维普资讯 http://www.cqvip.com 第２２卷第６期 内蒙古民族大学学报（自然科学版） Ｖ０１．２２ Ｎｏ．６ ２００７年１２月 Ｊｃｘ￣ｍｄｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｄｅｃ．２００７ 一类Ｗｉｃｋ型随机ＫｄＶ方程的白色噪声泛函解 包金山 ，宝音特古斯２ （１．内蒙古民族大学学报编辑部，内蒙古通辽０２８０４３；２．内蒙古民族大学数学与计算机科学学院，内蒙古通辽０２８０４３） ［摘要】本文研究了一类随机偏微分方程一Ｗｉｃｋ类型ＫｄＶ方程。并在Ｋｏｎｄｒａｔｉｅｖ分布空间（Ｓ）一ｌ中利用 Ｈｅｒｍｉｔｅ变换给出了Ｗｉｃｋ－类型的随机广义ＫｄＶ方程的白色噪声泛函解． （关键词】Ｗｉｃｋ一类型的随机ＫｄＶ方程；自色噪声泛函解；Ｈｅｒｍｉｔｅ变换 ［中圈分类号】０ｌ７５ ［文献标识码】Ａ ［文章编号］１６７１—０１８５（２００７）０６—０６０５—０３ ｉｔｅ Ｎｏｉｓｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｗｉｃｋ’＿’ｔｙｐｅ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＫｄＶ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＢＡｏ Ｊｉｎ—ｓｈａｎ 。Ｂａｏｙｉｎｔｅｇｕｓ２ （１．ＥｄｉｔｏｒｉａｌＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｉｔｏｎａｌｉｉｔｓｅ，Ｔｏｎｇｌｉａｏ０２８０４３。Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｆｏ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｏＣｍｐｕｔｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ。Ｉｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｓｅ。ＴｏｎｇＥａｏ ０２８０４３。Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ。ｗｅ ｒｅｓｅａｃｈ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｗｉｃｋ—ｔｙｐｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｓｐｅｃｉｌａ ｓｔｏｃｈａｓｉｃ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｗｉｃｋ—ｔｙｐｅ ｓｔｃｏｈａｓｉｃ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎ Ｋｏｎｄｒａｔｉｅｖ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ （Ｓ）一１． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｗｉｃｋ—ｔｙｐｅｄ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；Ｈｅｒｍｉｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ １ 引言 近十多年来，变系数ＫｄＶ方程的研究也引起了广大数学家和物理学家的高度关注。已有许多文献报道了相关的研究 成果［ｉ－７】．然而，实际上。波也像分子运动一样受到周围各方面的影响．因此。在随机环境下研究非线性发展方程解更具有 实际的物理意义．文章将用白色噪音分析方法和引入一些变换来给出Ｗｉｃｋ一类型的随机广义ＫｄＶ方程组的随机精确解。 其形式如下： Ｕｌ＋Ｆ（１）◇Ｕ◇Ｕｌ＋Ｇ（１）◇ 一＝０ （１） 其中。Ｆ（１）。Ｇ（１）是白色噪音泛函。◇是Ｈｉｄａ分布空间（Ｓ（Ｒｄ））。上的Ｗｉｃｋ乘【 ．现在来考虑表达式为： Ａ（１。 。ａ 。Ｖ 。Ｕ。∞）：０ （２） 的随机偏微分方程。其中Ａ为某个给定的函数，而Ｕ＝【，（￡。 。∞）则是一个未知（或广义）的随机过程。算子 ＝０／ａｚ。 Ｖ ＝（０／０ …。０／０ ，）。 ＝（ ｌ。…。Ｘｄ）∈Ｒｄ首先给出上面随机偏微分方程的Ｗｉｃｋ形式为： Ａｏ（１， ， ，Ｖ ，Ｕ， ）＝０ （３） 其次。用埃尔米特变换把公式（３）的Ｗｉｃｋ乘积变成普通的乘积。也就是： Ａ（１。 。 ，Ｖ 。Ｕ。 ｌ’ ２。…）＝０ （４） 其中Ｕ＝ｇＩ（ ）是【，的埃尔米特变换，而ｚｌ’ ２。…是复数．假定我们能找到方程Ａ（１。 。 。Ｖ 。 。 ）＝０的一个解 收箍日期：２００７—０９一ｌ２ 基金项目：国家创新基金（０５ ６２ｌｌ５ｏ０２６９） 作謇筒介：包金山（１９６６一）．男（蒙古族）．内蒙古科右中旗人．副绩审．主要从事编辑学和非线性演化方程研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com 内蒙古民族大学学报 ２００７年 ＝“（ｆ，ｚ， ），其中对某些ｇ，，．，使得 ＝（ １， ２，…）∈Ｋ口（，．），ｌｆ￣Ｋｑ（，．）＝｛ ＝（Ｚｌ，Ｚ２ ｓ＂＂）∈ｃＮ且∑ ≠。ｌ ｌ （２Ｎ）ｑａ ＜，． ｝．那么在一定的条件下。我们取其埃尔米特的逆变换Ｕ＝Ｒ－ “∈（Ｓ）一１，从而我们得到原Ｗｉｃｋ方程（３）的一个解 ． 因而，我们得到下面的定理，其详细证明见文献［７］． ’ 定理２．１ 假定“（ｔ。ｚ。 ）是方程（４）的一个解（普通强的、逐点指向的），其中（ｔ，ｚ）是在某一个Ｇ Ｒ×Ｒ 的有界 开集的元素和对某些ｑ。，．。使得 ∈Ｋ口（，．）．此外，假设“（ｔ，ｚ， ）及方程（４）中所有它的偏导对于（ｆ。ｚ， ）∈Ｇ Ｘ Ｋ。（，．） 是有界的，而对所有 ∈Ｋ口（，．）关于（ｆ。ｚ）∈Ｇ是连续的和对所有（ｆ，ｚ）∈Ｇ关于 ∈Ｋｑ（，．）连续的．所以存在Ｕ（ｔ。ｚ） ∈（Ｓ）一１对所有（ｆ，ｚ， ）∈Ｇ Ｘ Ｋ。（，．）。使得“（ｔ，ｚ， ）＝（Ｕ（ｔ，ｚ））（ ）。从而在（Ｓ）一１中用Ｕ（ｔ，ｚ）来解方程（３）（在 （Ｓ）一１中是强指向的）． 下面利用埃尔米特变换方法和以下变换求解方程（１）的精确解．首先对方程（１）取埃尔米特变换得 ＋ （ｆ， ） ＋ （ｆ， ） 一＝ｏ （５） 其中 ＝（ １， ２，…）∈（ｃ ） 是向量参数．为了简便起见：令ｆ（ｆ。 ）＝Ｆ（ｔ， ）， （ｆ， ）＝Ｇ（ｔ， ）， ＝“方程 可以写为：“ｔ＋Ｆ（ｔ， ）““ ＋Ｇ（ｔ， ）“一＝０ （６） 首先引入以下变换： “＝ ， ＝Ａｏ（ｆ， ）ｚ＋Ａ（ｆ， ） ， ＝ｙ（Ｄ， ＝，（ｆ， ）＋ｇ（ｆ， ） 令 则有：“ Ａｏ（ｆ・ ）ｚ＋Ａ（ｆ， ）（ 一 ）（ｆ・ ）． Ｏｕ“ｔ＝ ＝Ａｏｔ（ｔ， ）ｚ＋Ａｔ（ｔ， ）（ ｙ）ｆ（ｔ。 ）＋Ａ（ｔ， ）（ 一ｙ）ｆｔ（ｔ， ） ＋Ａ（ｔ， ）（２ｙ一１）ｆ（ｔ， ）（ 一Ｙ）［ （ｔ， ）一ｇ （ｆ， ）］． ａｕ“ ＝ ＝Ａ（ｔ， ），（ｆ， ） （２ 一１）（ｙ２一 ） “一＝ ＝盹 ， （２４ｙ。一３６ｙ ＋１４ｙ一１）（ｙ２一 ）． 把上式代入（６）。得： Ａｏｔ（ｆ。 ）ｚ＋Ａｔ（ｆ， ），（ｔ， ）（ ２一Ｙ）＋Ａ（ｔ， ） （ｔ。 ）（ ２一Ｙ）＋Ａ（ｔ， ），（ｔ，ｚ）（２ｙ一１）（ ２一 ）（ （ｔ， ） ＋ｇｔ（ｔ。 ），（ｔ， ）＋Ｆ（ｔ， ）［Ａｏ（ｔ， ）＋Ａ（ｔ， ）（ｙ２一 ），（ｔ， ）］尸（ｔ，ｚ）Ａ（ｔ， ）（２ｙ一１）（ 一Ｙ） ＋Ｇ（ｔ。ｚ）Ａ（ｔ， ），（ｔ， ）‘（２４．ｙＳ一３６ｙ２＋１４ｙ一１）（ 一Ｙ）＝０ 由上式得到：Ａｏ （ｔ， ）＝０，Ａｏ（ｔ， ）＝ｃ１，而ｃ１为常数． （ｔ。 ）＝０，ｆ（ｔ， ）＝ｃ，而ｃ为常数． 盹 一１２ｆ 碧， 则令 ， 碧＝忌 （ｔ。 ）＝一Ｇ（ｔ，ｚ）ｆ（ｔ。 ）。 则得到方程（６）的解： “１（川， ）＝Ａ。＋（一１２ｋｆ２）（ 一南） ＝Ａｏ＋（３ｈＪａ）ｔａｎｈ。（ Ａｔ ） （７） 其中。 ＝，（ｆ， ）ｚ＋ｇ（ｆ。 ）＝ｃｚ—ｃ。Ｉ Ｇ（ｚ，ｚ）ｄｓ 令 ＝ １，则得到方程（６）的解：“２（ｚ，ｆ， ）＝Ａｏ＋（１２．酽）吉 （８） 其中， ＝，（ｆ， ）ｚ＋ｇ（ｆ， ）＝血一ｃ。Ｉ Ｇ（ｓ，ｚ）ｄｓ，令Ｙ＝ｔａｎ 则得到方程（３）的解： “３（ｚ，ｔ， ）＝Ａｏ一１２皇严ｔｈＺ￥ （９） 其中，ｃｏ＝Ａｏ（ｆ， ）＋Ａ（ｆ，ｚ）ｆ（ｆ， ）。 ＝，（ｆ， ）ｚ＋ｇ（ｆ。 ）＝ｃＩ—ｃ。Ｉ Ｇ（ｓ，ｚ）ｄｓ，接下来对方程（１）的系数作如 下约定： 假设Ｇ＝ｈ（ｔ）＋ａＷ（ｔ），其中Ｗ（ｔ）是高斯白色噪音而Ｂ（ｔ）是布朗运动。它们有ｗ（ｔ）＝Ｂ（ｔ）／３（ｔ）的关系．因此， 它们的埃尔米特变换为和Ｇ＝ （ｒ， ）＝＾（ｒ）＋ｎ （ｒ， ），这里ｎ为任意常数。而 （ｒ， ）＝∑田＝ｌｊ 玑（ｓ）ｄ ｔ．为了 维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 包金山等：一类Ｗｉｃｋ型随机ＫｄＶ方程的白色噪声泛函解 ６０７ 得到方程（１）的随机精确解。给出条件（口）：假设（ｔ。 ）是属于一个有界开集Ｇ Ｃ２２＋×Ｒ的元素。对某些ｑ＞０。，．＞０的所有 ∈Ｋｔ（，．）。使得Ｆ（ｔ， ）。Ｇ（ｔ。 ）满足 （ｔ。 ）和在方程（５）中所有偏导对（ｔ。 ）∈Ｇ×Ｋ口（，．）是一致有界。对所有 ∈ Ｋｔ（，．）关于（ｔ。 ）∈Ｇ是连续的。对所有（ｔ。 ）∈Ｇ关于 ∈Ｋｔ（，．）是分析的．由（口）：定理２．１隐含存在Ｕ（ｔ。 ）∈（Ｓ）一１ 对于所有（ｔ。 。 ）∈Ｇ×Ｋ。（，．）。使得 （ｔ。 。 ）＝（瘦Ｕ（ｔ。 ））（ ）。由上面我们知道。ｔｒ（ｔ。 ）是 （ｔ。 。 ）的逆埃尔米 特变换．因此。由ｔｒ（ｔ。 ）解方程（１）．又因为ｆ‘Ｂ（ｔ） （ｔ）ｄｔ：ＩＢ２（ｔ）一 １ ｔ｝（见文献［７］的引理２．６．１６）．从而得到方程 （１）的随机精解如下： Ｕ１（ ，ｔ）＝Ａ。十（一ａ／ｋｊａ）（南一 ： ＝Ａｏ十３ｋｆ￣ｔｓｎｈ （÷季） （１０） 其中。季：，（ｔ。 ） 十ｇ（ｔ。 ）：“一ｃ。［ Ｊｌ（ｓ）ｄｓ十口１Ｂ （ｔ）一 Ｕ２（ 。ｔ）＝Ａｏ十（１２屯严）吉］ （１１） 其中。｛：，（ｔ。 ） 十ｇ（ｔ。 ）：“一ｃ。［ Ｊｌ（ｓ）ｄｓ十口１Ｂ （ｔ）一 ］ ｕ３（ 。ｔ）＝Ａｏ一１２皇严ｔｈ２季 （１２） 其中。季＝，（ｔ。 ） 十ｇ（ｔ。 ）＝“一ｃ。［ Ｊｌ（ｓ） 十ｎ１Ｂ （ｔ）一竽］ ｏ＝Ａｏ（ｔ。 ）十Ａ（＃。 ），（ｔ， ）． ２ 结束语 ２．１ 文章用埃尔米特变换和引入一些变换来研究Ｗｉｃｋ一类型随广义ＫｄＶ方程。得到一些随机精确解．这些方法可以求出 一大类随机非线性演化方程的随机精确解。也可以推广应用到更复杂的有物理背景的随机非线性演化方程．另外。这些方 程也可以用别的方法进行研究而得到别的随机解． ２．２ 在方程（１）中若ｗｉｃｋ一类型乘◇变成普通乘积。那么方程（１）则变成所熟悉的变系数广义ＫｄＶ方程。即 ｌ‘‘十，（ｔ）ｌ‘ｌ‘‘十ｇ（ｔ）ｌ‘一＝０ 其中，（ｔ）。ｇ（ｔ）是关于ｔ的函数㈣． ２．３ 此外在求解过程中发现Ｐｏｋ￣ｎ白色噪声空间与Ｗｉｅｎｅｒ白色噪声空间之间存在单一映射关系。Ｐｏｉ ｍ随机偏方程的 解可以把这一映射到高斯随机偏方程的解而求出．这简便精确的连续是由Ｂｅｎｔｈ等给出的。也可以见文献［７］的４．９节的论 述． 参考文献 ［１ ７Ａｂｌｏ￣ｔｚ Ｍ Ｊ。ａａｒＩ【８０ｎ Ｐ Ａ。 ｔｏｎｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ［Ｍ］．ＣｅｍｌＭｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｔ￣ｔｙ Ｐｒｅｓｓ。１９９１． ［２］楼森宇。阮航字．变系数ＫｄＶ方程和变系数ＭＫｄＶ方程的无穷多守衡律［Ｊ］．物理学报。１９９２。４ａ（／）：１８２—１８７． ［３ ７ＬｉｎＸＱ．Ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔＫｄＶ ａｎｄＳＧｔｙｐｅ ｅ，ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．ＪｃＵ。１９９８。１３Ｂ－２５—３０． ［４］闫振亚。张鸿庆．具有３个任意函数的变系数ＫｄＶ—ＭＫｄＶ方程的精确类孤子解［Ｊ］．物理学报。１９９９。４８（１１）：１９５７ —１９６１． ［５］张解放。陈芳跃．珙断展开方法和广义变系数ＫｄＶ方程的精确类孤子解［Ｊ］．物理学报。２００１。５ｏ（９）：１６４８—１６５０． ［６］李得生。张鸿庆．改进的ｔａｆｌｈ函数与广义变系数ＫｄＶ和ＭＫｄＶ方程的斯的精确解［Ｊ］．物理学报。２ｏｏ３。５１（７）：１５６９ —１５７３． ［７７Ｈｏｌｄｅｎ Ｈ。￣ｅｎｄａｌＢ。Ｕｂ Ｉ。Ｚｈａｎｇ Ｔ．Ｓｔｏｄ￣ｔｌｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅ，ｑｕａｔｉｏｔｌｓ［Ｍ］．Ｂｉｒｈ妇ｕｓｅｒ。１９９６． ［８］张金良。胡晓敏。王明亮．变系数ＫｄＶ方程组Ｂａｄｄ ｔｈｄ变换及其精确解［Ｊ］．杭州电子工业学院学报。２００２。ｚｚ（１）： ５９—６１． （责任编辑郑瑛）