则极值点在(x3,x4)之间，去掉(x4,x1)

第四次：如此类推……

中线两个试验点在区间的两个黄金分割点上，即

34560. 618和0. 382处，且一

定是相互对称的。因此x=b-0.618(x-a)31可通过折纸来确定试验

x=a+0.618(b-a)1点，又称“折纸法”。

8

x2x4=x3+0.618(x1-x3)为什么0.618法能用较少的试验次数就能找到最优指标的条件呢？

因为每搜索一回，剩下的试验范围就是原来的0.618倍，

设搜索次数的n，搜索范围为，如果搜索精度为，

n则：d0.618F而第一次试验点数为4，则总试验次数为m=n+3。例如：高岭土煅烧温度的试验：F=900-500=400℃如果要求温度间隔为10℃。

(1)用均分法的实验次数为400/10+1=41次。(2)用0.618法时，10=0.618n×4000.618n=0.025解出n=7.7次，取n=8，则m=n+3=8+3=11次

9

5.1.4 分数法

由菲波那契(Fibonacci)数列：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…得出分数数列：

1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,21/34,34/55,55/89,…用分数数列来安排试验点的优选法称为分数法。实际上，0.618法也是分数法的一种，当n→∞时：

分数法适用场合：

•试验点只能取整数的情况

•受条件限制只能做几次试验的情况

Fnlim0.6180339887nFn110

分数法的使用

1.确定等分试验范围的份数：增加或缩减—与分母同2.根据第一批试验的结果，判断极值的存在区间，然

后继续用分数法安排第二批试验。

分数Fn/Fn+1

2/33/5

第一批试验点位置2/3，1/33/5，2/5

等分试验范围份数Fn+135

试验次数

23

5/88/1313/2121/3434/555/8，3/88/13，5/1313/21，8/2121/34，13/3434/55，21/558132134554567811

5.1.5 对分法

——用分数数列第一项(1/2)来安排试验点的方法

特点：每个试验点的位置都在试验区间的中点，每做一

次试验，试验区间长度就缩短一半。

——对分法的分法简单，能很快地逼近极值点。使用条件：

①要有一个标准（或具体指标）。②要预知该因素对指标的影响规律。

12

5.1.6 抛物线法

——根据已得的三个试验数据，求出过这三点的抛物线的极大

值，作为下次试验的依据，这种方法称抛物线法。——收敛速度快,即试验次数少,能快速逼近极值点。

具体做法：

①在三个试验点x1,x2,x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1，y2

，y3，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数，是一条抛物线，在x4取得最大值：

2222221y1(x2x3)y2(x3x1)y3(x1x2)x42y1(x2x3)y2(x3x1)y3(x1x2)②在x=x4处做试验，结果为y4。选取y1，y2，y3，y4中的最大值对

应的xi,在x1,x2,x3和x4中取较靠近xi的左右两点，根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数的极大点（或它的充分邻近的一个点）被找到为止。13

抛物线法具体做法举例：

假设某矿物有效成分的浸出率与浸出时间的关系如下图

25½þ³öÂÊÓ뷴Ӧʱ¼äµÄ¹Øϵ20% /15 y ÊÂö³10þ½50010203040·´Ó¦Ê±¼ä x / min14

用对分法做试验：

试验点为x1、x2、x3，试验值为y1、y2、y3

2520% /15 y ÊÂö³10þ½5x01x2x3010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min1. 15

2. 用抛物线法求x4：

由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x3, y3) 作抛物线，并

求出该抛物线的极值点试验值x4

25202.Å×ÎïÏß·¨Çóx4% /15 y ÊÂö³10þ½523.78947xx012xx43010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min16

在x4做试验，得y4

比较y1、y2、y3、y4，确定极值点在区间(x1, x4)

25203.ÔÚx4µã×öÊÔÑé% /15 y ÊÂö³10þ½523.78947xx012xx43010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min3.

17

4. 用抛物线法求x5

由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x4, y4) 作抛物线，并

求出该抛物线的极值点试验值x5

25204.Å×ÎïÏß·¨ÓÉx1,x2,x4Çóx5% /15 y ÊÂö³10þ½x=15.65789x554=23.78xx012x3010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min18

x5做试验，得y5

比较y1、y2、y5、y4，确定极值点在区间(x1, x2)

25205.ÔÚx5µã×öÊÔÑé% /15 y ÊÂö³10þ½x54=23.78xx012xx5=15.663010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min5. 在19

6. 用抛物线法求x6

由三个试验点为(x1, y1) 、(x5, y5)、(x2, y2) 作抛物线，并

求出该抛物线的极值点试验值x6

25206.Å×ÎïÏß·¨ÓÉx1,x5,x2Çóx6% /15 y ÊÂö³10þ½5xx012x6=11.55x5=15.66x4=23.78x3010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min20

x6做试验，得y6

比较y1、y2、y5、y6，确定极值点在区间(x1, x5)

25207.ÔÚx6µã×öÊÔÑé% /15 yx 6=11.55ÊÂö³10þ½5x1x20xx5=15.66x34=23.78010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min21

7. 在8. 用抛物线法求x7

由三个试验点为(x1, y1) 、(x6, y6) 、(x5, y5) 作抛物线，

并求出该抛物线的极值点试验值x7

258.Å×ÎïÏß·¨ÓÉx1,x6,x5Çóx720% /15 yx 6=11.55ÊÂö³10þ½5x1x20x7=9.0x5=15.66xx34=23.78010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min22

9. 在x7做试验，得y7

比较y1、y5、y6、y7，确定极值点在区间(x1, x6)

259.ÔÚx7µã×öÊÔÑé20% /15 yx 6=11.55ÊÂö³10þ½5x1x20xx37=9.0x5=15.66x4=23.78010203040´·Ó¦Ê±¼ä x / min23

10. 用抛物线法求x8

由三个试验点为(x1, y1) 、(x7, y7) 、(x6, y6) 作抛物线，

并求出该抛物线的极值点试验值x8

2510.Å×ÎïÏß·¨ÓÉx1,x7,x6Çóx820% /15 yx 6=11.55ÊÂö³10þ½5x1xx20x5=15.66x37=9.0x4=23.780x30408=7.31020´·Ó¦Ê±¼ä x / min24

11. 在x8做试验，得y8

比较y1、y6、y7、y8，确定极值点在区间(x1, x7)

2511.ÔÚx8µã×öÊÔÑé20% /15 yx 6=11.55ÊÂö³10þ½5x1xx20x5=15.66x37=9.0x4=23.780x102030408=7.3´·Ó¦Ê±¼ä x / min25

5.1.7 分批试验法

一批同时做几个试验——加速试验速度均分分批试验法、比例分割分批试验法

1.均分分批试验法——每批用均分法做2n+ 1个试验第一批：用均分法做2n个试验（n为任意正整数），比较结果，

留下较好点，及其左右一段。

第二批：在较好点左右这两段用均分法做2n个试验。比较结

果，留下新的较好点，及其左右一段，依次类推。

较好点

26

2. 比例分割分批试验法

——每批按一定的比例做2n+ 1个试验

第一步：把试验范围按比例划分为2n+ 2段，其比例为：

1n5(1)2n1第二步：在(2n+ 1)个分点上做第一批试验，比较结果，

在好试验点左右留下一长(a)和一短(b)两段，使下一批试验的范围变成a+ b。

第三步：把长段a 按上述比例分成2n+ 2段，相邻两段为

a1，b1（a1＞b1），且a1= b，即上一批中短的一段在下一批变成长段。

…….. 这样不断地做下去，就能找到最佳点。27

比例分割分批试验法图解

第一步：把试验范围按比例划分为2n+ 2段：

第二步：比较结果，留下一长(a)和一短(b)两段，把长段

a 按上述比例分成2n+ 2段

较好点a较好点28

比例分割法是黄金分割法的推广当n= 0时，即每批作一次试验时

10510.618201试验范围为（0，1）时每批奇数个试验的安排情况见书

中表5-3（P.73）

29

5.1.8 逐步提高法（爬山法）加速逼近极值的另一种方法

“两头小，中间大”：

1.开始，小步试探，找出有利于寻找目标的方向2.当方向确定后，跨大步前进3.快到或接近最好点，改为小步

5.1.9 多峰情况

多峰情况比较复杂，需根据具体问题具体分析。

30

5.2 双因素优选法（简介）

——单因素优选问题的扩充或延伸，就是要迅速地找

到二元函数z=f(x, y)的最大值及其对应点（x，y）

双因素优选法的几何意义:•单峰问题，z=f(x, y)的图

形就是一座山

•找出该山峰的最高点。常用的双因素优选法:

•对开法、旋升法、平行

线法、按格上升法、翻筋斗法

31

5.2.1 对开法

1.分别在两条中线上用单因素法找最大值P、Q；2.根据P、Q值的大小去掉另一半或3/4；

3.在余下部分的两条中线上重复第一步的试验，直

到得到所需的结果为止。

32

5.2.2 旋升法———“从好点出发法”

1.2.3.

在一条中线上用单因素法找最大值P1；

然后在过P1点与中线垂直的线上用单因素法找最大值P2；再在过P2点与上一条线垂直的线上用单因素法找最大值P3，直到得到所需的结果为止。

33

5.2.3 平行线法

—用于一个因素易调整，另一个因素不易调整的情况先用0.618法在不易调

整的因素范围内确定两点

然后在易调整的因素

范围用单因素法分别找上述两点的最大值P、Q

比较P、Q，判断余下

部分，再用同样的方法处理余下的部分

34

5.2.4 按格上升法——双因素的分数法

35

翻筋斗法

36

5.2.5