浅谈极限思想

浅谈极限思想

摘要：对极限思想的起源与发展进行探究，将极限的发展历程分为三个阶段，具体介绍了每个阶段的代表人物以及阶段特点，重点放在极限概念的演变及其文化价值上。最后结合探究极限发展历程的经历，提出自己对极限教学的建议。

关键词：极限思想；数学史实；文化价值：教学建议

如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的想象。“挑战极限，超越自我”曾是我们激励自己努力学习的铮铮誓言，然而这只是生活中我们对极限的理解，还很幼稚很肤浅，与数学上所讲的“极限”还有很大的区别。结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的起源与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究。我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步发展完善阶段。

一、极限思想的产生

数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以上溯到2000多年前。这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

1

提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯

1不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走

开。然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。

无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一

2R倍地增多，多边形的面积就越来越接近于圆的面积。在有限次的过程中，用正多边形

的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果把这个过程无限次地继续下去，就能得到精确的圆面积。

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物. 极限的思想可以追溯到古代，在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽，但从现在的史料来看，这种思想主要局限于哲学领域，还没有应用到数学上，当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题. 直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他的极限思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”．第一个创造性地将极限思想应用到数学领域. 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的

2

基础．

刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明. 如此，他在无意中将极限发展成为一个实用概念.

二、极限思想的发展

以上诸多内容都是极限思想萌芽阶段的一些表现，尽管在这一阶段人们没有明确提出极限这一概念，但是哲人们留下的这些生动事例却是激发后人继续积极探索极限、发展极限思想的不竭动力。极限思想的发展阶段大致在16、17世纪。在这一阶段，真正意义上的极限得以产生。从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。例如，在瞬时速度这一问题上，牛顿曾说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。这只是“在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言做出的定性描述”。这一概念固然直观、清晰、简单易懂。但是从数学的角度审视，对极限的认识不能仅停留在直观的认识阶段。极限需要有一个严格意义上的概念描述。

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求

3

数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景. 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述. 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击. 英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”.贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱. 这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义.

三、极限思想的完善

人们继续对极限进行深入的探索，推动极限进入了发展的第三个阶段。值得注意的是，极限思想的完善与微积分的严格化密切相关。18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义。然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖。尽管如此，他们对极限的定义也是有所突破的，极限思想也是无时无刻不在进步着。

极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确. 这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系.

4

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚. 到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出，“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值. 特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”. 柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零.

柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础. 所谓anA，就是指，“如果对任何ε ＞ 0，总存在自然数N，使得当 n ＞ N时，不等式|anA| ＜ ε恒成立”. 这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系. 因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用. 在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观.

在极限思想的发展历程中，变量与常量，有限与无限，近似与精确的对立统一关系体现得淋漓尽致。从这里，我们可以看出数学并不是自我封闭的学科，它与其他学科有着千丝万缕的联系。正如一位哲人所说“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。”

四、文化价值

5

4.1极限中的数学美

在探求极限起源与发展的过程中，我们发现数学确实是一个美丽的世界，享受数学是一个美妙的过程。以前总是觉得数学枯燥艰涩，可是通过近段时间对极限思想的探究，我真切地感受到数学之美。在数学推理的过程中，我们可以尽情发散自己的思维，抛开身边的一切烦恼，插上智慧的双翼遨游于浩瀚无疆的数学世界。什么琐事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飞翔，这种感觉真的很美。培根说：“数学使人精细。”我觉得应该再加上一句——数学使人尽情享受思维飞翔的美感。

4.2极限下的是非观

数学是从需要中产生的。人类认识自然、改造自然的实践活动一直是数学发展最根本的推动力。对于不断出现的新问题，人们首先想到的是用已经掌握的方法去解决。尽管旧的方法未必能得到完美的答案，但如果通过不断地修改和正确地推理可以使答案充分地接近完美，则仍不失为解决问题的有效方法。这就是穷竭法的思想源头。

如用多边形面积计算公式求圆的面积。圆的内接正六边形的面积是圆面积的一个近似，而圆的内接正十二边形的面积更接近圆的面积。圆的内接正二十四边形，四十八边形⋯⋯，随着边数的增加，内接正多边形的面积就可以充分地接近圆的面积。穷竭法的基本思路可以概括为：先从有限边数的多边形面积计算中发现内接正多边形面积与圆的面积之间的关系，再把这种关系推广到边数无限大时的情况，用一个边数无限大的内接正多边形的面积去近似厕的面积。古希腊天文学家、数学家欧多克斯(约前400年一前347年)首创穷竭法，并成功证明出两圆面积比等于半径平方之比。两球体积比等于半径立方之比，棱锥或圆锥的体积等于同底同高的棱柱或圆柱体积的1／3。阿基米德(前287年一前212年)进一步发展了穷竭法，使其更成熟、更广为人知。在《圆的测定》一文中，阿基米德借助圆内接和

6

外切正96边形得到圆周率兀的一个近似值，3并<靠<3寺。在西方称这个数为阿基米德数。700年后，中国数学家祖冲之(429年一500年)计算出一个更精确的值，3．1415926<兀<3．1415927，所采用的方法也是穷竭法。而真正把穷竭法发挥到极致的是十七世纪的数学家。经过大小几十位数学家大量的基础工作后，最终由柯西(17年一1857年)和魏尔斯特拉斯(1815年一1879年)使极限思想成为系统严谨的科学。借助这一深刻的数学理论，微积分这座宏伟的高楼大厦才得以拔地而起!穷竭法包含的近似(￡)、无限接近(一)在极限的定义中都有相应的体现。而极限思想的建立，实际从根本上修改了穷竭法。虽然两者的基本过程都是先从已知的有限情况中确定规律，然后把这个规律应用到无限，但侧重点是不同的。穷竭法强调如何从有限的情况中找规律，而在把规律应用到无限时显得有些粗略，甚至有些冒然行事。虽然这在大多数情况下是可行的，但是如果注意到量变的积累可能会引发质变的事实，则这种应用就具有明显的危险性。穷竭法不能回答什么时候“至于不可割”，也无法准确把握如何才是‘‘无所失”。与穷竭法不同，极限的定义更多关注无限时的状态，并且以精确的量来控制这一过程。导数是微积分中最基本最核心的概念。微分和积分的概念都是建立在导数的基础上，而导数是用极限来精确定义的。

可以说，如果抽掉极限的概念，整座微积分的大厦就会轰然倒下，不复存在!正如36=36一样。这是初等数学的思路。高等数学是研究“无限”的学科，而“无限’才足现实世界的真实面貌”。自然界的任何事物，简单到一支铅笔的形状，都有无限精细的内部结构，绝非圆柱或棱柱那么规则。作为人类认识自然、改造自然的工具，越是高等的数学，越应该能够反映出这种复杂的客观存在。勿庸置疑，极限是个绝对精确的概念。但是，这个绝对精确的概念却没有也没法用严格的“=”来刻画。在极限定义的表述中，能看到的只是不等号‘℃’和‘岁’。极限创造性地把不等号和差别(￡)的任意性结合使用，把绝对的相等解释为差别的任意小。绝对的相等只有理论上研究的意义，并不存在于我们的日常生活。在日常生活中判断两个事物是否相等，人们从来都不苛求分毫不差，也无法要求绝对相等。极限的定义方法在相等和不等这两个截然不同的概念之间建立了一条通道，打开了事物判

7

断的另外一扇窗户：既然绝对的相等可以理解为差别是任意小，那么日常生活中的相等就可以理解为差别是足够小，小到无法分别的程度。

极限思想提供的这种更理智的判断方法，也潜移默化地影响了大学生的是非判断观念。

什么是好?什么是坏?什么是正确?什么是错误?深刻领会极限的思想后，会对这类问题做出更理智的回答。按照极限的思维方式，所谓的正确，就是其中错误的成分小到可以忽略不计或无关大局。而所渭的错误，也并非一点儿正确的成分也没有。如此辩正地、全面地看待事物，有助于培养大学生更博大的胸怀和更成熟的世界观。一个大学生如果不能以极限思想来判断是非，凡事苛求绝对，锱珠必较，那就又后退到了贝克莱时代。我们认为，这种极限思想下的是非观才识真正成熟的是非观。

4.3极限的哲学意义

极限的概念来源于客观实际,是人们认识现实世界的一种共有现象 . 正如列宁在《哲学笔记 》 中概括的一样,“ 从生动的直观到抽象的思维 , 并从抽象的思维到实践,这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径”.极限的早期萌芽是从人们感觉中产生.17世纪上半叶随着对机械运动规律的探求,许多实际问题摆到了数学家们的面前:物体在任意时刻的速度与加速度;光学研究中涉及的曲线问题;抛物体获得最大射程时的发射角;行星引力问题等. 数学家在掌握丰富的感性材料基础上,经历反复推敲与实践检验,发展了极限理论.因此,极限的思想揭示了马克思主义认识论关于认识的辩证过程.人类通过抽象、 概括认识自然界的本质.正是通过这种抽象,“从有限中找到无限,从暂时中找到永恒”( 恩格斯语).从极限思想中,我们可以从有限认识无限,从近似认识精确,从已知认识未知.比如在求曲面梯形面积时,首先要化“曲”为“直”.因此,将积分区间细分,使每个细小的区间化曲为直,从而由已知求未知,计算出梯形的近似值,但近似不是精确,通过无限分割,使近似值逐渐趋向精确. 当分割

8

的程度越加细化,由量变引发质变,我们得到了关于梯形面积的精确值.不难看出,极限思想本质上讲是一种辩证思维.极限内容中蕴涵着大量的辩证思想，应根据学生的实际水平和能力,适度地从哲学角度剖析变与不变、量变与质变、 近似与精确等对立统一规律,能有效地训练学生数学思维,提高综合素质。极限内容中还有很多知识涉及到较深刻的辩证思想,这使得极限的学习成为高中数学新课程的一个重点和难点。但这个难点恰好是训练学生辩证思维的良好素材,提高学生综合素质的最佳环节。

4.4极限中的数学思想方法

高等数学中许多深层次的理论及其运用都是极限的延拓和深化。可以说,离开了极限思想, 高等数学就失去了基础。 极限思想贯穿了微积分的全部内容:微分和积分都是由各种不同形式、不同方式的极限过程得到的,所以微积分最核心的就是极限思想。随着伯努力、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等数学大家的完善,在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支,如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等.这些分支与极限有着密切的联系: 广义积分、级数和等概念都是用不同形式的极限方法得到的;从直线、 平面、三维空间到一般欧式空间,乃至各类抽象空间的收敛性,都借助了极限;二重积分、三重积分、第一型曲线、 曲面积分,它们的思想方法( 分割、求和、取极限)都是一样的 , 都可看作求不均匀物体的质量;直线段、可求面积的平面图形、可求体积的空间几何体、空间曲线以及曲面,都可归结为处理同一型式和的极限。

4.5极限中的现实背景

极限思想方法是微积分的基本思想方法,使借助数学对事物的运动变化规律做定量分析成为可能 , 即把所考察的对象(如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等 ) 看做某对象( 内接正 n 边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和 )在无限变

9

化过程中变化结果的思想 . 在这种思想指导下 , 得到了运用极限去刻画切线斜率、变速运动的瞬时速度和加速度等概念的方法。因此 ,极限内容有着丰富的物理背景:比如,建筑学中房梁在外加负荷下的弹性问题,工业生产中机械模型的制,物体重心以及物体之间的引力问题等.随着极限思想向现代化学科扩张和渗透,极大程度上促进了跨学科和边缘学科的产生、 发展、深化,也使得极限在现实生活中的运用日益广泛.如:化学不定量问题( 配置等) ,用常规方法很难解决,但是采用极限思想便可迎刃而解.类似这样的例子不胜枚举，这些现实问题，为极限内容提供了丰富的背景。

4.6有助于增进学生对数学本质的了解

数学中许多概念,可以从过程和对象两个侧面来理解。所谓过程,就是具备了可操作性的法则、公式、原理等。而对象则是数学中定义的结构关系.极限既代表函数变化趋势的过程,又代表发展变化的结果。因此,极限既操作别的对象(比如数列、函数),又要被更高层次的运算 ( 比如导数、微分 )来操作.所以,极限概念在某一层次和更高级的层次的概念之间起着某种枢纽作用,有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象以及数算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性。此外,借助于极限思想,数学中许多概念定义得以完备。不难看出，中学极限的学习有利于学生系统全面地了解数学内部结,整体把握其性质。

4.7有助于学生体会数学与现实及其它学科的联系

极限具有丰富的现实背景,是刻画物体运动变化的重要数学工具。在诸如人造卫星、 自动控制、各类电子装置的设置、 导弹计算等方面有广泛的运用.极限也在刻画物理量 — 速度、 加速度等方面起到不可忽视的作用 ,它体现了数学与物体的天然联系.事实上,速度、加速度这些物理量贯穿物理学的许多分支,都是数学中极限的现实原型.充分挖掘极限背后所蕴涵的现实生活背景 , 可以极大地丰富学生的数学生活,培养学生数学化思考的习惯,体

10

会数学与现实生活的密切联系 , 更好地认识人类的生活空间 .

五、关于极限的教学建议

极限是高中数学新课程中的重要内容， 《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)中,设置了数列极限与函数极限。不少教师认为,极限的学习有利于高中与大学知识的衔,发展学生的辩证思维,尤其是扩展解题的技巧和方法。 因此对于极限教学的研究主要集中在极限思想在解题中的运用 ,教学的重点放在用极限解题的技巧上。笔者试图对高中数学新课程中极限内容的认识 教育价值以及极限教学中应注意的几个问题做一探讨

5.1对极限的认识

作为研究函数最基本的方法 — 极限方法在古代就有较为清楚的描述:两千多年前的古希腊在深入研究圆形的过程中,萌芽了“无限细分,无限求和”的微积分思想；我国西汉刘歆在《西京杂记》 中提到的“记里车”,东汉张衡制造的“浑天仪”,蜀汉诸葛亮使用的“木牛流马”,魏晋刘徽的“割圆术”,也都用到了极限的思想。 随着现代学科的成熟,微积分经历了长足的演变和发展。极限作为微积分最重要的概念,于20世纪初被引入中学数学。这次, 《标准》中也设置了极限的内容。

5.2极限教学应注意的问题

基于高中数学新课程对极限的定位以及对极限教育价值的分析,极限教学应注意以下几个问题 :

5.2.1注意无限概念的阐述和理解

11

极限内容的学习是培养和发展学生思维不可分割的部分，但由于学生对对立统一规律的认识还很模糊,必然会有很大的困难,其本质的问题就是对无限的认识。在数学哲学上 , 区分了两种无限 : 一种是潜无限 , 即把无限看成是永远在延续的过程。比如不断延伸的自然数列 1 , 2 , ⋯ , n, ⋯ ; 另一种称为真无限，即把无限对象看成是可以自我完成的过程。然而，很多学生由于受日常语言的影响，认为无限就是潜无限，把取极限看成是一个永远也无法完成的过程。因此 ,极限函数定义中f(x)无限接近 A 对学生而言便是只能非常接近但不能达到。然而存在某些情况极限值是可以达到的，对极限正确的理解依赖于学生对真无限的认可。可以说，真无限应该是学习极限概念最重要的认知障碍。许多教师为了帮助学生， 将无限接近解释为“要多接近有多接近”,但这样的解释对学生来说还是接近不能达到。

5.2.2 注重极限思想的灵活运用

极限思想是高中数学中一种重要的数学思想,它从数量上描述变量在运动过程中的变化趋势。极限内容不仅贯穿在整个微积分部分，而且与解析几何、立体几何、数列 三角函数、 不等式也有着密切的联系。因此，极限思想在解决数学各个分支的问题时有着不可忽视的作用，对于某些较难的数学问题，如果能够灵活运用极限思想求解，往往可以避开一些复杂抽象的运算，降低解题的难度，优化解题思路,达到事半功倍的效果。极限思想与特殊化原则的结合,可对某些较复杂的问题做极端化处 ,使解题过程化难为易。

因此,教师应该在课堂教学中帮助学生归纳和总结极限思想在解题中的运用,但不能把对极限的运用局限在解微积分的题目中。应该认识到,通过极限思想,能有效地将数学各部分内容系统地联系起来,有利于学生从整体上把握数学的本质 .

5.2.3关注极限在物理、 数学、 现代科技中的应用

12

物理中的速度、加速度、电路单调性变化等问题是极限研究的对象。因此,极限在物理中的运用是不言而喻的。在教学中,应引导学生有意识地运用极限刻画和解决物理学科中的问题 ( 例如弹性小球落地到停止运动所经过的路程).极限在数学中也有着重要的作用 . 极限及其运算可以刻画几何对象,分析曲线的性质,证明不等式,计算图形面积,证明数列和的存

2yx在性、线性代数求解等等。例如求抛物线与直线 x = 1 及 x 轴围成的面积 S. 在 x

轴上将线段[ 0 , 1 ] 等分为 n 份 , 以每份线段为底,分别作 n 个矩形,这 n 个矩形的面积之和近似于阴影部分的面积分割、 求和、 取极限的思想方法还可以用来解决解析几何、立体几何的问题,使解题过程构思巧妙独特，简便快捷。此外,在解决现实的应用性问题 ( 比如环保、贷款等 )中,借助极限可以帮助我们做出合理的估计与推理。值得注意的是 , 不能把极限的应用仅仅局限在解决形式上的、 由数学符号构建的、纯数学内部问题的求解与证明,这样在无形之中割断了数学与生活的联系,致使学生对数学概念形成不完全、不客观的认识。

高中数学新课程中设置极限内有着更为广泛的目的,而不仅仅为了解决纯数学问题。因此,课堂教学应该对极限的应用性给予相应的关注。

参考文献

[ 1 ] 朱家生 . 数学史 [ M ]. 北京 : 高等教育出版社 ,2004 .

[ 2 ] 邵光华 . 数学思想方法与中学数学 [ M ]. 北京 :北京师范大学出版社 , 2005 .

[ 3 ] 汪晓梦 . 极限思想的形成、 发展及其哲学意义[ J ]. 合肥党校学报 ,2004 ( 3).

13

[ 4 ] 邹兆南 . 极限概念的数学哲学思维解剖 [ J ]. 重庆交通学院学报,2004 ( 4).

[ 5 ] 黄加卫 . 极限思想在数列中的几个“ 闪光点 ”[ J ]. 中学数学月刊 , 2005 ( 3).

[ 6 ] 刘国合 . 极限思想在解题中的应用 [ J ]. 数学通报 , 2005 ( 5).

14