抚州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

抚州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．120° B．60° C．45° D．30°

3． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）

（A）150种 （ B ） 180 种 （C） 240 种 （D） 540 种

4． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+

D．该几何体唯一

5． 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ） A．1

B．

C．

D．﹣1

6． 幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（ ） A．

B．﹣ C．3

D．﹣3 的解集为（ ）

或或

B．D．

7． 不等式A．C．

8． 函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A．y2sin(2x3) B．y2sin(2x2x) C．y2sin() D．y2sin(2x) 3233第 1 页，共 14 页

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9． 已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（ ） A．∃x≤0，lnx≥x

B．∀x＞0，lnx≥x

C．∃x≤0，lnx＜x

等于（ ） D．﹣i

D．∀x＞0，lnx＜x

10．已知i是虚数单位，则复数A．﹣ +i B．﹣ +i C．﹣i

11．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）

A．i≥7？B．i＞15？ C．i≥15？ D．i＞31？

12．已知集合A{2,1,1,2,4}，B{y|ylog2|x|1,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．

B（ ）

A．{2,1,1} B．{1,1,2} C．{1,1} D．{2,1}

二、填空题

13．下列命题：

①集合a,b,c,d的子集个数有16个； ②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；

③f(x)(2x1)2(2x1)既不是奇函数又不是偶函数；

2第 2 页，共 14 页

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④AR，BR，f:x⑤f(x)1，从集合A到集合B的对应关系f是映射； |x|1在定义域上是减函数． x其中真命题的序号是 ．

14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 ．

15．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大. 16．曲线

在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．

17．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为 ． 18．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________．

三、解答题

19．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

，EF=2，BE=3，CF=4．

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20．已知函数f(x)exxa，g(x)（1）求函数f(x)的单调区间；

12xa，aR． xe（2）若存在x0,2，使得f(x)g(x)成立，求的取值范围； （3）设x1，x2是函数f(x)的两个不同零点，求证：e1

21．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F． （1）求弦AB的中点M的轨迹方程

（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由． 22．

设函数f(x)e，g(x)lnx．

xxx21．

（Ⅰ）证明：g(x)2e； x（Ⅱ）若对所有的x0，都有f(x)f(x)ax，求实数a的取值范围．

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23．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．

24．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．

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抚州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

22

【解析】解：∵“a＞b”既不能推出“a＞b”； 22

反之，由“a＞b”也不能推出“a＞b”． 22

∴“a＞b”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．

故选D．

2． 【答案】A

【解析】解：根据余弦定理可知cosA=

222∵a=b+bc+c， 222

∴bc=﹣（b+c﹣a）

∴cosA=﹣

∴A=120° 故选A

3． 【答案】A

【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为

C52C323CAA3150种,故选A． 2A235334． 【答案】C

【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1

该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

5． 【答案】A

【解析】解：y'=2ax，

•（

2）=

的正三角形组成

．

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于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行 ∴有2a=2 ∴a=1 故选：A

【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．

6． 【答案】A

α

【解析】解：设幂函数为y=x，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有33

所以幂函数解析式为y=x﹣，由f（x）=27，得：x﹣=27，所以x=．

=（﹣2）α，解得：α=﹣3

故选A．

7． 【答案】A 【解析】 令

得

，

；

或

，故选A

其对应二次函数开口向上，所以解集为

答案：A

8． 【答案】B 【解析】

考点：三角函数f(x)Asin(x)的图象与性质．

9． 【答案】B

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．

故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

10．【答案】A 【解析】解：复数

=

=

=

，

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故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=2，i=0

不满足条件，S=5，i=1 不满足条件，S=8，i=3 不满足条件，S=11，i=7 不满足条件，S=14，i=15

由题意，此时退出循环，输出S的值即为14， 结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？ 故选：C．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

12．【答案】C

【解析】当x{2,1,1,2,4}时，ylog2|x|1{1,1,0}，所以AB{1,1}，故选C．

二、填空题

13．【答案】①② 【解析】

试题分析：子集的个数是2，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③fx4x1为偶函数，故错误.

n2对于④x0没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2个；对于

n奇函数来说，如果在x0处有定义，那么一定有f00，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要元素在集合B中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 14．【答案】 64 ．

【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28 ∴甲的中位数为28

乙的得分共有9个，中位数为36

根据定义fxfx,fxfx，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A中任意一个

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∴乙的中位数为36

则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64 故答案为：64．

【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．

15．【答案】48 【

解

析

】

16．【答案】 （，0） ．

【解析】解：y′=﹣∴斜率k=y′|x=3=﹣2，

∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3）， 整理得：y=﹣2x+9， 令y=0，解得：x=， 故答案为：

．

，

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．

17．【答案】 8 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=8x=2px， ∴p=4，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8，

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故答案为：8．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

18．【答案】

即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，

三、解答题

19．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE 解：（Ⅱ）

方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH． 由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC， AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF． 所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角． 在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3， ∴

，

，BE=3，∴EC=

，

222

∵在△FCE中，CF=EF+CE，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，

由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得所以当

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．

设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（从而

设平面AEF的法向量为则

，即

，由

， ，

，0，a），B（

，

得，

，取x=1，

，0，0），E（

，3，0），F（0，4，0）．

不妨设平面EFCB的法向量为

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由条件，得解得

．所以当

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．

20．【答案】（１）f(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)；（２）a1或a0；（３）证明见解析． 【解析】

试

题解析： （1）f'(x)e1．

x令f'(x)0，得x0，则f(x)的单调递增区间为(0,)；111.Com] 令f'(x)0，得x0，则f(x)的单调递减区间为(,0)． （2）记F(x)f(x)g(x)，则F(x)ex122xaa， exF'(x)ex12． ex第 11 页，共 14 页

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1x122ex20，∴F'(x)0， exe∴函数F(x)为(,)上的增函数，

∵ex∴当x0,2时，F(x)的最小值为F(0)aa2． ∵存在x0,2，使得f(x)g(x)成立，

2∴F(x)的最小值小于0，即aa0，解得a1或a0．1

（3）由（1）知，x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即最小值为f(0)a1， 则只有a1时，函数f(x)由两个零点，不妨设x1x2， 易知x10，x20，

∴f(x1)f(x2)f(x2)f(x2)(e2x2a)(e令h(x)exex2x（x0），

xx2x2a)ex2ex22x2，

考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．

21．【答案】

2222

【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1﹣y1=2，x2﹣y2=2，

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两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0， ∴

=，

22

∵双曲线C：x﹣y=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

∴，

22

化简可得x﹣2x﹣y=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x﹣2） 由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0， ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

，

所以

2

联立①②得：k+1=0无解

2

（k≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

22．【答案】

【解析】（Ⅰ）令ee，1exe

lnx2F(x)22xxxxx由F(x)0xe ∴F(x)在(0,e]递减，在[e,)递增，

ee∴ F(x)minF(e)lne20 ∴F(x)0 即g(x)2成立． …… 5分

exxx（Ⅱ） 记h(x)f(x)f(x)axeeax， ∴ h(x)0在[0,)恒成立，

xx h(x)eea， ∵ h(x)exex0x0，

F(x)g(x)2∴ h(x)在[0,)递增， 又h(0)2a， …… 7分 ∴ ① 当 a2时，h(x)0成立， 即h(x)在[0,)递增， 则h(x)h(0)0，即 f(x)f(x)ax成立； …… 9分 ② 当a2时，∵h(x)在[0,)递增，且h(x)min2a0， ∴ 必存在t(0,)使得h(t)0．则x(0,t)时，h(t)0，

即 x(0,t)时，h(t)h(0)0与h(x)0在[0,)恒成立矛盾，故a2舍去． 综上，实数a的取值范围是a2． …… 12分

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23．【答案】

【解析】解：由题意可得：

∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，

2

∴f（2）﹣f（1）=a﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．

∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，

2

∴f（1）﹣f（2）=a﹣a=

，解得a=0（舍去），或a=．

故a的值为或．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：

分数在[50，60）之间的频数为2， ∴全班人数为

．

（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3； 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，

其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是

．

．

（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，

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