考点13 解斜三角形及应用举例

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考点13 解斜三角形及应用举例

1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=60，则cosB( ) （A）222266 （B） （C） （D） 3333【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.

【思路点拨】先由正弦定理求出sinB，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B的范围，最后利用平方关系求出cosB.

【规范解答】选C.由正弦定理知

abbsinA 知sinB sinAsinBa101532633(0,),cosB0,60，又ab，故AB，从而B. 3332【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B是锐角是本题解题关键.

2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为则此人能（ ）

（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形

【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S，则

111,,， 1311511aS，所以a26S，同理可得另两边长b22S，213c10S，

由余弦定理，出一个钝角三角形.

【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若

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所以A为钝角．所以能作

圆学子梦想 铸金字品牌 余弦值为正，则三角形为锐角三角形．

3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13， 则△ABC（ ）

（A）一定是锐角三角形 （B）一定是直角三角形

（C）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．

【规范解答】选C .由正弦定理可得a:b:c5:11:13，设a5t，则b11t，c13t，由余弦定理得

a2b2c2(5t)2(11t)2(13t)223，所以C为钝角． cosC2ab25t11t110【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．

4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB5，13cosADC3，求AD. 5【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.

【思路点拨】由已知可得cosB，利用两角和的正弦公式可得sin∠BAD。在三角形ABD中用正弦定理求AD.

3124>0知，B<.由已知得cosB=,sin∠ADC= ， 521354123533. 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=51351365ADBD533BADADBDBDsinBsin13,所以 AD=由正弦定理得 25.

33sinBsinBADsinBAD65【规范解答】由cos∠ADC=

3a242bc5.（2010·重庆高考文科·Ｔ18）设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，且3b23c2（1）求sinA的值.

.

2sin(A)sin(BC)44的值. （2）求

1cos2A【命题立意】本小题考查解三角形的基础知识，考查余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换和求值，考查运算求解能力，考查方程的思想.

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【思路点拨】（1）先用余弦定理求出角A的余弦值，再求正弦值.（2）熟练应用有关的三角函数公式, 进行三角恒等变形.

b2c2a2【规范解答】（Ⅰ）由余弦定理得：cosA，又因为3b23c23a242bc，所以

2bc42bc2242bc3cosA， b2c2a2，所以

2bc33因为0A，所以sinA1cos2A1(12221)，即sinA的值是.

3332sin(A)sin(BC)2sin(A)sin(A)44=44（Ⅱ）

1cos2A1cos2A

2222sinAcosA)(sinAcosA)2sin(A)sin(A)2(222244 222sinA2sinA(sinAcosA)(sinAcosA)sin2Acos2A

2sin2A2sin2A12227()2()7339.

1222()239【方法技巧】将余弦定理公式中的部分式子看作一个整体，采用整体代入、化简的方法. 6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１6）设函数fxcosx（1）求fx的值域.

（2）记ABC的内角A，B，C的对边长分别为a,b,c，若fB=1，b=1,c=3，求a的值.

2x2cos2,xR. 32)b的【命题立意】本小题考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用及函数yAsin(x性质，同时考查正、余弦定理及其应用及运算求解能力.

【思路点拨】把函数f(x)化为一个正弦（或余弦）函数求得值域，再根据f(B)1求出角B；最后利用正弦定理或余弦定理求a的值.

【规范解答】（1）f(x)cosxcossinxsin232cosx1 3- 3 -

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13cosxsinxcosx122

135cosxsinx1sin(x)1， 226因为sin(x)[1,1]，所以f(x)[0,2]，因此f(x)的值域是0,2 .

5655)11，即sin(B)0， 6655115又因为0B，所以B，所以B，B.

66666（2）因为f(B)1，所以sin(B2222（方法一）由余弦定理bac2accosB得a3a20，解得a1或2.

（方法二）由正弦定理当Cbc23得sinC，所以C或； sinBsinC332322当C时，A，所以ab1；故a的值是1或2.

36【方法技巧】运算能力与公式应用、变形技巧是解答关键.

7.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ17） 已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足

时，A，所以ab2c22；

abacotAbcotB，求内角C．

【命题立意】本小题主要考查考生处理三角形边角关系问题的能力，能否通过恰当使用正弦定理、余弦定理以及三角形中的三内角间的关系将有关边角确定，是否掌握处理有关三角形边角关系的一般方法.本题突出考查三角恒等变形，两角和与差的正余弦公式及三角中的运算技巧. 【思路点拨】利用正弦定理

abc2R，将abacotAbcotB变形为sinAsinBsinCsinAsinBcosAcosB，移项后利用两角和的正弦求解，注意到0AB.

【规范解答】由abacotAbcotB及正弦定理得

sinAsinBcosAcosB, sinAcosAcosBsinB,

从而sinAcos4cosAsin4cosBsinsinBcos, 44sin(A)sin(B).

44又0AB,

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圆学子梦想 铸金字品牌 故A44,

B,

AB2所以C2.

【方法技巧】巧妙利用正弦定理进行边化角并注意到0AB判断出A44B.

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