四川省广安市邻水实验学校2021下学期高一年级第二次阶段检测数学试卷

数学试卷

注意:1全卷共22题,满分150分,考试时间120分钟;

2试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷, Ⅰ卷选择题均为单选题;Ⅱ卷填空题答案均应以最简形式出现,解答题必须有必要的文字说明,解答步骤和推导过程;

3答题卡请勿折叠,请勿污损定位标记,个人信息请清晰填写。

第Ⅰ卷 选择题共60分

一．选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知α满足A．

，则cos2α＝（ ） B．

C．

D．

2．若不等式a2﹣23＞0的解集是（﹣3，1），则a取的值为（ ） A．3

B．﹣1

C．0

D．1

3．已知数列{an} 为等差数列，且a1a8a15＝π，则cos（a4a12）的值为（ ） A．

B．

C．

D．

4．已知数列{an}满足3an1an＝0，a2＝﹣A．﹣6（1﹣3﹣10） C．3（1﹣3

﹣10

，则{an}的前10项和等于（ ）

B．D．3（13

﹣10

）

）

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2c2﹣b2）tanB＝A．

B．

C．

或

D．

ac，则角B的值为（ ）

或

6．可行域的面积是（ ）

A．3

7．已知a＞0，b＞0，A．

B．9 C．18

，则ab的最小值为（ ）

D．36

B． C．2 D．4

8．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高（ ）

A．尺 9．已知函数A．2018

10．设函数f（）＝的取值范围是（ ） A．（1，3）

B．尺 C．尺 D．尺

．则f（1）f（2）…f（2020）的值等于（ ）

B．1009

C．1010

D．2020

，数列{an}满足an＝f（n），n∈N，且数列{an}是递增数列，则实数aB．（2，3） C．，3） D．（1，2）

11．关于的不等式sin2acos﹣a2≤1cos对一切∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．（﹣1，

）

B．

∪[

，∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（

，∞）

12．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到）（参考数据sin15°≈）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷 非选择题共90分

二．填空题（每小题5分，共计20分） 13．已知tan（α﹣β）＝

，tan（α

）＝

，则tan（β

）= ．

14．已知△ABC是锐角三角形，若A＝2B，则15．若2y＝1，则24y的最小值是 ；

的取值范围是 ．

16．已知数列{an}满足a1＝1，an＝logn1（n2）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•a3…a为正整数的（∈N*）叫做“和谐数”，则在区间内所有的“和谐数”的和＝ ．

三．解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）已知

，求1sinθcosθ﹣cos2θ的值；

（2）求值：．

18．已知函数

（Ⅰ）求f（）最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若f（）＜m2在∈

上恒成立，求实数m的取值范围．

19．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn．

﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，

20．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（距A处2海里的C处的缉私船奉命以10

海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度

从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．

21．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过250吨．问甲、乙两种棉纱各生产多少吨，才能使利润总额最大并求最大利润总额．

22．已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn＝an2an﹣2（n∈N*）． （1）求a1，a2，a3的值，并求{an}的通项公式； （2）设bn＝2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设

（n∈N*），试确定λ的取值范围，使得对任意n∈N*，有cn1＞cn恒成立．

参

一．选择题

1．A； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 二．填空题 133; 14(2,3); 1522; 22三．解答题（共6小题） 17解：（1）∵

，

2∴1sinθcosθ﹣cos2θ＝1sincos(12sin)

sincos2sin2tan2tan26＝＝＝； 222sincostan125（2）

＝

＝

＝＝＝．

18解：（I）∵函数∴∴由即

故f（）的递减区间：（II）由得f（）ma＜m2，由

，有

， 上恒成立，

，

，

则故则即

， ，

，

19解：（1）根据{an}为等差数列，d≠0．

前n项和为Sn，且S10＝110，即110＝10a145d，…① ∵a1，a2，a4成等比数列．可得：a2＝a1•a4． ∴（a1d）＝a1•（a13d）…② 由①②解得：

，

2

2

∴数列{an}的通项公式为an＝2n （2）由bn＝

，即bn＝

（1﹣

＝…

． ）＝

（1﹣

）

那么：数列{bn}的前n项和Tn＝b1b2…bn＝

20解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时， 则有CD＝∵AB＝

，BD＝10t．在△ABC中，

﹣1，AC＝2，

∠BAC＝45°75°＝120°． 根据余弦定理可求得BC＝∠CBD＝90°30°＝120°． 在△BCD中，根据正弦定理可得 sin∠BCD＝

，

．

∵∠CBD＝120°，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°， ∴BD＝BC＝10t＝

，则有

（小时）

小时才能追上走私船．

，t＝

所以缉私船沿北偏东60°方向，需

21解：设生产甲、乙两种棉纱分别为吨、y吨，利润总额为元，

那么

＝600900y．

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．

作直线l：600900y＝0，即直线l：23y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时＝600900y取最大值． 解方程组因此，当＝

，解得M的坐标为（，y＝

，

）．

．

时，取得最大值．此时吨，乙种棉纱

答：应生产甲种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．

22解：（1）由已知，2Sn＝anan﹣2（n∈N）① 得：a1＝2，a2＝3，a3＝4， 又2Sn1＝an12an1﹣2②

由②﹣①得； （an1﹣an﹣1）（an1an）＝0，（an＞0） 即an1﹣an＝1（n≥2，n∈N*），且a2﹣a1＝1．

∴数列{an}是以a1＝2为首项，公差为1的等差数列． ∴an＝n1．

（2）由（Ⅰ）知bn＝（n1）•2n它的前n项和为Tn，

2*

Tn＝2•213•224•23…n•2n﹣1（n1）•2n①

2Tn＝2•23•24•2…n•2（n1）•2② ①﹣②：﹣Tn＝2•2222…2﹣（n1）•2 ＝＝﹣n•2n1 ∴Tn＝n•2n1

（3）∵an＝n1，∴cn＝4n（﹣1）n﹣1λ•2n1， 要使cn1＞cn恒成立，

1234

2

3

4

nn1

nn1

∴cn1﹣cn＝4﹣4（﹣1）λ•2﹣（﹣1）∴3•4﹣3λ•（﹣1）∴（﹣1）

n﹣1

nn﹣1n1

n1nnn2n﹣1

λ•2＞0恒成立

n1

2＞0恒成立，

λ＜2

n﹣1

恒成立．

n﹣1

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2恒成立

当且仅当n＝1时，2n﹣1有最小值为1， ∴λ＜1．

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立 当且仅当n＝2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2， ∴λ＞﹣2． 综上：﹣2＜λ＜1