距离 (1)

兴义市天赋中学数学必修二教案：

9．8距离 (1)

教学目的：

1.掌握掌握点与平面、直线与平面、平面与平面间距离的概念，并能进行相互转化，通过解三角形知识求出它们的距离 2.培养学生辩证观，简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化1.了解距离的定义； 3.弄清点到平面、平行直线到平面、平行平面之间的距离的定义； 3.了解以上三种距离的关系和相互转化，并会求这三种距离 教学重点：点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法 教学难点：点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算 这一节要求学生掌握直线和平面、平面和平面的距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的距离了解异面直线距离的概念和计算 在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程：

一、复习引入：

1 两个图形F1与F2之间距离的概念：

图形F1内的任一点与图形F2内的任一点间的距离中的最小值叫做图形F1与F2之间距离 如：一直线和一平面相交，这条直线到这个平面的距离等于多少？

两个相交平面的距离是多少？ 二、讲解新课：

1.点到平面的距离：

已知点P是平面外的任意一点，过点P作PA，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P到平面的距离 即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点P与内一点所得的线段中，垂线段PA最短 P ABl

BA

CD

2.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离) 如果一条直线l平行与平面,则直线l上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的距离相等；垂线段小于或等于l上任意一点与平面内任一点间的距离； 3．两个平行平面的公垂线、公垂线段：

（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 （3）两个平行平面的公垂线段都相等 （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 4．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 三、讲解范例：

例1 在正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段:

（1）点A到面B1C的距离 ； （2）B1D1到面AC的距离 ； （3）点A到面BD1的距离 ．

例2．如图,已知正三角形ABC的边形为6cm,点D到ABC各顶点的距离都是4cm,求点D到这个三角形所在平面的距离 解:设H为点D在平面ABC内的射影,延长AH,交BC于E， DADBDC,∴HAHBHC,

∴即H是ABC的中心,AE是边BC上的垂直平分线，

在RtBHE中,BE1BEBC3,BH23， 2cos30DHOB2BH242(23)22(cm)，

即点D到这个三角形所在平面的距离是2cm.

例3.如图已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且

GC2,求点B到平面EFG的距离.

解法一:连接AC,BD交点为O, ∵E,F分别是AB,AD的中点,

∴EF//BD,

EF与AC的交点为H,则H为AO的中点, ACBD,∴ACEF，

A

GDFHKOEBC

连结GH,∵GC平面ABCD, ∴GCEF,∴EF平面GCH，

∴平面EFG平面HCG,HG是这两个平面的交线， 作OKHG交HG于K，∴OK平面HCG， ∴线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 ∵正方形ABCD的边长为4，GC2，

∴AC42，HO2，HC32， ∴HG∴OK(32)22222，又HKOHCG，

211HOGC22211，即点B到平面EFG的距离为． 11HG1122解法二：以C为原点，CD,CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(4,4,0)，

B(0,4,0)，C(0,0,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)

设点B在面GEF内的射影为M(x,y,z)，

则GMGEGF(2,4,2)(4,2,2)，

即(x,y,z2)(24,42,22)， ∴x24，y42，z222，

∴BM(24,424,222)， 而EF(2,2,0)，GE(2,4,2)，

∵BMEF,BMGE，∴BMEF0,BMGE0，

157226211,，∴BM(,,)，∴BM解得：． 111111111111四、课堂练习：

1已知RtABC，斜边BC//平面，A,AB,AC分别与平面成30和45的角，已知BC6，

试求BC到平面的距离 解：作BB1于B1，CC1于C1，则由BC//，得

CBB1BB1CC1，且CC1就是BC到平面的距离，

C1A设CC1x，连结AB1,AC1，则BAB130,CAC145，

∴AC2x,AB2x，在RtABC中，BC6,BAC90， ∴362x4x，∴x226，即BC到平面的距离为6．

2．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，M、N分别是B1C1和C1D1的中点． ⑴求证：B1D1//平面CMN． ⑵求点B1到平面CMN的距离．

分析：显然有B1D1//MN，所以B1D1//平面CMN．

∴ 点B1到平面CMN的距离就是直线B1D1到平面CMN的距离． ∴ 可以考虑求B1D1的中点O到平面CMN的距离．

解：⑴∵ M、N分别是B1C1和C1D1的中点，∴ MN//B1D1． 而 MN平面CMN，B1D1平面CMN，∴ B1D1//平面CMN． ⑵连接AC、A1C1，A1C1交B1D1于O，交MN于E，则E是MN的中A1C1．

∵ AA1⊥平面A1B1C1D1，MN 平面CMN， ∴ AA1⊥MN．

∴ MN⊥平面A1ACC1．

∴ 平面CMN⊥平面A1ACC1．

在平面A1ACC1内作OH垂直于平面CMN和平面A1ACC1的交线CE⊥平面CMN．

∴ OH的长就是点O到平面CMN的距离．

由⑴知，OH的长就是点B1到平面CMN的距离． 由Rt△OHE∽Rt△CC1E可得，

点，且MN⊥

于H，则OHOHOE． CC1CE12A1C1a， 44∵ CC1a，OEC1ECECC12C1E2∴ OH32a， 41a． 31a． 3∴ 点B1到平面CMN的距离等于

说明：①由于点B1在平面CMN内的射影不易作出，所以我们就把点B1平移到点O，作出点O在平面CMN内的射影H，从而求出点B1到平面CMN的距离，这是处理点到平面的距离问题的常用手段． ②对于直线到平面的距离问题，一般取直线上的特殊点向平面上做垂线．

五、小结 ：点到面的距离的概念及求法；直线到与它平行的平面的距离的概念及求法面面距离的概念及求法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：