2020-2021学年江苏省南通市通州区高一下学期期中数学复习卷(含解析)

一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合

，

，则

___ __．

2. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2+𝑎4=5，则𝑎3=______．

3. 设函数𝑓(𝑥)=(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)2+2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥(𝜔>0)的最小正周期为3.则𝜔的值______ 4. 函数

5. 已知不等式𝑥+

𝑦

𝑎𝑥𝑦

2𝜋

的定义域是 _ ___ _.

≥8−𝑎对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______ ．

33

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，A、B、C对边分别为a、b、c，若𝑎=8，𝑏=6，𝑠𝑖𝑛𝐵=√，则∠𝐴=______．

8

7. 函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥的图象可以看作是由函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥的图象向左平移得到的，则平移

的最小长度为______．

8. (1)已知2𝑥=10，则𝑥−log25= _______．

(2)求值：tan20

∘

+tan40

∘

+√3tan20

∘

tan40

∘

=______．

(3)如图，已知A，B是函数𝑓(𝑥)=log2(16𝑥)图象上的两点，C是函数𝑔(𝑥)=log2𝑥图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为_______．

(4)如图，已知扇形AOB的半径为2，四边形CDEF为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为_______．

9.

+2×3+3×4+⋯+𝑛(𝑛+1)=______． 1×2

1

1

1

1

𝑔(𝑥)是R上的偶函数，若函数𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的值域为[1,3)，则𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)10. 设𝑓(𝑥)是R上的奇函数，

的值域为______ ．

1√3√2

⃗ =(1,0)，⃗ ⃗ 满足|𝑐⃗ 与𝑐⃗ 的夹角为11. 已知向量𝑎𝑏=(−,)，向量𝑐⃗ |=，且(𝑐⃗ −𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅𝑐⃗ =0，则𝑎222

______．

B，C所对的边分别为a，b，c，𝑏2−𝑐2=𝑎2，内角A，已知𝐴=4，则𝑡𝑎𝑛𝐵=______． 12. 在△𝐴𝐵𝐶中，2

𝜋

1

13. 已知数列{𝑎𝑛}满足

，𝑎1=3，则𝑛的最小值为______ ．

𝑎𝑛

2−𝑥,𝑥≤0

14. 函数𝑓(𝑥)={2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋),0<𝑥<𝜋，若方程(𝑥)=𝑎恰有3个不同的实数解，记为𝑥1，𝑥2，𝑥3，

6

则𝑥1+𝑥2+𝑥3的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 已知△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏2=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐，𝑏=1．

(1)若𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐶=√(1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐶)，求c；

3(2)若𝑎=2𝑐，求△𝐴𝐵𝐶的面积．

3

16. 已知𝑓(𝑥)=−√4+𝑥12，点𝑃𝑛(𝑎𝑛,−𝑎𝑛+1)在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上(𝑛∈𝑁∗)且𝑎1=1，𝑎𝑛>0．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)若数列{𝑏𝑛}满足𝑏=−𝑎2−𝑛+1，对于任意𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗都有𝜆𝑏𝑛+𝑏

𝑛

𝑛

1

111

𝑛+1

≥𝜆恒成立，求实

数𝜆的取值范围．

17. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，2𝑆𝑛=3𝑎𝑛−4𝑛(𝑛∈𝑁∗)．

(1)证明：数列{𝑎𝑛+2}是等比数列，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式； (2)设𝑏𝑛=

𝑙𝑜𝑔3(𝑎𝑛+2)𝑎𝑛+2

，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=3−2𝑙𝑜𝑔2𝑥，𝑔(𝑥)=log2𝑥；

(𝐼)当𝑥∈[1,4]时，求函数ℎ(𝑥)=[𝑓(𝑥)+2𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)的最值；

(𝐼𝐼)如果对任意的𝑥∈[1,4]，不等式𝑓(𝑥2)⋅𝑓(√𝑥)>𝑘⋅𝑔(𝑥)恒成立，求实数k的取值范围．

19. (本题满分12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层

2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为𝑥(𝑥≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48𝑥(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

20. 等比数列{𝑎𝑛}中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的

任何两个数不在下表的同一列．

第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 (1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

9 8 18 (2)若数列{𝑏𝑛}满足：𝑏𝑛= 𝑎𝑛+(−1)  𝑛ln 𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前2 n项和S2n．

【答案与解析】

1.答案：

解析：试题分析：由

得到

，而Ｂ=(０,+

考点：集合的运算．

)，所以

，即Ａ=(１,３)，从而

．

2.答案：2

解析：解：等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2+𝑎4=5， 由等差数列的中项性质，可得2𝑎3=𝑎2+𝑎4=5， 解得𝑎3=2． 故答案为：2．

由等差数列的中项性质，可得2𝑎3=𝑎2+𝑎4，解方程可得𝑎3．

本题考查等差数列中某一项的值，注意运用等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

55

5

3.答案：2

解析：

本题考查了二倍角公式及应用，辅助角公式和函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质．

利用二倍角公式和辅助角公式得𝑓(𝑥)=√5sin(2𝜔𝑥+𝜑)+1，再利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的周期性计算得结论．

解：因为函数𝑓(𝑥)=(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)2+2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥

=1+𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥+2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥

=√5sin(2𝜔𝑥+𝜑)+1，

3

所以函数𝑓(𝑥)的周期为𝜔(𝜔>0)．

2𝜋

𝜋

又因为函数𝑓(𝑥)的最小正周期为3， 所以3=𝜔，解得𝜔=2．

32𝜋

𝜋

3

故答案为2．

4.答案：

解析：试题分析：要使函数有意义，需满足考点：函数定义域

点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的范围或题目中指定的自变量的取值范围

，定义域为

5.答案：4

解析：解：𝑥+∵不等式𝑥+

𝑦

𝑎𝑥𝑦𝑦

𝑎𝑥𝑦

≥2√𝑥⋅

𝑦𝑎𝑥𝑦

=2√𝑎，

≥8−𝑎对任意正实数x，y恒成立，

∴2√𝑎≥8−𝑎 ∴𝑎+2√𝑎+1≥9， ∴(√𝑎+1)2≥9， ∴√𝑎+1≥3， 即√𝑎≥2，

∴𝑎≥4，即正实数a的最小值4． 故答案为：4．

根据基本不等式即可求出a的取值范围．

本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．

6.答案：3

解析：

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形三边关系的应用． 直接正弦定理和三角形的三边关系求出结果．

解：△𝐴𝐵𝐶中，A、B、C对边分别为a、b、c，若𝑎=8，𝑏=6，𝑠𝑖𝑛𝐵=则直接利用正弦定理：𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵， 解得：𝑠𝑖𝑛𝐴=√，

23𝑎

𝑏

3√3， 8

2𝜋

由于：0<𝐴<𝜋， 所以：𝐴=3或由于𝑎>𝑏， 所以：𝐴>𝐵． 故A=3或𝜋

2𝜋3𝜋

2𝜋3

，

．

7.答案：2

解析：解：𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2(𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛4)=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+4) 同理可得𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥−4) 令𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥−4)，

设𝑦=𝑓(𝑥)图象向左平移𝜑(𝜑>0)个单位，得到𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥的图象 则𝑓(𝑥+𝜑)=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+𝜑−4)=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+4) ∴𝜑−4=4+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，取𝑘=0，得𝜑的最小正值为2 即平移的最小长度为2 故答案为：2 𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

利用辅助角公式化简得𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+4).设𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥，其图象向左平移𝜑个单位得𝑓(𝑥+𝜑)=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+4)=√2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥+𝜑−4)，结合正弦函数的图象与性质列式，即可解出𝜑的最小正值为2，从而得到本题答案．

本题给出三角函数的图象平移，求平移的最小单位．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

8.答案：(1)1

(2)√3 2(3) 3(4)

2√3 3

解析：

(1)本题考查了对数的定义以及对数的运算，属于基础题． 解：因为2𝑥=10，所以𝑥=log210=log22+log25=1+log25， 所以𝑥−log25=1. 故答案为1．

(2)本题考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题． 解：因为tan60°=tan(40°+20°)==√3， 1−tan40°tan20°即tan40°+tan20°=√3(1−tan40°tan20°)=√3−√3tan40°tan20°， 所以tan20

∘

tan40°+tan20°

+tan40

∘

+√3tan20∘

tan40

∘

=√3．

故答案为√3．

(3)本题根据题意设出C点的坐标，进而表示出A点的坐标，代入𝑓(𝑥)=log2(16𝑥)，即可求出． 解：设𝐶(𝑥0,log2𝑥0)，因为直线BC垂直于x轴， 所以𝐵(𝑥0,4+log2𝑥0)，所以𝐵𝐶=4．

因为△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，所以𝐴(𝑥0−2,2+log2𝑥0)， 又因为𝐴(𝑥0−2,2+log2𝑥0)在函数𝑓(𝑥)=log2(16𝑥)图象上， 所以log216(𝑥0−2)=2+log2𝑥0，解得𝑥0=8, 32

所以点A的横坐标为3．

2

故答案为3．

(4)本题通过设∠𝐸𝑂𝐷=𝛼，表示出CD、DE，进而表示出矩形的面积𝑆=2𝑠𝑖𝑛𝛼(2𝑐𝑜𝑠𝛼−利用辅助角公式变形，再利用正弦函数的性质即可解决． 解：在𝑅𝑡△𝑂𝐸𝐷中，设∠𝐸𝑂𝐷=𝛼，则𝑂𝐷=2𝑐𝑜𝑠𝛼，𝐸𝐷=2𝑠𝑖𝑛𝛼，

323在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐶中，𝑂𝐶=tan60°=√3，所以𝑂𝐶=√𝐹𝐶=√𝑠𝑖𝑛𝛼，

33

𝐹𝐶

2√3𝑠𝑖𝑛𝛼)，3

所以𝐶𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐶=2𝑐𝑜𝑠𝛼−

2√3𝑠𝑖𝑛𝛼． 3

设矩形CDEF的面积为S，

2√3𝑠𝑖𝑛𝛼)3

√3sin2𝛼) 3

则𝑆=2𝑠𝑖𝑛𝛼(2𝑐𝑜𝑠𝛼−=4(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−

1√3√3=4(𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼−)

266=

4√3√312√3 (𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼)−

3223=

4√3𝜋2√3 sin(2𝛼+)−

363∵0<𝛼<,∴当2𝛼+=，即𝛼=时，𝑆最大=4√3−2√3=2√3． 3626

3

3

3

2√3． 3

𝜋𝜋𝜋𝜋

故答案为

9.答案：𝑛+1

解析：解：𝑛(𝑛+1)=𝑛−𝑛+1，

则1×2+2×3+3×4+⋯+𝑛(𝑛+1)=(1−2)+(2−3)+⋯+(𝑛−𝑛+1)， =−+−+⋯+−

1

2

2

3

𝑛

1

1

1

1

1

1𝑛+1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

𝑛

，

=1−𝑛+1， =

𝑛𝑛+1

1

𝑛

故答案为：𝑛+1．

列项𝑛(𝑛+1)=𝑛−𝑛+1，累加，即可求得答案．

本题考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于基础题．

1

1

1

10.答案：(−3,−1]

解析：

根据奇偶函数的定义得到𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，𝑔(−𝑥)=𝑔(𝑥)，由两函数的定义域都为R，根据𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的值域列出不等式，把x换为−𝑥，代换后即可求出𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的范围，即为所求的值域． 此题考查了函数的值域，以及函数的奇偶性的意义．熟练掌握函数奇偶性的意义，即奇函数在定义域满足𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)；偶函数在定义域满足𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)是解本题的关键． 解：由𝑓(𝑥)是R上的奇函数，𝑔(𝑥)是R上的偶函数， 得到𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，𝑔(−𝑥)=𝑔(𝑥)，

∵1≤𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)<3，且𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的定义域都为R， 把x换为−𝑥得：1≤𝑓(−𝑥)+𝑔(−𝑥)<3，

变形得：1≤−𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)<3，即−3<𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)≤−1，

则𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的值域为(−3,−1]． 故答案为：(−3,−1]

11.答案：12或12

1√3√2⃗ 与𝑐⃗ 的夹角为𝜃，则𝑐解析：解：设𝑎⃗ =2(𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)，且𝑎⃗ +⃗ 𝑏=(2,2)， 2

∴由(𝑐⃗ −𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅𝑐⃗ =0得，𝑐⃗ =(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)⋅𝑐⃗ ，

𝜋7𝜋

∴2=

1

√21

(𝑐𝑜𝑠𝜃22

𝜋6

+

√3𝑠𝑖𝑛𝜃)2

=

√2sin(𝜃2𝜋6

7𝜋6

+6)，

𝜋

∴sin(𝜃+)=

𝜋

𝜋

𝜋√2，且62

≤𝜃+≤

，

∴𝜃+6=4或，

4∴𝜃=

或． 1212

𝜋

7𝜋

𝜋

7𝜋

3𝜋

故答案为：12或12．

√2⃗ 与𝑐⃗ 的夹角为𝜃，从而据题意得出𝑐⃗ +可设𝑎⃗ =(𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)，从而根据(𝑐⃗ −𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅𝑐⃗ =0可得出(𝑎

2

1⃗ 𝑏)⋅𝑐⃗ =2，进而可得出sin(𝜃+𝜋)=√2，然后根据向量夹角的范围即可求出𝜃．

62

本题考查向量的数量积运算，向量坐标的加法和数量积运算，构造向量坐标解决向量问题的方法，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．

12.答案：3

解析：解：由余弦定理知，𝑐𝑜𝑠𝐴=∵𝐴=，𝑏2−𝑐2=𝑎2，

42∴

√22

𝜋

1

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

，

=

𝑏2+𝑐2−(𝑏2−𝑐2)

2𝑏𝑐

𝑏

12，化简得3𝑐=2√2𝑏，

𝑐

由正弦定理知，𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐶，∴3𝑠𝑖𝑛𝐶=2√2𝑠𝑖𝑛𝐵， 又𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，∴3𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)=2√2𝑠𝑖𝑛𝐵， ∴3×

√2(𝑠𝑖𝑛𝐵2

𝑠𝑖𝑛𝐵

+𝑐𝑜𝑠𝐵)=2√2𝑠𝑖𝑛𝐵，即3𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵，

∴𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐵=3． 故答案为：3．

由余弦定理知，𝑐𝑜𝑠𝐴=

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

，代入已知条件后化简得3𝑐=2√2𝑏，再根据正弦定理，将边化角有

然后结合𝐴+𝐵+𝐶=𝜋与正弦的两角和公式，可推出3𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵，从而得解． 3𝑠𝑖𝑛𝐶=2√2𝑠𝑖𝑛𝐵，

本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，包含正弦定理、余弦定理、正弦的两角和公式、同角三角函数的商数关系等基本公式，还用到了边化角的思维，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

13.答案：2

解析：

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，考查了数列的函数特征，属于中档题． 利用累加法可得𝑎𝑛=𝑛2−𝑛+3，则

𝑎𝑛𝑛

5

=

𝑛2−𝑛+3

𝑛

=𝑛+𝑛−1，再利用数列的单调性即可得出答案．

3

解：∵数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，𝑎1=3，

∴当𝑛≥2时，𝑎𝑛=(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)+(𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−2)+⋯+(𝑎2−𝑎1)+𝑎1

=2(𝑛−1)+2(𝑛−2)+⋯+2×1+3

=2×

(𝑛−1)𝑛2

+3=𝑛2−𝑛+3，

当𝑛=1时，，𝑎1=3也符合上式， 则

𝑎𝑛𝑛

=

𝑛2−𝑛+3

𝑛

=𝑛+𝑛−1，

3

3

由双勾函数单调性知，函数𝑦=𝑥+𝑥−1在(0,√3)上单调递减，在(√3,+∞)上单调递增， 又

，当𝑛=1时，𝑎1=3，当𝑛=2时，22=2，

𝑎𝑛

5

𝑎

5

故当𝑛=2时，𝑛的最小值为2． 故答案为：2．

5

14.答案：(3−1,3)

解析：解：作出函数𝑓(𝑥)的图象如图：

根据题意及图象可知要想𝑓(𝑥)=𝑎要想有3个交点，则1<𝑎<2，

不妨设𝑥1<𝑥2<𝑥3，则根据对称性可知𝑥2+𝑥3=3，

𝜋

𝜋𝜋

而1<2−𝑥1<2，则−1<𝑥1<0， 则3−1<𝑥1+𝑥2+𝑥3<3， 故答案为(3−1,3).

作出函数𝑓(𝑥)的图象，由图象可知𝑥2+𝑥3=3以及1<2−𝑥1<2，进而可得到𝑥1+𝑥2+𝑥3的取值范围．

本题考查方程的根和函数图象交点的关系，考查数形结合思想，属于中档题．

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

15.答案：解：(Ⅰ)由已知𝑏2=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐，可知𝑐𝑜𝑠𝐵=2，

∵0<𝐵<𝜋，解得𝐵=3；𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐶=√(1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐶)

3

𝜋

31

tan(𝐴−𝐶)=

𝜋

2𝜋√3，−33

<𝐴−𝐶<

2𝜋3

，

5𝜋

∴𝐴−𝐶=，且𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，𝐴=

6由𝑠𝑖𝑛𝐶

𝑐

，𝐶=4， 12

63

𝜋

=

𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵

，即

𝜋sin4

𝑐

=

1sin

𝜋3

，解得𝑐=√．

𝜋

(Ⅱ)因为𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，又𝑎=2𝑐，𝐵=3， 所以𝑏2=4𝑐2+𝑐2−4𝑐2×2，解得𝑏=√3𝑐. 因此得𝑎2=𝑏2+𝑐2.故三角形ABC是直角三角形， 𝐴=，𝑐=．

2√3其面积𝑆=𝑏𝑐=√．

26

1

3𝜋

11

解析：(1)利用已知条件求出cosB，解得B，通过𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐶=√(1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐶)，求出A，C，

3利用正弦定理求c；

(2)通过已知条件以及𝑎=2𝑐，求出B，判断三角形的形状，然后求△𝐴𝐵𝐶的面积．

本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和的正弦函数的应用三角形面积公式的应用，考查计算能力．

316.答案：解：(1)∵点𝑃𝑛(𝑎𝑛,−𝑎𝑛+1)在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上，𝑓(𝑥)=−√4+𝑥12，

∴−𝑎

1

𝑛+1

1

=−√4+𝑎2，且𝑎𝑛>0．

𝑛

1

∴

1

2𝑎𝑛+1

−

1

1

2𝑎𝑛

=4．

1

∴数列{𝑎2}是等差数列，首项𝑎2=1，公差𝑑=4．

𝑛

1

∴𝑎2=1+4(𝑛−1)，

𝑛

1

2∴𝑎𝑛=4𝑛−3．

1

∵𝑎𝑛>0， ∴𝑎𝑛=(2)

1𝑏𝑛

1√4𝑛−31

2𝑎𝑛

 (𝑛∈𝑁∗)．

=−𝑛+1=4𝑛−3−𝑛+1=3𝑛−2， ，

1

∴𝑏𝑛=

1

3𝑛−2

代入𝜆𝑏𝑛+𝑏∴𝜆≤

𝑛+1

≥𝜆并整理得𝜆(1−，

1

3𝑛−2

)≤3𝑛+1，

(3𝑛+1)(3𝑛−2)

3𝑛−3

原命题等价于该式对任意𝑛≥2的整数恒成立． 设𝐶𝑛=

(3𝑛+1)(3𝑛−2)

3𝑛−3

，

>0，故C 𝑛+1>𝐶𝑛，

283

则𝐶𝑛+1−𝐶𝑛=

(3𝑛+1)(3𝑛−4)3𝑛(𝑛−1)

∴{𝑐𝑛}单调递增，𝐶𝑛的最小值为𝐶2=∴𝜆的取值范围是(−∞,3]．

28

，

解析：(1)由点𝑃𝑛(𝑎𝑛,−𝑎𝑎𝑛>0.整理为𝑎21

1

𝑛

𝑛

1

𝑛+1

)在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上，𝑓(𝑥)=−√4+

1𝑥

，代入可得−𝑎2

1

𝑛+1

=−√4+

1

2𝑎𝑛

，且1

𝑛+1

−𝑎2=4.再利用等差数列的通项公式即可得出；

𝑛

1

(2)由于𝑏=𝑎2−𝑛+1=4𝑛−3−𝑛+1=3𝑛−2，可得𝑏𝑛，代入𝜆𝑏𝑛+𝑏

(3𝑛+1)(3𝑛−2)

3𝑛−3

1

𝑛+1

≥𝜆并整理得𝜆≤

，原命题等价于该式对任意𝑛≥2的整数恒成立．

，证明{𝑐𝑛}是单调递增数列即可．

设𝐶𝑛=

(3𝑛+1)(3𝑛−2)

3𝑛−3

本题考查了函数的性质、等差数列的定义及其通项公式、恒成立问题的等价转化、数列的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

17.答案：证明：(1)∵数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，2𝑆𝑛=3𝑎𝑛−4𝑛(𝑛∈𝑁∗)．

∴𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑛−2𝑎𝑛−1+2(𝑛−1)=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1−2，𝑛≥2， ∴𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+2，

2

2

1

3

3333

∴𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+4， ∴𝑎𝑛+2=3(𝑎𝑛−1+2)， ∵𝑎1+2=3，

∴数列{𝑎𝑛+2}是首项为3，公比为3的等比数列， ∴𝑎𝑛+2=3𝑛， ∴𝑎𝑛=3𝑛−2． 解：(2)𝑏𝑛=

𝑙𝑜𝑔3(𝑎𝑛+2)𝑎𝑛+2

=

𝑙𝑜𝑔33𝑛3𝑛=

𝑛3𝑛，

∴数列{𝑏𝑛}的前n项和： 𝑇𝑛=3+32+33+⋯+3𝑛，

13

1

2

3

𝑛

𝑇𝑛=

13

2+

23

3+

33

4+⋯+

𝑛3𝑛+1，

两式相减，得：

21111𝑛𝑇𝑛=+2+3+⋯+𝑛−𝑛+1 33333311(1−𝑛𝑛)33=−𝑛+1 131−3=−×

2

2341

1

13𝑛−

𝑛3𝑛+1，

1

∴𝑇𝑛=−

3+2𝑛4

×

3𝑛．

(1)𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑛−2𝑎𝑛−1+2(𝑛−1)=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1−2，𝑛≥2，解析：推导出𝑎𝑛+2=3(𝑎𝑛−1+2)，由此能证明数列{𝑎𝑛+2}是首项为3，公比为3的等比数列，从而能求出数列{𝑎𝑛}的通项公式． (2)𝑏𝑛=

𝑙𝑜𝑔3(𝑎𝑛+2)𝑎𝑛+2

3

3

3

3

=

𝑙𝑜𝑔33𝑛3𝑛

=3𝑛，由此利用错位相减法能求出数列{𝑏𝑛}的前n项和．

𝑛

本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18.答案：解：(Ⅰ)∵函数𝑓(𝑥)=3−2𝑙𝑜𝑔2𝑥，𝑔(𝑥)=log2𝑥；ℎ(𝑥)=[𝑓(𝑥)+2𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)

∴ℎ(𝑥)=(3−2𝑙𝑜𝑔2𝑥+2𝑙𝑜𝑔2𝑥)3−2𝑙𝑜𝑔2𝑥=33−2𝑙𝑜𝑔2𝑥

又ℎ(𝑥)在上[1,4]单调递减，

∴ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(4)=3−2𝑙𝑜𝑔24=，ℎ(𝑥)𝑚𝑎𝑥=ℎ(1)=3−2𝑙𝑜𝑔21=27；

3(Ⅱ)由𝑓(𝑥2)⋅𝑓(√𝑥)>𝑘⋅𝑔(𝑥)，得(3−4𝑙𝑜𝑔2𝑥)(3−log2𝑥)>𝑘⋅log2𝑥 令𝑡=log2𝑥，∵𝑥∈[1,4]，∴𝑡∈[0,2] 所以(3−4𝑡)(3−𝑡)>𝑘⋅𝑡对𝑡∈[0,2]恒成立． ①当𝑡=0时，𝑘∈𝑅；

②当𝑡∈(0,2]时，𝑘<4𝑡+𝑡−15，令𝑟(𝑡)=4𝑡+𝑡−15 由于𝑟(𝑡)在(0,2]递减，在[2,2]递增． 所以𝑟(𝑡)𝑚𝑖𝑛=𝑟(2)=−3，则𝑘<−3； 综上知𝑘∈(−∞,−3)．

33

39

9

1

解析：(𝐼)化简函数的表达式，判断函数的单调性然后求解函数的最值．

(𝐼𝐼)化简表达式，利用换元法，转化为不等式恒成立，利用分类讨论转化求解即可．

本题考查函数与方程的应用，不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．

19.答案：15层。

解析：试题分析：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为：

=

(元)． 2分

故每平方米的平均综合费用为： 𝑦=560+48𝑥+当𝑥+

=560+48(𝑥+

). 6分

最小时，y有最小值．

≥2

=30， 8分

∵𝑥>0，∴𝑥+当且仅当𝑥=

，即𝑥=15时上式等号成立． 10分

所以当𝑥=15时，y有最小值2 000元．

答：该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小． 12分 考点：函数的实际应用题；基本不等式。

点评：本题考查函数模型的建立及解决实际问题的能力，同时也考查学生的计算能力，属于基础题型。

20.答案：解：(1)当a 1=3时，不合题意；

当a 1=2时，当且仅当a 2=6，a 3=18时，符合题意；

当a 1=10时，不合题意．

因此a 1=2，a 2=6，a 3=18．

所以公比q=3.故𝑎𝑛=2·3  𝑛 −1．

(2)因为𝑏𝑛= 𝑎𝑛+(−1)  𝑛ln 𝑎𝑛

=2·3  𝑛 −1+(−1)  𝑛ln(2·3 𝑛 −1)

=2·3  𝑛 −1+(−1)  𝑛[ln 2+(n−1)ln 3]

=2·3  𝑛 −1+(−1)  𝑛(ln 2−ln 3)+(−1)  𝑛𝑛ln 3．

所以S2n= b 1+ b 2+⋯+ b2n

=2(1+3+⋯+32𝑛−1)+[−1+1−1+⋯+(−1)2𝑛](ln 2−ln 3)+[−1+2−3+⋯+(−1)2𝑛2n]ln 3

=2×

+ nln 3

=32𝑛+ nln 3−1．

解析：略