潢川县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 在极坐标系中，圆

的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

2． 已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（

）

A．2个B．4个C．6个D．8个

3． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、

，则下列判断正确的是（

）

A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定

C．D．＞，甲比乙成绩稳定＞，乙比甲成绩稳定　

4． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ A．10 5． 已知函数

）1111]B．15

C．20

D．30，函数

）

D．

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ A．

B．

C．

6． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣

），∠AOC=α，若|BC|=1，则

cos2

﹣sin

cos

﹣

的值为（

）

第 1 页，共 19 页

A．　

B．C．﹣D．﹣

展开式中x﹣3的系数为（

7． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320B．﹣4320C．208． 如右图，在长方体

D．﹣20

）

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为（ ）

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是

A

第 2 页，共 19 页

B

C

D

9． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（

）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

A．（﹣∞，）

第 3 页，共 19 页

10．已知x，y满足约束条件A．﹣3　

B．3

C．﹣1

D．1

，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）

11．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ A．　

12．设0＜a＜1，实数x，y满足

，则y关于x的函数的图象形状大致是（

）

B．

C．

D．

）

A．B．C．D．

二、填空题

13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是　　　　　　．14．已知函数

，则

__________；

的最小值为__________．

15．设函数f（x）=　

16．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则

若f[f（a）]，则a的取值范围是　　　　　　．=　　　　　　．　

17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是　　　　　　．第 4 页，共 19 页

18．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为　　　　　　；，

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　．　

三、解答题

x2y23119．已知椭圆C：221（ab0），点(1,)在椭圆C上，且椭圆C的离心率为．

ab22（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆C的右顶点，直线PA，QA分别交直线：x4于M、N两点，求证：FMFN．

20．【南通中学2018届高三10月月考】设，线

在点

（Ⅱ）求证：函数（Ⅲ）若

处的切线方程为

存在极小值；，使得不等式

，函数.

，其中是自然对数的底数，曲

（Ⅰ）求实数、的值；

成立，求实数的取值范围.

21．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求p的值及数列{an}的通项公式；

第 5 页，共 19 页

（2）设数列{bn}满足bn=　

，证明bn≤．

22．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

23．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）．

（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx﹣kx+1一条切线，求k的值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．　

24．（本题满分12分） 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；

第 6 页，共 19 页

（2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．

第 7 页，共 19 页

潢川县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B【解析】2． 【答案】B

【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；∴A⊆B∩C={0，2}

∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，故最多有4个子集．故选：B．　

3． 【答案】A

【解析】解：由茎叶图可知

=（75+86+88+88+93）=故选：A

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．　

4． 【答案】D【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样5． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），

由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

=（77+76+88+90+94）==86，则

＜

，

，

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为

，选B。

乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，

150050，故选D.30第 8 页，共 19 页

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：

当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，

则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．　

6． 【答案】 A

【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（又∠AOC=α，∴∠AOB=∴sin（

﹣α）=

﹣（

．﹣α）]=cos

cos（

﹣α）+sin

sin（

﹣α）

﹣α，∴cos（

，﹣﹣α）=

），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，﹣sin（

﹣α）=﹣

，

，

∴cosα=cos[

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=+

﹣（=﹣sin﹣

=﹣α）]=sin

．

cos

﹣=

，cos（

﹣α）﹣cos

sin（

﹣α）

∴sinα=sin[=∴=

故选：A．

﹣cos2

=（2cos2，

﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．　

7． 【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），∴a=6，∴

展开式的通项为Tr+1=

，

﹣

+…+

﹣1，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴

故选：B．.8． 【答案】C【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

=13。

展开式中x﹣3的系数为

=﹣4320，

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设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）根据相识三角形易知：xE2=2xE=2×4=8，yE2=2yE=2×3=6，即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。9． 【答案】D

【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，

∵函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x2+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．　

10．【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，

若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．

若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．综上a=1．故选：D．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．　

11．【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是故选：C．　

12．【答案】A

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称，

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．　

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

=

．

二、填空题

13．【答案】　（﹣4，

）　．

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【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

）．，

）．

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．　

14．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

或a=1　．

时，

．，解得：

，所以

；

故答案为：

15．【答案】　

【解析】解：当∵当

，由

，f（a）=2（1﹣a），

，则

，

∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1．若由综上得：

，即，得：或a=1．

．

，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，

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故答案为：中档题．　

16．【答案】　

或a=1．

【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为

　．

sin（x﹣，

），

【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=则

故答案为：﹣

=

sin（﹣．

）=﹣

=﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．　

17．【答案】　异面　．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．　

18．【答案】　≤a＜1或a≥2　．

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，

，

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故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，

若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．　

三、解答题

x2y2

1；（２）证明见解析．19．【答案】（１） 43【解析】

试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中a,b,c的等式关系可得a,b的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线PQ的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得y1y26m9yy，，得123m243m24直线lPA，直线lQA，求得点 M、N坐标，利用FMFN0得FMFN．

91a24b21,c1a2,试题解析： （1）由题意得,解得a2b3.a2b2c2,x2y2

1．∴椭圆C的方程为43第 15 页，共 19 页

又x1my11，x2my21，

2y12y22y12y2)，N(4,)，则FM(3,)，FN(3,)，∴M(4,my11my21my11my213622y12y24y1y23m4FMFN999990226m9my11my211m(y1y2)my1y212m23m43m24∴FMFN考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．20．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得在极小值；

；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存

；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

.

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试题解析：（Ⅰ）∵（Ⅱ）由（Ⅰ）得是增函数，∵

，结合函数

在

，

，∴

，由题设得，∴

，且函数

是增函数有：

）

，∴

图像在

，∴

；，∴函数上不间断，∴

在，使得

递减

∴函数（Ⅲ）（*），令则

∴结合（Ⅱ）得即∴∴

结合（*）有21．【答案】

，∴，

，，∴

在

，

，即实数的取值范围为

，∴

存在极小值

；

极小值递增

，使得不等式

，，

，

成立，即，使得不等式成立……

，其中，满足，

，

内单调递增，

．

【解析】（1）解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），∴a2=3+3p，a3=3+12p，

∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．∵an+1=an+p•3n，

∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•32，…，an﹣an﹣1=2•3n﹣1，

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将这些式子全加起来 得an﹣a1=3n﹣3，∴an=3n．

（2）证明：∵{bn}满足bn=设f（x）=

，则f′（x）=

∈（1，2）

，+∞）时，f′（x）＜0，

，∴bn=

．

，x∈N*，

令f′（x）=0，得x=当x∈（0，

）时，f′（x）＞0；当x∈（

且f（1）=，f（2）=，∴f（x）max=f（2）=，x∈N*．∴bn≤．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．　

22．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得：a1=1，d=2an=2n﹣1…（2）由①得∴∴

…（12分）

…（7分）

…（11分）…（2分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0，∴x=，

由ln﹣1+1=0，可得k=1；

（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

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当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．　

24．【答案】解：（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），又∵a1=1，

∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，∴an+1=2n，∴an=﹣1+2n； 6分

（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n•2n=n•2n﹣1，∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，

2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n=

﹣n•2n

=﹣1﹣（n﹣1）•2n，于是Tn=1+（n﹣1）•2n．

n则所求和为12n

6分

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