第五章 平面向量 第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：
一、开场白：课本P93（略）
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 A B 二、 提出课题：平面向量
1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量
等
注意：1数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法： a B 1几何表示法：点—射线 （终点） 有向线段——具有一定方向的线段 A(起点) 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
2字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3． 模的概念：向量AB的大小——长度称为向量的模。 A B 北 记作：|AB| 模是可以比较大小的
4． 两个特殊的向量：
1零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别
2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：AB与BA是否同一向量？
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a∥b∥c 规定：0与任一向量平行
2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
a b c 记作：a=b 规定：0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
C O B A
OA=a OB=b OC=c
例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）
四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1
第二教时
教材：向量的加法
目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向
量计算。 过程：
六、复习：向量的定义以及有关概念
强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、 提出课题：向量是否能进行运算？
5．某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：ABBCAC
A B C
6．若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：ABBCAC 7．某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：ABBCAC 8．船速为AB，水速为BC， 则两速度和：ABBCAC
提出课题：向量的加法
A B
三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： a a a C b b
a+b a b a+b a+b
A
A C C A B B 强调： B 1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2可以推广到n个向量连加 3a00aa
4不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量a、b，求作向量a+b 作法：在平面内取一点， 作OAa ABb 则OBab
a b O
b
a a A b
A B
C
C A B C
4．加法的交换律和平行四边形法则
B
上题中b+a的结果与a+b是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：a+b=b+a 9．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
证：如图：使ABa, BCb, CDc
a+b+c b+c a+b a b c
C
D A
则(a+b) +c=ACCDAD a+ (b+c) =ABBDAD ∴(a+b) +c=a+ (b+c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略
五、小结：1向量加法的几何法则 2交换律和结合律
3注意：|a+b| > |a| + |b|不一定成立，因为共线向量不然。 六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
第三教时
教材：向量的减法
目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：
八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
D C 例：在四边形中，CBBABACD 解：CBBABACBBAADCD
九、 提出课题：向量的减法
A B
1．用“相反向量”定义向量的减法
1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0 3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
a 作法：在平面内取一点O， a O 作OA= a, AB= b 则BA= a b
b
B b
ab
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意：1AB表示a b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
B’ B a b a+ (b)
b a O A
b b
4．a∥b∥c B a b = a + (b) a b
a ab ab O B A A B’ O B
b
ab a ab
A O b A b B B O 十、例题：
例一、（P101 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。 解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD= d, 作BA, DC, 则BA= ab, DC= cd
A a b
d c O C
D C B
D 例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得：
AC= a + b, DB= ABAD = ab
A B
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直） 变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 十一、 小结：向量减法的定义、作图法| 十二、 作业： P102 练习
P103 习题5.2 4—8
第四教时
教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》、65、66课
目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：
十三、 复习：
1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量
2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 十四、 1．处理《教学与测试》P135—136 第课 （略）
2．处理《教学与测试》P137—138 第65课
例一、设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”，
则a + b表示向东北走32km 解：OB= OA+AB
OB323232(km)
B
a+b b
O a A 例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证：由向量加法法则： D C AB= AO+OB, DC= DO+OC 由已知：AO=OC, DO=OB
A B
O ∴AB=DC 即AB与CD平行且相等 ∴ABCD为平行四边形
例三、在正六边形中，若OA= a, OE= b，试用
向量a、b将OB、OC、OD表示出来。 O P C
解：设正六边形中心为P
则OBOPPB(OAOE)OAa + b + a E F A B OCOPPC a + b + a + b
由对称性：OD= b + b + a
3．处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略）
十五、 有时间可处理“备用题”：
例一、化简ABDFCDBCFA
解：ABDFCDBCFA= ABBCCDDFFA =ACCDDFFA=ADDFFA=AFFA= 0
例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果
船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ D C 解：如图：船航行的方向是
与河岸垂直方向成30夹角，
下游 上游 即指向河的上游。
30
十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）
A B
第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a+a+a和(a)+(a)+(a)
a a O N a aA M a aB Q a aC P OC=OAABBC=a+a+a=3a
PN=PQQMMN=(a)+(a)+(a)=3a
讨论：13a与a方向相同且|3a|=3|a|
23a与a方向相反且|3a|=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积
实数λ与向量a的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
1|λa|=|λ||a|
2λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0
3．运算定律：结合律：λ(μa)=(λμ)a ①
第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②
第二分配律：λ(a+b)=λa+λb ③ 结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，a0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|
|(λμ)a|=|λμ|| a|=|λ||μ||a|
∴|λ(μa)|=|(λμ)a|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa)=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ0，μ0，a0
当λ、μ同号时，则λa和μa同向，
∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a| |λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向
即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向
还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a0，b0且λ0，λ1时
1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
B 作OAa ABb OA1λa A1B1λb 则OBa+b OB1λa+λb
O A
B1
A1
由作法知：AB∥A1B1有OAB=OA1B1 |AB|=λ|A1B1| ∴|OA1||OA||A1B1||AB|λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴|OB1||OB|λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|λOB| OB1与λOB方向也
相同
λ(a+b)=λa+λb
当λ<0时 可类似证明：λ(a+b)=λa+λb A1 ∴ ③式成立
4．例一 （见P104）略
B1
O B A 三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1．若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa 则由实数与向量积的定义
知：a与b为共线向量
若a与b共线(a0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa
当a与b反向时b=μa
从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
使b=λa
2．例二（P104-105 略） 三、小结：
四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2
第六教时
教材：平面向量基本定理
目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；
或一个向量分解为两个向量。
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
——提出课题：平面向量基本定理
三、新授：1．(P105-106)e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量
e1 a MC
N B e2
O
OA=e1 OM=λ1e1 OC=a=OM+ON=λ1e1+λ2e2
OB=e2 ON=λ2e2
得平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2
注意几个问题：1 e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2 这个定理也叫共面向量定理
3λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
2．例一( P106例三)已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2。
作法：1 取点O，作OA=2.5e1 OB=3e2
CBe2 A 2 作 OACB，OC即为所求+ e1N O AD=b，例二、(P106例4)如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，
用a，b表示MA，MB，MC和MD
解ABCD中 b D C：在
∵
A AC=AB+ADa =a+b B
DB=ABAD=ab
∴
1111MA=AC=(a+b)=ab
22221111111MB=DB=(ab)=ab MC=AC=a+b
2222222M
111MD=MB=DB=a+b
222例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点， 求证：OA+OB+OC+OD=4OE 证：∵E是对角线AC和BD的交点 ∴AE=EC=CE BE=ED=DE
A D O E B C
在△OAE中 OA+AE=OE
同理：OB+BE=OE OC+CE=OE OD+DE=OE 以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE
例四、(P107 例五)如图，OA，OB不共线，AP=tAB (tR)用OA,OB表示OP 解：∵AP=tAB ∴
P OP=OA+AP=OA+ tAB
O A B =OA+ t(OBOA)
=OA+ tOBtOA
=(1t) OA+ tOB
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课 目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本
定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，
第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实
质）
二、处理《教学与测试》
1．当λZ时，验证：λ(a+b)=λa+λb
证：当λ=0时，左边=0•(a+b)=0 右边=0•a+0•b=0 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有： n(a+b)=(a+b)+(a+b)+…+(a+b)
=a+a+…+a+b+b+b+…+b=na+nb
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(a+b)=n[(a+b)]=n[(a)+(b)]=n(a)+n(b)=na+(nb)=n
anb
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(a+b)=λa+λb恒成立 。
2．如图，在△ABC中，AB=a, BC=b AD为边BC的中线，G为△
ABC的重心，求向量AG
11 解一：∵AB=a, BC=b 则BD=BC=b
22A 12∴AD=AB+BD=a+b而AG=AD
23a 21∴AG=a+b
33b D CB
解二：过G作BC的平行线，交
AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
A 22AB=a AE=33a E
Gb D
F
B
C
11 EG=EF=b
2321 ∴AG=AE+EG=a+b
33 3．在 ABCD中，设对角线AC=a，BD=b试用a, b表示AB，BC 111 解一：AO=OC=a BO=BD=b
22211D ∴AB=AO+OB=AOBO=ab
2211 BC=BO+OC=OC+BO=a+b
22A 解二：设AB=x，BC=y
22EF=BC=b
33CO B
1则AB+BC=AC x+y=a ∴ x=(ab)
2x ADAB=BD y=b
1y=(a+b) 211 即：AB=(ab) BC=(a+b)
22 4．设e1, e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,
CD=2e1e2, 若三点A, B, D共线，求k的值。
解：BD=CDCB=(2e1e2)(e1+3e2)=e14e2
∵A, B, D共线 ∴AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD
2即2e1+ke2=λ(e14e2) ∴ ∴k=8
k45．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB
中点，设AD=a, AB=b，试以a, b为基底表示DC, BC, MN
11 解：DC=AB=b
22连ND 则DC╩ND
∴
D NM O MCA B
1BC=ND=ADAN=ab
2 又11DM=DC=b
24 ∴
MN=DNDM=CBDM=BCDM
：
111=(a+b)b=ba
2446．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？ 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
|OP|=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30 ∴|OP1|=|OP|cos60=1•
1=0.5 (kg) 230 60 P1 |OP2|=|OP|cos30=1•
3=0.87 (kg) 2P2 P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。 过程：一、复习：1．复习向量相等的概念
O y
A
C
自由向量
OA=BC
B a x 2．平面向量的基本定理（基底） a=λ
1e1+λ2e2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不
共线向量的线性组合。 二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，
记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标
如：=OA=(2, 2) i=(1, aA
0)
c O y
a b B bx =OB=(2, 1)
j=(0, 1)
C c=OC=(1, 5)
j=(0, 0)
2．注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2设A(x1, y1) B(x2, y2) 则AB=(x2x1, y2y1) 3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐标运算
1．问题：1已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，ab的坐标
2已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标
2．解：a+b=(x1i+y1j)+( x2i+y2j)=(x1+ x2) i+ (y1+y2) j
即：a+b=(x1+ x2, y1+y2) 同理：ab=(x1 x2, y1y2)
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵AB=OBOA=( x2, y2) (x1, y1)
O
A(x1,y1)
y B(x2,y2)
x 4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y) 实数λ
= (x2 x1, y2 y1)
则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj
∴λa=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 四、例二（P110例二）
例三（P111例三）
例四（P145例一）已知三个力F1 (3, 4), F2(2, 5), F3(x, y)的合力
F1+F2+F3=0 求F3的坐标。
解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
32x0x5即： ∴ ∴F3(5,1)
45y0y1例五、已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例三得：D1=(2, 2) 当平行四边形为ACDB时，
仿例三得：D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时，
仿上得：D3=(6, 0)
D3 B D1 A O x y C D2 五、小结：1．向量的坐标概念 2．向量运算 六、作业：P112 练习 1—3 习题5.4 1—6
第九教时
教材：向量平行的坐标表示
目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且
能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145
例三)
2．平面向量的坐标运算法则
1 练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 MPMN, 求P点的坐标；
2
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=
11(-8, 1)=(-4, ) 224x13x313 ∴ ∴P点坐标为(-1, -) y2y2222．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB2BC=(-3,-3) 3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵AB=(-2, 3) DC=(-4, 6) ∴AB=2DC ∴AB∥DC 且 |AB||DC| ∴四边形ABCD是梯形
二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b=λa，那
么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
2．推导：设a=(x1, y1) b=(x2, y2) 其中ba
xx2由a=λb (x1, y1) =λ(x2, y2) 1 消去λ：
y1y2x1y2-x2y1=0 结论：a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵b0
∴x2, y2中至少有一个不为0 2充要条件不能写成
y1y2 ∵x1, x2有可能为0 x1x23从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)三、应用举例
例一（P111例四） 例二（P111例五）
例三 若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x
ab
x1y2x2y10解：∵a=(-1,x)与b=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0
∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2
例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量AB与CD平行吗？直线AB
与平行于直线CD吗？
解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD=(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD
又：AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB=(2, 4) 2×4-2×60 ∴AC与AB不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD 2．证明下列各组点共线：1 A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
3．已知向量a=(-1,3) b=(x,-1)且a∥b 求x 五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示） 六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9
《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题
第十教时
教材：线段的定比分点
目的：要求学生理解点P分有向线段P1P2所成的比λ的含义和有向线段的定比
分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则 2．向量的坐标运算 二、提出问题：线段的定比分点
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 P1P=λPP2 λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：
P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2 λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ
<0 (-1<λ<0)
2．定比分点公式的获得：
设P1P=λPP2 点
P2 P1, P, P2坐标为P (x1,y1) (x,y) (x2,y2)
P1 O
由向量的坐标运算
P1P=(x-x1,y-y1) PP2=( x2-x1, y2-y1)
∵P1P=λPP2 (x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
xxx1(x2x) ∴ yy(yy)12yx1x21定比分点坐标公式 y1y21xx2x1
2 3．中点公式：若P是P1P2中点时，λ=1 yy2
y1
2
4．注意几个问题：1 λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在
2 中点公式是定比分点公式的特例
13 始点终点很重要，如P分P的定比λ= 则P分P2PP121的定比λ=2 24 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
三、例题：例一 (P114例一) 知三求一 例二 (P114例二) △重心公式
例三 若P分有向线段AB的比为，则A分BP所成比为（作示意图） 例四 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标
解：当P
P1 =3 内分P1P2时 λ• 3473
O PP时λ=-3 当P外分12• P P2 • • P’ 当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)
例五 △ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D,
求D点坐标
解：∵AD平分角BAC
|AC|=26210 |AB|=(3)292310 ∴D
2分向量CB所成比λ=
322B D C A
322(2)7103341 1 y2251133设D点坐标(x, y) 则 x∴D点坐标为：(1,
41) 、小结：定比分点公式，中点公式 五、作业：P115-116 练习 习题5.5
第十一教时
教材：平面向量的数量积及运算律
目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。 过程：
十七、 复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。 但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
F 十八、 导入新课：
5．力做的功：W = |F||s|cos s 是F与s的夹角
6．定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos， 并规定0与任何向量的数量积为0。
C 7．向量夹角的概念：范围0≤≤180
A B A A = 0 A
B O B A B O O = 180 O O B B O A C 8．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积
a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，
且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。
4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA| a bc = |b||c|cos = |b||OA| c ab=bc 但a c b 5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) O A 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，
而一般a与c不共线。
9．例题、P116—117 例一 （略）
十九、 投影的概念及两个向量的数量积的性质：
1．“投影”的概念：作图 BBB O O O b b b O(B)a A A OA a 1a BO1B1 O O
O O O O 叫做向量b在a方向上的投影。 定义：|b|cos
注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 2．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。 3．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1ea = ae =|a|cos 2ab ab = 0
3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|。
特别的aa = |a|2或|a|aa 4cos =
ab |a||b| 5|ab| ≤ |a||b| 二十、 例题：《教学与测试》P151 第72课 例一（略） 二十一、 小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影 二十二、 作业： P119 练习
习题5.6 1—6
第十二教时
教材：平面向量的数量积的运算律
目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。 过程：
二十三、 复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2．判断下列各题正确与否：
1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。 ( √ ) 2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0。 ( × ) 3若a 0，ab = 0，则b = 0。 ( × ) 4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( × ) 5若a 0，ab = ac，则b = c。 ( × ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立。 ( × ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( × ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( √ ) 二十四、 平面向量的运算律
10． 交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos ∴a b = b a
11． (a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos， a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos。 12． (a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作OA= a, AB= b，OC= c， A ∵a + b （即OB）在c方向上的投影
a 2 b B 等于a、b在c方向上的投影和， 1 即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 O Ac B ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2
∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
13． 例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略） 二十五、 应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）
例一、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直， a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2
C
abb21 设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60 |a||b|2|b|22
例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解：如图： ABCD中：ABDC，ADBC，AC=ABAD ∴|AC|=|ABAD|ABAD2ABAD 而BD=ABAD
∴|BD|2=|ABAD|2ABAD2ABAD ∴
|
AC222222D C
A B
|
2
+ |BD|
2
= 2AB2AD22=
|AB|2|BC|2|DC|2|AD|2
二十六、 小结：运算律 二十七、 作业： P119 习题5.6 7、8 《教学与测试》P152 练习
第十三教时
教材：平面向量的数量积的坐标表示
目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 过程：
二十八、 复习：
1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：
二十九、 课题：平面两向量数量积的坐标表示
14． 设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j， 则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0 15． 推导坐标公式：
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2
从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2
例一、设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求ab
解：ab = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2 16． 长度、角度、垂直的坐标表示
1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =x2y2
2若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则AB=(x1x2)2(y1y2)2
3 cos =
ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222
4∵ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）
17． 例二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。
证：∵AB=(21, 32) = (1, 1), AC= (21, 52) = (3, 3) ∴ABAC=1×(3) + 1×3 = 0 ∴ABAC
∴△ABC是直角三角形
三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课
例三、已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x。 解：设x = (t, s)，
由xa = 9 3t s = 9 t = 2
由xa = 9 3t s = 9 s = 3 ∴x = (2, 3)
例四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，
求点B和向量AB的坐标。
解：设B点坐标(x, y)，则OB= (x, y)，AB= (x5, y2) O ∵OBAB ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0 又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
73xxxy5x2y02212或 由
3710x4y29y1y22222B A 73373773 ∴B点坐标(,)或(,)；AB=(,)或(,)
22222222例五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值。
解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =3 2 当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
11 3313 2 当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
四、小结：两向量数量积的坐标表示
长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业： P121 练习及习题5.7
《教学与测试》P1 5、6、7、8，思考题
第十四教时
教材：平移
目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题。
过程：
三十、 平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，
从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）
三十一、 平移公式的推导：
18． 设P(x, y)是图形F上的任意一点，它在平移后的 a F’ 图象F’上的对应点为P’(x’, y’)——
P’ P a 可以看出一个平移实质上是一个向量。
F 19． 设PP'= (h, k)，即：OP'OPPP'
O a x'xh ∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k) ∴ —— 平移公式 y'yk20． 注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系
2知二求一
3这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点
P’(x’, y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，即：
x'xh。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样y'yk的，
这两个公式作用是一致的。 三十二、 应用：
例一、（P121 例一）
1．把点A(2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A’的坐标(x’, y’)。 2．点M(8, 10)按a平移后对应点M’的坐标为(7, 4)，求a。
x'231 解：1．由平移公式： 即对应点A’的坐标为(1, 3)
y'12378hh15 2．由平移公式：即a的坐标为(15, 14) 410kk14例二、将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到l’，求l’的函数解析式。
解：设P(x, y)为l上任一点，它在l’上的对应点为P’(x’, y’) x'x0xx' 由平移公式： y'y3yy'3a P 代入y = 2x得：y’ 3 = 2x’ 即：y’ = 2x’ + 3
按习惯，将x’、y’写成x、y得l’的解析式：y = 2x + 3 O （实际上是图象向上平移了3个单位）
P 例三、已知抛物线y = x2 + 4x + 7，
1．求抛物线顶点坐标。
2．求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。
解：1．设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点O’坐标为(h, k) 则h = 2, k = 3 ∴顶点O’坐标为(2, 3)
3．按题设，这种平移是使点O’ (2, 3)移到O(0, 0)，
m0(2)2设O'O= (m, n) 则
n033设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点，对应点P’为(x’, y’)
x'x2xx'2则 代入y = x2 + 4x + 7得：y’ = x’2 y'y3yy'3即：y = x2
三十三、 小结：平移公式、应用 三十四、 作业： P123 练习 P124 习题5.8
第十五教时
教材：平面向量的数量积平移的综合练习课
目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。
过程：
三十五、 复习：
1．平面向量数量积的定义、运算、运算律
2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 三十六、 例题
例一、a、b均为非零向量，则 |a+b| = |ab| 是 的………………（C） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若|a+b| = |ab| |a+b|2 = |ab|2 |a|2 + 2ab + |b|2 = |a|2 2ab + |b|2 ab = 0 ab
例二、向量a与b夹角为，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b||ab|的值。
3
解：|a+b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos
+ 1 = 7 3 ∴|a+b| =7, 同理：|ab|2 = 3, |ab| =3 ∴|a+b||ab| =21 例三、 ABCD中，AB= a，BC= b，CD= c，DA= d，
且ab = bc = cd = da，问ABCD是怎样的四边形？
解：由题设：|a||b|cosB = |b||c|cosC = |c||d|cosD = |d||a|cosA ∵|a| = |c| , |b| = |d| ∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0 ∴ ABCD是矩形
例四、 如图△ABC中，AB= c，BC= a，CA= b，
b C a 则下列推导不正确的是……………（D） A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
cB A B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．ab = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角 B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例五、 已知：|a| =2，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹
角为锐角的的取值范围。
解：由题设：ab = |a||b|cos = 3×2×
2= 3 2 (a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)ab = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0 ∴ 11851185或 66例六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量， 且AB= 4i + 2j，AC=3i + 4j，
证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。
解：AB= (4, 2), AC= (3, 4), 则BC= (34, 42) = (1, 2), BA= (4, 2), ∴BABC= (1)×(4) + (2)×2 = 0 ∴BABC 即△ABC是直角三角形
|AB| =422225, |BC| =(1)2(2)25, 且B = 90,
12555 2例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 ∴S△ABC =
证：设AB=DC= a , AD=BC= b ∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
A
a D C
b B ∴ACBD= (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0 ∴ACBD
例八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直， a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2
abb21 设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60 2|a||b|2|b|2三十七、 作业： P150 复习参考五 A组 19—26
B组 1—6
第十六教时
教材：续第十五教时 《教学与测试》第74、75课 目的：同第十五教时 过程：
三十八、 处理《教学与测试》第74、75课 （略） 三十九、 补充例题（视教学情况选用）：
21． a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时， 1求t的值 2求证：b与a + tb垂直 解：1 |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
∴当t =2abab时, |a + tb|最小 2|b|2|b| 2 ∵b•(a + tb) = a•b |b|2ab= 0 ∴b与a + tb垂直 |b|A E F H C
22． 如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H，
AB= a, AC= b, AH= h,
则BH= h a , CH= h b , BC= b a B
D
∵BHAC, CHAB ∴
(ha)b0(ha)b(hb)ah(ba)0
(ha)a0∴AHBC
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点 23． 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 |OA| + |BC| = |OB| + |CA| = |OC| + |AB|， 求证：ABOC
证：设OA= a, OB= b, OC= c,
B O C
2
2
2
2
2
2A 则BC= c b, CA= a c, AB= b a
由题设：OA2 +BC2 =OB2 +CA2 =OC2 +AB2， 化简：a2 + (c b)2 = b2 + (a c)2 = c2 + (b a)2 得： c•b = a•c = b•a
从而AB•OC= (b a)•c = b•c a•c = 0 ∴ABOC 同理：BCOA, CAOB
四十、 作业： 《教学与测试》P156 4—9 P158 4—7
第十七教时
教材：正弦定理
目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。 过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角
函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定
理
二、1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：
sinA= sinB= sinC=1 即： c=
abcabc c= c= ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinCacbcA b C c B
a 2．能否推广到斜三角形？
证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
S△ABC=absinCacsinBbcsinA
1abc 两边同除以abc即得：==
2
121212sinAsinBsinC 3．用向量证明：B
j A
CB
j A C
证二：过A作单位向量j垂直于AC
AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j j•(AC+CB)=j•
AB
则：j•AC+j•CB=j•AB
∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A) ∴asinCcsinA ∴
ac= sinAsinCcbabc= ∴== sinCsinBsinAsinBsinC同理：若过C作j垂直于CB得：
当△ABC为钝角三角形时，设 A>90 过A作单位向量j垂直于向量AC 4．突出几点：1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦
比相等，即：
abc==它适合于任何三角形。 sinAsinBsinCabc===2R （R为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC 2可以证明
3 每个等式可视为一个方程：知三求一 三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 例一、在△ABC中，已知c10 A=45 C=30 求b（保留两个有效数字） 解略 见P128 注意强调“对”
例二、在△ABC中，已知a20 b=28 A=40 求B (精确到1)和c（保
留
两个有效数字） 解略 见P129 注意由
ab=求出sinB=0.99 B角有两解 sinAsinB
例三、在△ABC中，已知a60 b=50 A=38 求B (精确到1)和c（保留
两个有效数字）
解略 见P129 注意由b b C a A b B2 a C a B1 A b C a C b a B bsinAab A A Bc absinA B ab ab 一解 两解 一解 五、作业：P131练习1、2 P132 1、2、3 第十八教时 教材：余弦定理 目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。 过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。 提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？ 2．在Rt△ABC中(若C=90)有：c2a2b2 在斜 三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 二、提出课题：余弦定理 1．余弦定理的向量证明： 设△ABC三边长分别为a, b, c AC=AB+BC A b a c B C AC•AC=(AB+BC)•(AB+BC)=AB2+2AB•BC+BC2 =| AB|2+2| AB| •| BC|cos(180- B)+|BC|2=c22accosBa2 即：b2a2c22accosB 同理可得：a2b2c22bccosA c2a2b22abcosC 2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍。 3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2知三求一 3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） 4变形： a2b2c2cosC 2acb2c2a2cosA2bc a2c2b2cosB 2ac三、余弦定理的应用 能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边 例一、(P130例4) 在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6 求A,B,C（精确到期 1） 解略 例二、(P131例5) 在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=8228’解这个三角 形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’） 解略 例三、设a=(x1, y1) b=(x2, y2) a与b的夹角为 （0≤≤），求证： x1x2+ y1y2=|a||b|cos 证：如图：设a, b起点在原点，终点为A，B 则A=(x1, y1) B=(x2, y2) AB=ba A 在△ABC中，由余弦定理 222 |ba|=|a|+|b|2|a||b| cos B b O a ∵|ba|2=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2 222 |a|=x1+y1 |b|2= x22+y22 ∴(x2-x1)+( y2-y1) 22 = x12+y12+ x22+y222|a||b| cos ∴x1x2+ y1y2=|a||b|cos 即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos 四、小结：余弦定理及其应用 五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分 第十九教时 教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课 目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。 过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在△ABC中 圆半径 证略 见P159 注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明) 2.正弦定理的三种表示方法(P159) 例 二 在 任 一 △ ABC 中 求 证 ： abc===2R，其中R是三角形外接sinAsinBsinCa(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 证：左边 =2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB) = 2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边 例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c
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