——从两堂“倍的认识”研究课辩起
主持人：陈洪杰
辩 课：魏学兰 张冬梅 魏瑞霞 李小玉 刘晓萍
顾亚龙 王海荣 王爱华 王静雅 徐 宁
整 理：刘晓萍 王静雅 徐 宁
一、教者说课
魏学兰（山东省东营市实验小学）：本节课我定了三个目标：一、通过操作，初步建立“倍”的概念，经历概念的形成过程，体会“一个数的几倍”的具体含义。二、让学生经历自主探索的学习过程，在操作和交流中获得成功的体验。最后一点是在观察、操作的基础上，培养学生的推理能力、语言表达能力。
基于以上目标，设计了以下教学环节：环节一，通过对比、分类，引导学生发现，学生摆的都用了老师的2个几根，从具体中抽象出2倍的概念。环节二，老师摆了一个正方形，学生照着老师的样子摆，让学生体会用了几个4根，就是老师的几倍。环节三是一个小变式练习，通过为阳阳改错，体会一份数也就是标准的重要性。环节四，老师摆不同的几根，学生摆的是老师的几倍不变，深化学生的思维和对倍的理解。在这个环节中，通过摆一摆、数一数、想一想，最后提升到算一算，慢慢地说或算出“一个数的几倍”这样的模型。然后是在练习中巩固“倍”。最后，带领学生到生活中找“倍”并初步认识“多倍”的问题。
陈洪杰：魏老师试图以操作活动，将倍的概念认识以及简单的求一个数的几倍问题都穿起来，让一个活动发挥多重教学效益，很有想法！
张冬梅（江苏省南京市琅琊路小学）：这堂课的第一版是这样的：首先从同样多引入，然后是3倍、6倍关系。接着我追问：你是怎么从图上一眼看出刚才是3倍，现在是6倍的？学生有一个很粗浅的认识，圈出几份就是几倍。然后我提供一个变式：一份数不同，到底是2倍还是3倍？让学生关注一份数，圈几份不是随便圈的。之后和今天的一样：让学生猜红花的朵数，其实就是隐藏一份数。接着让学生感受变化，黄花的朵数是红花的几倍，让学生圈。最后安排练习。
后来一次在外上课，我发现已经学过倍的认识的学生，面对7朵紫花、56朵黄花求几倍的问题，都在7个7个地圈，没有一个孩子想到56里面包含8个7。学过倍之后，学生达到从形到数的抽象了吗？没有！我今天要做的就是更多地帮助孩子实现从形到数的抽象。所以第一版，我让孩子摆圆片，只要求第二行的圆片个数是第一行的3倍。但今天的要求是：红圆片的个数是蓝圆片的3倍。这样一变，准备学具非常麻烦，为什么我还是改过来了？我期待孩子们能摆出变式的东西，不一定是整整齐齐的，而是从标准模式中走出来，走出形的束缚。当然，后来孩子们摆了，可能受之前老师展现的图形的影响，都摆成整齐划一的。所以我在黑板上学生摆的图形上，打乱了圆片的位置，追问是不是还是3倍关系。这个问题一抛出来，学生开始说“不对”，但之后静下心来，学生不用我提醒，就能从这么乱的图形中去数了，去找数量之间的关系了。我想，这才是倍的本质。
陈洪杰：我同意张老师对操作细节的改进！在有的倍的认识公开课中，有学生评价其他同学，会说“他没有圈好”“他没有摆整齐”，这样的话语恰恰说明学生没有理解倍是从“关系”层面上定义的，不受形的影响。
张冬梅：所以，第二版我就改变了：从研究2倍开始，3个小动物的花都有2倍关系吗？有！因为他们都是2份。之后抛出问题：它们的花片不一样，为什么都是2倍关系？其实这个问题是有难度的，要从不同中找相同。相同的是什么？红花是一份，蓝花是两份。正是这相同的东西才是倍的内涵，几倍就是包含了几个相同的一份数。这个环节正是孩子们对倍的认识的第一次转变。然后我保留了第一版中自己觉得精华的部分，几个来圈，猜一猜等。总之，我第二版的努力主要是指向帮助学生从形到数的提升。
二、百家争鸣
1.选择怎样的素材更符合学生的认知起点？
张冬梅：魏老师的课上有这样一道题：老师摆一个正方形，学生摆在下面的是4个三角形，学生摆的小棒数是老师的4倍，对吗？当时听到班上有很清晰很大声的回答：对！魏老师，您觉得产生这样一个场景的原因在哪里？
魏学兰：当时也有很多孩子小声说：不一定。其实在试讲的时候，这种情况是常见的。孩子的第一感觉就是三角形有4个，是4倍，他们只是考虑图形，没有考虑摆的小棒的根数。
张冬梅：既然试讲过程中已经发现，那么，你选择用正方形、三角形去表示这样的倍数，又让孩子们把图形转化成小棒的根数来思考，是否合适呢？
魏瑞霞（山东省东营市实验小学）：这个问题我来解释。魏老师第一次备课时，从孩子们喜欢的水果出发，爸爸摘了几个苹果，妈妈摘的是他的多少倍，类似于今天张老师使用的红花、蓝花。出现了什么现象呢？比如说把两个苹果看成一份，让孩子们照样子2个2个地圈一圈。试讲时，我们发现孩子们不是发自内心地把这几个看成一份，而是老师强加给孩子，要求他们看成一份。后来研读教材，发现人教版教材中使用小棒摆图形。一个正方形4根小棒，孩子会很自然地当作一个整体，当作一份，摆这样的2个、3个、4个正方形就很容易地看成两份、三份、四份。这样，孩子从心里接受了一份、两份、三份。正是基于孩子们已有的经验，我们才把学习素材改成了摆图形。这样促使学生的关注点落在两个量之间的比较上，又可以让学生经历从具体到抽象的过程，帮助学生理解和感悟“倍”概念的本质属性。
李小玉（山东省东营市实验学校）：我想问陈老师，第一个环节出示图形进行分类，孩子的认识只是局限在图形个数上，那么怎样从图形的个数上往根数上引导？如果你来设计这节课，你会怎么突破“倍”的本质？
陈洪杰：魏老师呈现多种情况，引导学生用“几个几”分类，这是一个小环节的概括，后面还有大环节的概括，这样的引入我很欣赏。但由图形个数到小棒根数，难度上可能是颠倒了，感知图形的个数比较简单。或许有两种处理方法，第一种是整堂课只用图形的个数，不涉及根数。第二种方法是直接用小棒，关注几根，或者用花片、圆片，关注几个。如果我设计这节课，我还是会用魏老师摆小棒的这些素材来教学，聚焦在根数上，同时注意学生具体是怎么摆的。比如，在第三个环节，学生对相同倍数出现不同的摆法时要展开，先让学生来说一说想法，然后追问其他学生看不看得懂？再追问不同的摆法之间有什么区别和联系？在不同摆法的联系当中，凸显“倍”的本质。
2.教材的处理：“乘法倍”还是“除法倍”？
刘晓萍（山东省东营市实验学校）：我觉得两堂课的侧重点是不一样的。魏老师侧重的是“几个几”和倍的关系，而张老师侧重的是“一份数”和“份”的多少。现在的教材淡化了份数、一份数，我们都不敢说了，所以魏老师最初想用圈苹果来告诉孩子们一份数的概念，后来改成正方形，是考虑学生更容易把正方形当作一个整体来看。而张老师引导孩子们圈一份来看成一个整体。面对教材，我们该如何来处理这样的问题？
张冬梅：概念教学应该指向概念的本质与内涵，他强调的是概念意义的系统建构。所以我觉得说“份数”是没有问题的，你用份数去让孩子理解还是用几个几去理解，讲的都是一件事。
陈洪杰：人教版的“倍”在乘法的认识后面，苏教版是在除法的认识后面。定位于用乘法来理解和定位于用除法来理解，在教学上有什么不一样的地方吗？魏老师，您是怎么思考的？
魏学兰：其实备课期间，我们一直在“乘法倍”和“除法倍”之间摇摆不定。最初的教案设计是除法倍，魏学兰老师深入研读教参后，认为本节课注重的是倍和几个几的联系，所以今天一直在强调几个几。我们设计的初衷是基于孩子们对于乘法的认识，求“几个几是多少”能用乘法来解决，看到几个几能够联想到乘
法。所以到最后摆小棒的环节，不让他们摆了，而是让他们说。我感觉我们对几个几和倍的概念建立关系还是比较成功的。
顾亚龙（上海市徐汇区教师进修学院）：用乘法还是用除法，其实是一个硬币的正反面。从乘法方面可以理解，从除法方面也能理解。所以我们不要过多纠缠于倍的认识是在乘法以后学，还是在除法以后学。这节课是概念课，最后用乘法算还是用除法算，我觉得没有很大问题，关键是概念课怎样去讲解。
3．概念教学要让学生说什么？怎么说？
张冬梅：魏老师的课上让学生说小棒数，有的学生说得很拗口。我觉得，概念课上，我们不要太在乎学生怎么说。很多时候，这堂课，老师很强调学生说，学生会说，他就对概念理解了吗？它即使说得不太规范，是否影响他对概念本质的理解？我觉得，不管是用份数来做，还是用其他的，只要是指向概念的本质与内涵就不会错。
陈洪杰：概念教学中，让学生规范地说是教学中常见的误区。其实，不要太强调让学生一定用规范的话去表达，而是要注意学生对背后意义的掌握。注意！今天课上，如果是学生自己说出一份、两份、几个几，保留学生的话语甚至板书，但教师不要去抠字眼。
张冬梅：把概念说得很死板、很教条，像规范那样练，我一直是很反对的。但是在课堂上该说的要让学生说，说什么？辨析出概念的本质！“为什么上面一个正方形，下面四个三角形，就不是4倍”，“为什么小猫、小狗、小猪的花片不一样，仍然是2倍关系”，这些问题让他们放开说。我觉得这个说都是孩子们用自己的个性化语言去说。现炒现卖，这都是可以的。
陈洪杰：如果你的教学目标定位于学生说出书上的概念，不要着急，把学生说的、作业纸上写的呈现出来，把课本上的也呈现出来，学生自己会发现课本上的话好在哪里。学生说得再啰嗦，也是属于他自己的，是有意义的。学生要走的是一段路，我们不要把这条路缩短。
魏瑞霞：我非常同意，小学数学的概念课，鼓励学生用个性化的语言来表达自己的想法。这堂课，它是关于“倍”的认识的起始课，它为以后学习分数、比等概念打下了基础。所以我还是支持孩子先自己说，他说的是自己内心的想法和表达，学生心里怎么想的就怎么说。
4.“1倍”要不要处理？怎么处理？
顾亚龙：今天引进“倍”，学生的起点在哪里？我觉得“倍”深层上是“份”的另一种说法。三根小棒为一份，第二行有这样的三份，我们可以说三根小棒为一份，还可以说三根小棒为一倍。由“份”到“倍”换了个说法，孩子理解起来也不抽象。他以后圈的时候，几个一圈就是几个一份。过去我们习惯几个一份地说，现在换成几个一倍。1份就是1倍，有这样的几份就是几倍。我觉得着力点还是“1倍”，“1份”是个标准，理解了谁是一倍，才能承接到几倍。
魏瑞霞：“倍”指的是两个量之间的关系，在教学当中，说三根小棒看成“1份”是绝对没有问题的，但能不能单独地说这三根小棒就是“1倍”？
顾亚龙：“倍”是比出来的，“1倍”是谁和谁比？当两个量同样多时，下面的量是上面量的“1倍”，当一个量时，自己就是自己的“1倍”。后面们讲“增加几倍”和“增加到几倍”的时候，学生总是转不过弯来，就是对“1倍”包含不包含在里面不清楚。所以“1倍”这个概念是个基础，非常关键。
魏瑞霞：在备课的过程中，有的老师是从“1倍”引入的，有的老师是从“几倍”引入的，顾老师您是怎么理解的？
顾亚龙：我觉得从“1倍”引入，还是从“几倍”引入，只是个人的思路不一样。但从由简单到复杂的认知规律来讲，知道“1倍”，在这个基础上逐渐添加，可以形成“多倍”。再往深层讲，就是前面讲的基于乘法来讲还是基于除法来讲了。把12根小棒3根分一份，一共能分成4份，其中的1份叫1倍，4份是1份的4倍，就是基于除法的。如果基于乘法，就是3根小棒为一份，有几个这么多就是几倍。
魏瑞霞：我们认为，“1倍”是一种特殊的倍。查阅各版本的教材，也发现均从“几倍”切入。同时，各版本教材的“乘法意义”也都是从“几个几”入手，在学生理解了“几个几”的意义后，再作为“乘法意义”的延伸和拓展来学习有关“1的乘法”和“0的乘法”。所以，我们觉得还是应该从“几倍”引入。
顾亚龙：我觉得大家可以追问一个细节，张老师的课上有学生出现了“0倍”，为什么？“0倍”背后是学生从比多比少的方面去理解，同样多之后没了，没了才说是“0倍”，他理解的“倍”是多出来的部分。
王海荣（山东省东营市晨阳学校）：是的！学生认为同样多就不存在倍数关系了，就是0倍。不过，不讲几个几，学生容易混乱，教材中不讲“份”，我也不讲份，细想一下张老师在课上讲“1份数”还是很好的，让我眼前一亮。
陈洪杰：顾老师的意思是用“份”支撑“倍”，用“1倍”支撑“多倍”。魏老师的意思是先以“几个几”支撑“多倍”，然后由一般到特殊理解“1倍”。理解不同、目标不同，教学设计的路径也不同。我觉得可以求同存异。另外，今天两节课都从“2倍”引入，但后面都有聚焦“1倍”或“1份”的环节，是不是也是殊途同归的体现？
5.如何让操作更有思维含量？
王爱华（山东省东营市胜利中华小学）：魏老师的课，开始的时候用课件呈现：老师摆一个三角形，亮亮摆了2个三角形，接着是菱形、六边形、五角星，这样出示，没有让学生看到用小棒摆三角形的过程，到后来孩子的语言上和思维上都有些混乱。
陈洪杰：如果聚焦小棒根数，怎么重建操作环节？
王爱华：我会让学生操作，用投影，老师先摆一个三角形，学生跟着摆。让学生能看出来，去关注小棒的根数而不是图形。同时，我会从1倍引入，孩子对比多比少、同样多的理解已经很深入，它和它同样多，它就是它的1倍，那么如果它是它的2倍又是什么样子呢？让孩子自己想想，说出自己的想法。
陈洪杰：老师先摆一个三角形，学生跟着摆，这个操作又和从“1倍”引入相结合，非常好！这个也更好地回答了前面李小玉老师的追问。
徐宁（山东省东营市实验学校）：在摆小棒的时候，老师摆了一个正方形，学生继续摆，在试讲中，有的同学把这三个正方形连在一起摆，在正方形的个数上存在倍数关系，在根数上是不存在的。
王静雅（山东省东营市实验学校）：像连在一起摆的情况，就不是按照教师的设计思路走，所以魏老师强调：请同学们照着老师的样子摆，看谁在规定的时间内摆得又快有规范。这里的“规范”就是不要出现连在一起的正方形。
张冬梅：“看谁摆得又快又规范”，我觉得不要以“快”来要求学生。 陈洪杰：看来，操作也会带来操作的问题，需要教师的引领。还有一个细节，张老师的课上，PPT呈现“圈”之后，我去看学生怎么圈，都是像PPT那样圈的。但在魏老师的课上，却出现了很多学生创造的东西。
张冬梅：其实除了圈以外，还可以用竖线分离。
陈洪杰：对！只要学生的思维是正确的，我们要允许学生操作的多样化。
三、上重建课的打算
魏雪兰：今天课的第三个环节，老师摆了2根，要求学生摆老师的5倍时，有几个孩子摆了5个一根。这几个孩子对倍的一份数的理解还不是很透。如果课堂上我能够抓住这个环节，作为生成资源展示给大家，对这几个孩子和全班来说，应该更能加深他们对倍的理解。如果重建的话，我们会努力关注每一个孩子的错误，把五花八门的错误集中到公开课上，根据出现的问题进行指导。
另外，我一定要让学生说的一字不差吗？我一定要让学生说的多准确吗？他只要能表述出自己的思维过程，我的目的就达到了。如果我再来上的话，我不会要求孩子说大人的话，儿童的语言表达出自己的想法，就是值得尊重的。
张冬梅：再上这堂课，我怎样给孩子一个更大的空间、更大的自由？我可能会一开始就给孩子一个问题：对于“倍”你们知道什么？说说你对“倍”的认识。然后从孩子提出的一些问题开始，逐步深入进行研究。当然我要让孩子能够理解概念的内涵，我心里还得有数，然后从开放的课堂里面，把概念的内涵诠释清楚。
陈洪杰：两位老师的重建打算都指向给孩子更大的自由，这对教师的教学艺术提出了更高的要求。期待能看到两位老师更精彩的“倍的认识”，也感谢所有在座教师两个半小时的坚守！谢谢大家！
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