一、选择题
1．﹣3的绝对值是（ ） A．3
B．﹣3 C． D．
2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13或17 3．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ ）
6564
A．0.3×10 B．3×10 C．3×10 D．30×10 4．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．20° B．60° C．30° D．45° 5．估算的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 7．下列计算中，正确的是（ ）
246326632A．x＋x＝x B．2x＋3y＝5xy C．（x）＝x D．x÷x＝x
8．下图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．C．
B． D．
第 1 页
9．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．方程的解为（ ）
C．x＝﹣2 D．无解
A．x＝ B．x＝
11．某篮球队12名队员的年龄如表所示： 18 19 20 21 年龄（岁） 5 4 1 2 人数 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A．18，19 B．18，19.5 C．5，4 D．5，4.5
2
12．二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 13．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
第 2 页
A．90° B．95° C．100° D．105°
14．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．20
C．18
D．
15．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝6，则BF的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
16．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）
A． B．
2
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17．分解因式：2x﹣4x＋2＝ ．
18．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 ．
第 3 页
19．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若分的面积是 （结果保留π）
和
都经过圆心O，则阴影部
20．如图，所有正三角形的一边都与x轴平行，一顶点在y轴正半轴上，顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，坐标原点O到边A1A2，A4 A5，A7A8…的距离依次是1，2，3，…，从内到外，正三角形的边长依次为2，4，6，…，则A23的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．已知代数式：A＝
，B＝
．
（1）试证明：若A、B均有意义，则它们的值互为相反数；
（2）若代数式A、B中的x是满足不等式3（x﹣3）＜6﹣2x的正整数解，求A﹣B的值．
第 4 页
22．某校为了调查学生书写汉字的能力，从八年级800名学生中随机抽选了50名学生参加测试，这50名学生同时听写50个常用汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图如图表： 频数分布表 组别 成绩x分 频数（人数） 4 第1组 25≤x＜30 8 第2组 30≤x＜35 16 第3组 35≤x＜40 a 第4组 40≤x＜45 10 第5组 45≤x＜50 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，请你估计该校八年级汉字书写优秀的人数？
（4）第一组中的A、B、C、D 四名同学为提高汉字书写能力，分成两组，每组两人进行对抗练习，请用列表法或画树状图的方法，求A与B名同学能分在同一组的概率．
第 5 页
23．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且DM＝AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为 ．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2， ①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为 ；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形； ③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求
的
值．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y＝kx＋5﹣4k（k＞0）． （1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：
①当函数y＝kx＋5﹣4k为正比例函数时，点N的个数有 个；
②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．
第 6 页
25．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，以B为圆心、1为半径作圆，设点P为⊙B上一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA、PD、PB． （1）求证：AD＝BP；
（2）若DP与⊙B相切，则∠CPB的度数为 ；
（3）如图2，当B、P、D三点在同一条直线上时，求BD的长；
（4）BD的最小值为 ，此时tan∠CBP＝ ；BD的最大值为 ，此时tan∠CBP＝ ．
第 7 页
26．某公司经销农产品业务，以3万元/吨的价格向农户收购农产品后，以甲、乙两种方式进行销售，甲方式包装后直接销售；乙方式深加工后再销售．甲方式农产品的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它每吨平均销售价格y（单位：万元）与销售量m（单位：吨）之间的函数关系为y＝﹣m＋14（2≤m≤8）；乙方式农产品深加工等（不含进价）总费用S（单位：万元）与销售量n（单位：吨）之间的函数关系是S＝3n＋12，平均销售价格为9万元/吨．
参考公式：抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
2
，）
（1）该公司收购了20吨农产品，其中甲方式销售农产品x吨，其余农产品用乙方式销售，经销这20吨农产品所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）． ①直接写出：
甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为 万元； 乙方式购买和加工其余农产品所需资金为 万元； ②求出w关于x的函数关系式；
③若农产品全部销售该公司共获得了48万元毛利润，求x的值； ④若农产品全部售出，该公司的最小利润是多少．
（2）该公司现有流动资金132万元，若将现有流动资金全部用于经销农产品，
①其中甲方式经销农产品x吨，则总经销量p为 吨（用含x的代数式表示）； ②当x为何值时，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
第 8 页
中考数学一模试卷（四）
二、选择题
1．﹣3的绝对值是（ A ） A．3
B．﹣3 C． D．
2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ A ） A．17 B．15 C．13 D．13或17 3．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ B ）
6564
A．0.3×10 B．3×10 C．3×10 D．30×10 4．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝（ C ）
A．20° B．60° C．30° D．45° 5．估算的值在（ D ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ B ）
A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 7．下列计算中，正确的是（ C ）
246326632A．x＋x＝x B．2x＋3y＝5xy C．（x）＝x D．x÷x＝x
8．下图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ C ）
B．C．
B． D．
第 9 页
9．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（ D ）
A．
B．
C．
D．
10．方程的解为（ B ）
C．x＝﹣2 D．无解
A．x＝ B．x＝
11．某篮球队12名队员的年龄如表所示： 18 19 20 21 年龄（岁） 5 4 1 2 人数 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ A ） A．18，19 B．18，19.5 C．5，4 D．5，4.5
2
12．二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（D）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 13．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ D ）
第 10 页
A．90° B．95° C．100° D．105°
14．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ B ）
A．
B．20
C．18
D．
15．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝6，则BF的长为（ C ）
A．6 B．7 C．8 D．10
16．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ A ）
A． B．
2
C．
2
D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17．分解因式：2x﹣4x＋2＝ 2（x－1） ．
18．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 4 ．
第 11 页
19．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若分的面积是 3π （结果保留π）
和
都经过圆心O，则阴影部
20．如图，所有正三角形的一边都与x轴平行，一顶点在y轴正半轴上，顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，坐标原点O到边A1A2，A4 A5，A7A8…的距离依次是1，2，3，…，从内到外，正三角形的边长依次为2，4，6，…，则A23的坐标是 （8，－8） ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．已知代数式：A＝
，B＝
．
（1）试证明：若A、B均有意义，则它们的值互为相反数；
（2）若代数式A、B中的x是满足不等式3（x﹣3）＜6﹣2x的正整数解，求A﹣B的值．
第 12 页
第 13 页
22．某校为了调查学生书写汉字的能力，从八年级800名学生中随机抽选了50名学生参加测试，这50名学生同时听写50个常用汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图如图表： 频数分布表 组别 成绩x分 频数（人数） 4 第1组 25≤x＜30 8 第2组 30≤x＜35 16 第3组 35≤x＜40 a 第4组 40≤x＜45 10 第5组 45≤x＜50 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，请你估计该校八年级汉字书写优秀的人数？
（4）第一组中的A、B、C、D 四名同学为提高汉字书写能力，分成两组，每组两人进行对抗练习，请用列表法或画树状图的方法，求A与B名同学能分在同一组的概率．
解：（1）表中a的值是：a＝50－4－8－16－10＝12； （2）根据题意画图如下： （3）本次测试的优秀率是
12+10＝0.44． 50所以该校八年级汉字书写优秀的人数为800×0.44＝352人；
（4）根据题意画树状图如下：
共有12种情况，A，B两名同学分在同一组的情况有2种，
则他们同一组的概率是
21． 126 第 14 页
23．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且DM＝AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为 ．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2， ①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为 ；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形； ③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求
的
值．
（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线， ∵∠DAB＝60°AM＝2，∴AN＝ 1AM＝1，故答案为：1； 2②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB， ∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠CAB＝30°， ∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，∴AC⊥MN，AM＝A′M，AN＝A′N，∴∠AMN＝∠ANM＝60°， ∴AM＝AN，∴AM＝A′M＝AN＝A′N，∴四边形AM A′N是菱形； ③在菱形ABCD中，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∴∠BA′M＝∠DMA′＋∠ADB， ∴A′M＝AM＝2，∠NA′M＝∠A＝60°，∴∠NA′B＝∠DMA′，∴△DMA′∽△BA′N，
第 15 页
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y＝kx＋5﹣4k（k＞0）． （1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：
①当函数y＝kx＋5﹣4k为正比例函数时，点N的个数有 个；
②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．
解： （1）把B点坐标代入y＝kx＋5－4k可得，5－4k＝2，解得k＝∴直线l的解析式为y＝3， 43x＋2； 4（2）由题意可知D点坐标为（4，5）， 把x＝4代入y＝kx＋5－4k可得y＝5， ∴不论k为何值，直线l总经过点D； （3）①当函数y＝kx＋5－4k为正比例函数时可得5－4k＝0，解得k＝∴直线解析式为y＝5， 45x，则BM＝2，如图1所示， 4
第 16 页
以D为圆心BD为半径画圆，与DM有一交点，BD的垂直平分线与DM有一交点， 故满足条件的点有两个． 故答案为：2； ②∵k＞0， ∴5－4k＜5，
当5－4k＝－3时，k＝2，此时OM＝3，则MB＝5，如图2所示，
分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于点M和N1，和BD的垂直平分线交DM于点N2，故此时满足条件的N点有3个， 当k＞2时，此时MB＞5，如图3所示，
分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于N1、N2两点，BD的垂直平分线交DM于N3， 故满足条件的点有3个， ∴当k≥2时，满足条件的点有3个， 3＜k＜2时，此时0＜OB＜5，同理可得出满足条件点有两个， 43当k＝时，此时B、M重合，则满足条件的N点有0个， 43当0＜k＜时，即M在线段AB上时，同理可知满足条件的点只有一个， 4333综上可知当k≥2时，有3个；当＜k＜2时，有两个；当k＝时，有0个；当0＜k＜444当时，有1个．
第 17 页
25．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，以B为圆心、1为半径作圆，设点P为⊙B上一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA、PD、PB． （1）求证：AD＝BP；
（2）若DP与⊙B相切，则∠CPB的度数为 ；
（3）如图2，当B、P、D三点在同一条直线上时，求BD的长；
（4）BD的最小值为 ，此时tan∠CBP＝ ；BD的最大值为 ，此时tan∠CBP＝ ．
（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，∠DCP＝90°， ∴∠ACD＝∠BCP
在△ACD与△BCP中，
AC＝BC∵∠ACD＝∠BCP， CD＝CP∴△ACD≌△BCP（SAS）,∴AD＝BP；
（2）解：如图2，∵CP＝CD，DP是⊙B的切线，∠PCD＝90°， ∴∠BPD＝90°，∠ADP＝∠APD＝45°， ∴∠CPB＝45°＋90°＝135°， 同理可得：∠CPB＝45°
故∠CPB＝45°或135°； 故答案为：故∠CPB＝45°或135°；
（3）解：∵△CDP为等腰直角三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝45°，∠CPB＝135°， 由（1）知，△ACD≌△BCP，
第 18 页
∴∠CDA＝∠CPB＝135°，AD＝BP＝1， ∴∠BDA＝∠CDA－∠CDP＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝∴BD＝AC2+BC2＝2， AB2AD23；
（4）解：如图3，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值， 由（1）得△ACD≌△BCP， 此时∠PBC＝45°时，BD的最小值为1，此时tan∠CBP＝1； 同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，
由（1）得△ACD≌△BCP，BD的最大值为：AB＋AD＝AB＋BP＝3， 此时tan∠CBP＝tan135°＝－1． 故答案为：1，1，3，－1．
第 19 页
26．某公司经销农产品业务，以3万元/吨的价格向农户收购农产品后，以甲、乙两种方式进行销售，甲方式包装后直接销售；乙方式深加工后再销售．甲方式农产品的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它每吨平均销售价格y（单位：万元）与销售量m（单位：吨）之间的函数关系为y＝﹣m＋14（2≤m≤8）；乙方式农产品深加工等（不含进价）总费用S（单位：万元）与销售量n（单位：吨）之间的函数关系是S＝3n＋12，平均销售价格为9万元/吨．
参考公式：抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
2
，）
（1）该公司收购了20吨农产品，其中甲方式销售农产品x吨，其余农产品用乙方式销售，经销这20吨农产品所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）． ①直接写出：
甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为 万元； 乙方式购买和加工其余农产品所需资金为 万元； ②求出w关于x的函数关系式；
③若农产品全部销售该公司共获得了48万元毛利润，求x的值； ④若农产品全部售出，该公司的最小利润是多少．
（2）该公司现有流动资金132万元，若将现有流动资金全部用于经销农产品，
①其中甲方式经销农产品x吨，则总经销量p为 吨（用含x的代数式表示）； ②当x为何值时，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：（1）①甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为：4x万元；
乙方式购买和加工其余农产品所需资金为：3（20－x）＋3（20－x）＋12＝（132－6x）万元；
故答案为：4x，（132－6x）； ②当2≤x＜8时，
w甲＝x（－x＋14）－x＝－x2＋13x；
w乙＝9（20－x）－[12＋3（20－x）]＝108－6x ∴w＝w甲＋w乙－3×20
＝（－x2＋13x）＋（108－6x）－60 ＝－x2＋7x＋48； 当x≥8时，
w甲＝6x－x＝5x；
w乙＝9（20－x）－[12＋3（20－x）]＝108－6x ∴w＝w甲＋w乙－3×20
＝（5x）＋（108－6x）－60 ＝－x＋48．
③当2≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝48，解得x1＝7，x2＝0（不合题意）； 当x≥8时，－x＋48＝48，解得x＝0．
∴当毛利润达到48万元时，甲种方式销售7吨． ④由题意可知，当x＝8时，利润最小为40万元．
（2）设该公司用132万元共购买了m吨农产品，其中甲方式购买x吨，乙方式购买（m－x）吨，
第 20 页
则购买费用为3m万元，甲方式农产品加工成本为x万元，乙方式农产品加工成本为[12＋3（m－x）]万元， ∴3m＋x＋[12＋3（m－x）]＝132，化简得：x＝3m－60． ①当2≤x＜8时， wA＝x（－x＋14）－x＝－x2＋13x； wB＝9（m－x）－[12＋3（m－x）]＝6m－6x－12 ∴w＝wA＋wB－3×m ＝（－x2＋13x）＋（6m－6x－12）－3m ＝－x2＋7x＋3m－12． 将3m＝x＋60代入得：w＝－x2＋8x＋48＝－（x－4）2＋64 ∴当x＝4时，有最大毛利润64万元， 此时m＝6452，m－x＝； 33②当x≥8时， w甲＝6x－x＝5x； w已＝9（m－x）－[12＋3（m－x）]＝6m－6x－12 ∴w＝w甲＋w已－3×m ＝（5x）＋（6m－6x－12）－3m ＝－x＋3m－12． 将3m＝x＋60代入得：w＝48 ∴当x＞8时，有最大毛利润48万元． 综上所述，购买农产品共6452吨，其中甲方式农产品4吨，乙方式农产品吨，公司能够33获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．
第 21 页
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