将军饮马系列---最值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短．

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，RrABRr 当且仅当A、B、O三点共线时能取等号． 知识讲解 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．

下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．

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根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．

B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求． 若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．若A、

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，ABC与A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C'是对称点．

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轴对称的两个图形有如下性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

线段垂直平分线： 垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。 所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。 考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化

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CPMCCAMBAPBCMBPPPMCAABPBMCAMCBMPBAPABCMA

PAPB…BC

常见模型： （1）PAPB最小 同侧ABP图1lBP图2l异侧A'A

（2）①PAPB最小

同侧ABP图4l

异侧lP图5A异侧A'BP图6lAB

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②PAPB最大

异侧同侧BAPA'AllPB

【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P使的直线l为APB的角平分线 （3）周长最短

类型一 类型二 类型三

A'A'ABPA'BAOCA''AMNB'B

（4）“过河”最短距离 类型一 类型二 B'BNMBMNANlMA'AB'' （5）线段和最小

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EEQQl2PAl2Bl1Bl1APFF

（6）在直角坐标系里的运用 BAA'EABAA'BMA''NPA'FB' BB'AEA'AMA'EF=1NBFB'A''BEA'PAAPE=BPE 同步练习

【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线．

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【变式练习】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直

线的距离相等．

MAMANBCBNC

【例2】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

BAa

【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．

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CMNAB

【例4】如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

【例5】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A点，使从A点

到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小．证明：AMANBMBN． QBNOAMP

【例6】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边

的距离和最小．

AO

MB【例7】已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小值和最大值．

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BAl

【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是

AC上的一动点．

求（1）DNMN的最小值与最大值． （2）DNMN的最小值与最大值．

ADMNNADMBCBC E、F分别是AB、B、C重合）BC、AC边上的点（均不与点A、【例8】如图△ABC，D、，记△DEF的周长为p，请作出周长最小的△DEF． A BC

课后练习

【习题1】如图，在等腰RtABC中，CACB3，E的BC上一点，满足BE2，在斜边AB上求作一点P使

得PCPE长度之和最小．

APCEB

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【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC的中点，在对角线AC求

作一点P使得PMPN的值最小．

DPCMBNA

【习题3】如图，在锐角△ABC中，AB42，BAC45?°，BAC的平分线交BC于点D，M、

N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是____．

CDMANB 【习题4】已知⊙O的直径CD为4，AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使 BPAP的值最小，并求BPAP的最小值． AOCBD 【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（

）

A．23 B．26 C．3 D．6

APEFBCDAPED

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BC

【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

0，请在图中分别标B5，0关于直线l的对称点A'的坐标为2，3、C2，5关（1）由图观察易知A2，于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'_____C'____；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点Pa，b关于第一、三象限的角平分

线l的对称点P'的坐标为_____ （不必证明）；

运用与拓广：

3、E1，4，试在直线l上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小． （3）已知两点D1，

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