高二物理带电粒子在复合场中的运动 知识精讲

高二物理带电粒子在复合场中的运动 知识精讲 北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

带电粒子在复合场中的运动

二. 教学过程：

1. 带电粒子在复合场中应用问题的分析与力学中的力学中分析方法相同，关键是要注意电场和磁场对带电粒子不同的作用特点。

（1）带电粒子在匀强电场中受到的电场力F＝qE是恒力；电场力作功与路径无关，只与初末位置的电势差有关；电场力作功多是电势能和其他形式的能之间相互转化的量度。 （2）带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力的大小随运动速度的大小改变而改变；洛仑兹力的方向总与运动方向垂直；洛仑兹力对带电粒子不作功。

2. 带电粒子在电场和磁场共存区域内运动形式的分析和判定：

带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动形式由粒子的受力情况和初速度情况共同决定。由于电场、磁场的本身情况不同（例如相互平行或垂直）都可以使带电粒子在场内运动时所受电场力、洛仑兹力的情况不同，又由于带电粒子的初速度可能不同，这些因素共同决定了带电粒子在电场、磁场共存区域内的不同运动形式。 3. 研究带电粒子在电场和磁场共存区域内运动的方法：

（1）运用牛顿运动定律研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：带电粒子在电场、磁场中运动时，一般来说，带电粒子会同时受到电场力和洛仑兹力的作用，这两个力的合力决定了粒子的加速度，从而制约了粒子的运动形式，对于这类问题，一般是先利用牛顿第二定律求出电场力和洛仑兹力共同作用产生的加速度，然后再运用恰当的运动学规律对问题最后求解。

（2）运用动能定理研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：由于洛仑兹力对带电粒子不做功，电场力对粒子所做的功WE等于粒子动能的增量△EK，即WE＝△EK。又因为电场力对粒子所做的功WE等于粒子电势能的增量△EP的负值，即WE＝－△EP。所以又有△EK＋△EP＝0，即粒子的动能与电势能之和守恒。 4. 回旋加速器的工作原理

回旋加速器是用来加速带电粒子的装置。

回旋加速器的核心部分是两个D形的金属扁盒，这两个D形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成的两半。两个D形盒之间留一条窄缝，在中心附近放有粒子源，D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D形盒的底面。把两个D形盒分别接在高频电源的两极上，如果高频电源的周期与带电粒子在D形盒中的运动周期相同，带电粒子就可以不断地被加速了。带电粒子在D形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。

这里需注意：高频电源的周期等于带电粒子在D形盒中运动周期，一般情况下带电粒

子在窄缝中的运动时间忽略。

【典型例题】

例1. 如图所示，三个质量相同的质点A、B、C带有等量正电荷，它们从相同的高度，从静止开始下落，质点A、B分别垂直进入匀强电场E和匀强磁场B，质点C继续在空中下落，如果电场和磁场的宽度为h2，则它们分别达到水平线MN时， （1）速度的大小vA、vB、vC的关系如何？ （2）下落时间tA、tB、tC的关系如何？

分析：三个小球运动轨迹如草图所示：

A B C x v1 f F E × × × v1 × × × f × × × xP v

C球做自由落体运动 h12gtCtC22hg12

mvC2 由动能定理：mghvC2gh

A球先做自由落体，进入电场后，向右偏做类似斜抛运动，其竖直方向做ay＝g的加速运动，水平做初速为零的匀加速运动。

B球先做自由落体，进入磁场后，向右偏做曲线运动（轨迹不是圆）。 （1）要求解落地速度，可通过动能定理： A球：W总WGWFmghqEx vAvC

B球：W总WGWfmgh0 vBvC

（2）要分析运动时间可分析竖直方向分运动。

A球在竖直方向是自由落体运动，故vA＝vC。

B球运动到P点时，洛仑兹力f斜面右上方，其竖直分量向上，使B球运动加速度小于g，故tB＞tC。 解：（1）由动能定理可知：vA＞vB＝vC

12mvA0

212mvB0

2

（2）由竖直分运动的分析可知：tA＝tC＜tB

例2. 一束质子流以一定的速度沿水平平行于板进入平行金属板间，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场B，要使质子沿直线通过，可加一匀强电场场强为E， （1）电场的方向； （2）质子的速度v0＝?

（3）若使电场强度增大，质子可从C点射出两板间；若撤去电场，质子可从D点射出两板间；假设C、D关于O点对称，试比较从O、C、D三点射出两板间时，质子的速度大小。

P × × × B v0 O Q × × ×

解析：（1）质子受洛仑兹力f方向向上，要做直线运动，电场力必与f等大、反向，即电场力向下，又质子带正电，故电场方向向下。

× × F E f v0 B × ×

（2）由F＝f可知，qE＝qvB

v0E/B

即当v0E/B时，质子受力平衡，做匀速直线运动。

（3）增大电场，电场力大于洛仑兹力，质子将沿电场力方向偏转，电场力做正功，动能增大，即vC＞v0。

撤去电场，质子在磁场中做匀速圆周运动，故vD＝v0 所以vC＞v0＝vD

讨论：（1）当粒子以v＝E/B向右通过上述正交电场磁场区域时，可匀速通过。 （2）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

（3）若速度小于这一速度，电场力将大于洛仑兹力，带电粒子将顺电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛仑兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将逆电场力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛仑兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

例3. 如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝-2h处的P3点。不计重力。求： （1）电场强度的大小。

（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。 （3）磁感应强度的大小。

解析：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示：

设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有： qEma1 v0t2h

12at22 3

h 由1、2、3式解得：Emv022qh4

（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有： v12ah vv1v02225

6

 tanv1v07

由2、3、5式得：v1v0 由6、7、8式得：v 45定律： qvBm10

2v08

9

（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二

v211

r r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，

由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得： r2h12

由9、11、12可得：Bmv0qh13

例4. 如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的小球，其质量为m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E，磁感应强度是B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度（设小球电荷量不变且mg＞μqE）

· · · · · · · · B · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · E

解析：球在下滑过程中将受到重力、电场力、杆对球的弹力、杆对球的滑动摩擦力和洛仑兹力，其中重力向下，滑动摩擦力向上，电场力向右。下滑之前，球运动速度为零，洛仑兹力为零，杆对球的弹力向左，且弹力等于电场力（注意此时并不是弹力最小、加速度最大时刻）。当球开始下滑后，水平方向除受电场力、弹力外，还受到向左的洛仑兹力，此时，弹力等于电场力和洛仑兹力之差。由于刚开始下滑，球速度较小，洛仑兹力小于电场力。随着下滑速度的变大，洛仑兹力变大，导致弹力变小，球下滑的加速度将变大。当球速度大到使洛仑兹力等于电场力时，弹力为零，球受到的摩擦力为零。此时，球下滑的加速度达到最大值，且刚好等于重力加速度g。随着球的速度继续变大，洛仑兹力大于电场力，弹力等于洛仑兹力和电场力之差，随着球的速度增加，弹力变大，摩擦力变大，球下滑的加速度变小，当摩擦力大到等于重力时，球将匀速下滑，此时球的速度即为最大速度。 （1）小球下滑开始阶段的受力情况如图所示：

F FN Eq F 洛 mg 根据牛顿第二定律有：mgFNma 且FNEqF洛EqqvB 当v大于F洛Eq，即qvBqE

也即v1E/B时，摩擦力F0，则amaxg （2）当v＞v1时，小球受力情况如图所示：

F FN F洛 Eq mg 由牛顿第二定律有：mgFNma 且FNF洛Eq，F洛qvB

当v大到F＝mg时，a＝0，此时v达到最大值 即：mgqvBEq 得vmaxmgEq

qB

说明：分析该题中球运动状态的变化：v↑→F洛↑→FN大小及方向变化→F先↓后↑→a先↑后↓。小球的运动可划分为三个阶段，要对各阶段认真进行受力分析，明确各量如何变化，找出极值条件。本题中F洛＝qE，即FN＝0，F＝0时，a最大；F合＝0，即F＝mg时，v最大。

例5. 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E＝4.0V/m，磁感应强度的大小B＝0.15T。今有一个带负电的质点以v＝20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电荷量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）。

分析：质点做匀速直线运动，所以重力、电场力与洛仑兹力的合力一定为零。由于洛仑兹力与磁场方向垂直，磁场与电场方向相同，因此，电场力与洛仑兹力相互垂直，如图所示，并且这二者的合力与重力等大反向。分析时要注意三点：一是洛仑兹力的大小与带电质点的速率有关；二是带负电的质点的运动方向不是左手定则中四指的方向；三是以图中重力所在竖直线为轴线转动，在任一位置重力、电场力与洛仑兹力的合力都为零，所以磁场的所有可能方向为无穷多个，但都在以重力所在竖直线为轴线转动的过程，磁场B所画的圆锥面内。 解：由上述分析可画出质点受力分析图如图所示（此图对应为带负电的质点垂直纸面向里运动）。设质点电荷量为q，质量为m。

由几何关系可知：qvBqEmg 带入数据解之可得：qmg222vB21.96C/kg E2

图中的角为arctanvBEarctan0.7537，磁场方向为沿与重力方向夹

角θ＝37°，且斜向下方的一切方向。

【模拟试题】

1. 如图所示，虚线所示的区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场。发现有的质子在磁场里运动的时间长，有的较短，其中运动时间较长的质子（ ）

A. 入射的速度一定较大 B. 在该磁场中运动路程一定较长 C. 在该磁场中偏转的角度一定较大

D. 轨迹所对应的圆心角较大

2. 如图所示，左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m、电量的数值为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）

A.

Bqdm 2Bqd B.

22Bqdm

2 C.

2mm 3. 如图所示，两电子沿MN方向射入两平行直线间的匀强磁场，它们分别以v1、v2的速率射出磁场，则v1∶v2___________，通过匀强磁场所需时间之比t1∶t2__________。

 D.

2Bqd

4. 关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）

A. 带电粒子沿电场线射入，电场力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 B. 带电粒子垂直电场线方向射入，电场力对带电粒子不做功、粒子动能不变

C. 带电粒子沿磁感线方向射入，洛仑兹力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 D. 不管带电粒子怎样射入磁场，洛仑兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变

5. 如图所示，长方形区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，一束速度不同的电子从O处沿与磁场垂直方向射入磁场，磁场方向垂直于边界，若从a、b、c、d四处射出的电子在磁场中运动时间分别为ta、tb、tc、td，则（ ）

A. tatbtctd C. tatbtctd

B. tatbtctd D. tatbtctd

6. 如图所示，是等离子体发电机示意图，平行金属板间匀强磁场的磁感应强度B＝0.5T，两板间距离d＝20 cm，要使输出电压为220V，则等离子体垂直射入磁场的速度v＝_________，a是电源的__________极。

7. 在图中的虚线所围的区域中，存在电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场。已知从左方水平射入的电子穿过这区域时未发生偏转，设重力不计，则在这区域中的E和B的方向可能是（ ）

A. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反

B. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同 C. E竖直向上，B垂直纸面向外 D. E竖直向上，B垂直纸面向里

8. 如图所示，平行板电容器水平放置，连接P1、P2的导线的一部分CD和另一连接电池的回路的一部分GH平行，CD和GH均在纸面内。金属板置于磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当一束等离子体射入两金属板之间时，CD导线将受到力的作用，则当（ ）

A. 等离子体从右方入射时，CD受力方向背离GH B. 等离子体从右方入射时，CD受力方向指向GH C. 等离子体从左方入射时，CD受力方向背离GH D. 等离子体从左方入射时，CD受力方向指向GH

9. 如图，有一质子以速度v穿过相互垂直的电场和磁场区域没有偏转，则（ ）

A. 若电子以相同的速度v射入该区域，仍不会偏转

B. 无论是何种粒子，只要以相同的速度v射入，均不会偏转

C. 若质子入射速度小于v，它将向下偏转，做类平抛运动

D. 若质子入射速度大于v，它将向上偏转，其轨迹既不是抛物线，又不是圆弧 10. 如图所示，一束电子流以速度v沿水平方向射入磁感应强度为B，方向如图的匀强磁场中，为使电子流通过磁场时不发生偏转（不计重力），则在磁场区须加一个匀强电场，则场强为（ ）

A. C.

BvBv，竖直向上 ，水平向左

B. Bv，垂直纸面向里 D. Bv，垂直纸面向外

11. 用回旋加速器来加速质子，为了使质子获得的动能增加为原来的4倍，原则上可采用下列哪几种方法（ ）

A. 将其磁感应强度增大为原来的2倍 B. 将其磁感应强度增大为原来的4倍

C. 将D形金属盒的半径增大为原来的2倍

D. 将D形金属盒的半径增大为原来的4倍

12. 电量为q的粒子自静止开始被加速电压为U的电场加速后，沿垂直于磁感线方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子在场中做半径为R的匀速圆周运动，不计重力，则粒子在磁场中运动的速率为（ ） A. BR/2U B. 2U/RB C. 2U/qBR D. BR/2qU

13. 一带正电的小球沿光滑水平桌面向右运动，飞离桌面后进入匀强磁场，如图3所示。若飞行时间t1后落在地板上，水平射程为s1。着地速度为v1；撤去磁场，其他条件不变，

小球飞行时间t2，水平射程s2，着地速度v2，则（ ）

A. s2s1

B. t1t2

C. v1v2

D. v1v2

23 14. 氢核、氘核（1，氚核（1H）H）以相同的动能射入速度选择器，如图所示。如果氘

核沿直线运动，则（ ）

A. 偏向正极板的是氢核 B. 偏向正极板的是氚核 C. 射出动能最大的是氚核 D. 射出动能最大的是氢核

15. 如图所示，两块带电金属板水平放置，电子束从两极板的左侧正中央a处，沿水平方向以速度v0垂直于电场方向入射，在电场力作用下，刚好从图中所示的c点射出，射出时速度为v，保持电场不变在两极板间加一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，电子束仍从a处以速度v0垂直于电场方向入射，它刚好从图中所示的d点射出，已知c、d两点相对于中心线ab是对称的，则每个电子从d点射出时的速度大小为___________。

16. 如图所示，设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为曲线的最低点，在不计重力的情况下，可以确定（ ）

A. 离子一定带正电荷 B. A、B两点位于同一高度 C. 离子在C点时速度最大

D. 离子到达B点后将沿原路返回A点

17. 如图所示，在真空中，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量的同种电荷，已知a静止，b向右匀速运动，c向左匀速运动，比较

它们的质量应有（ ）

A. a油滴质量大 B. b油滴质量大 C. c油滴质量大 D. a、b、c油滴质量一样大

18. 质量为m，电荷量为+q的小物块，放在斜面上，斜面的倾角为，物块与斜面间的动摩擦因数为，设整个斜面置于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，斜面足够长，物块向下滑动能达到的最大速度vm是多少？

19. 如图所示，在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，水平放置一足够长的绝缘直棒，棒上套着一个带正电的小球，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；小球质量为m，带电量为q，小球沿水平棒滑动时摩擦因数为μ，小球刚开始向右滑动后，求：

（1）当小球的速度达到何值时它的加速度最大？加速度的最大值是多少？ （2）小球速度的最大值是多大？

20. 已知质量为m的带电液滴，以速度v射入互相垂直的匀强电场和匀强磁场中（电场强度为E，磁感强度为B），液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动。如图所示，求：

（1）液滴在空间受到几个力作用； （2）液滴带电量及电性；

（3）液滴做匀速圆周运动的半径多大？

21. 如图所示，在场强为E方向水平向左的匀强电场和磁感应强度为B垂直纸面向里的匀强磁场区域内，固定着一根足够长的绝缘杆，杆上套着一个质量为m，电荷量为q的小球，球与杆之间的动摩擦因数为μ，现让小球由静止开始沿杆下滑，求小球沿杆滑动的最终速度

为多大？

22. 如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场；磁感应强度为B。在x＜0的空间还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，始终沿着与水平方向成角α＝30°的斜向下的直线方向运动，进入x＞0的区域。要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x＞0区域内加一个匀强电场。若带电油滴做圆周运动通过x轴上的N点，且MO＝NO，求：

（1）油滴运动的速率的大小；

（2）在x＞0空间内所加电场的场强大小和方向；

（3）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点所用的时间。

[参考答案]

1. CD

提示：此题所得一项结论可在日常练习中使用。质子从a处正对圆心O射入磁场，从b处射出磁场。作Oa、Ob的垂线交于O'点，O'a、O'b为圆周运动的半径，连接OO'。由几何关系可知：△OO'a≌△OO'b，得∠OaO'＝∠ObO'＝90°，即从b处射出的质子好像是从O点沿直线射出的一样。

2. BC 提示：由r的图像。

3. 1∶2；3∶2

提示：粒子进入磁场做匀速圆周运动，用左手定则确定圆心O1、O2，如图所示：

mvBq可知v0越大，r越大。本题通过作图找出两种电性情况下的临界状态

由几何关系得：

(r2r1)r2cos60

有r22r1，而r 可得

v1v2r1r21214mvqB

又根据圆知识，得电子在磁场中的运动时间： t190360t1TT，t260360T16T

因此，

t232

4. D

提示：带电粒子在电场中受到的电场力FqE，只与电场有关，与粒子的运动状态无关，功的正负由力与位移方向间夹角决定，对选项（A）只有粒子带正电才成立；垂直射入匀强电场的带电粒子，不管所带电荷性质如何，电场力都会做正功，动能增加，故选项（B）错。

带电粒子在磁场中，当v0或v∥B时，不受洛仑兹力作用，故选项（C）错，当v≠

0且速度v的方向与磁场方向不平行时，带电粒子受洛仑兹力作用，因洛仑兹力的方向始终与速度方向垂直，所以洛仑兹力不做功，故选项（D）正确。

5. C

提示：因不同电子荷质比相同，在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期相同，角速度相同，因不同电子速度不同。所以圆周运动的半径不同；如图所示做弦Oa、Ob、Oc、Od的垂

⌒⌒⌒⌒直平分线与Ob若其延长线的交点，是对应圆弧的圆心画出圆弧：Oa、Ob、Oc、Od可⌒⌒⌒⌒⌒知，而Oc对应的圆心角小于Oa、Ob对应的圆心角，Oa、Ob对应的圆心角相等均为，

由t知，选项（A）、（B）、（D）错，选项（C）正确。

 6. 2200m/s；正

7. ABC 8. AD

提示：等离子体中同时含有正离子和负离子，由左手定则可知，当等离子体从右方进入磁场后，正离子受磁场力方向向下，负离子受力方向向上，P1带负电，P2带正电，CD中有由D流向C的电流，与GH中电流反向。两电流相排斥，CD受力背离GH，选项A正确。当等离子体从左方进入磁场后，同理可以得到上板聚集正电荷，P1带正电，下板P2带负电，CD中电流由C流向D与GH中电流同向，两电流相吸引，选项D正确。 9. ABD

提示：质子做直线运动时有：EqBqv，v通过电磁场区域。v 10. C 11. BC 12. B

提示：电场中加速qU 13. BD 14. AC 15.

2v0v

22EB，v相同的任何带电粒子均能沿直线

EB，粒子顺电场力方向偏移。

12mv；磁场中做圆周运动，R2mvqB，联立方程求出速率v。

16. ABC

17. C

mgsincos 18.

Bq 19. （1）vmgBq，amEqm

（2）vmEq/mg/Bq 20. （1）3个力；（2） 21.

mgE，负电；（3）Ev/Bg

EqmgBq

22. （1）v （2）E' （3）2EB

3E，方向竖直向上

3E 3Bg23