有关对偶定理的证明方法讨论① 李琳⑦赵临龙 （安康学院数学与应用数学 陕西 安康 ７２５０００） 中图分类号，Ｏ１２３．１ …●’。。文献标识码：Ａ 。‘●………●●…‘ｆ。。。。●●……。…。。。…，。●●●。文章编号：１００８—９２５Ｘ（２０１２）们一０２ｌ１一Ｏ２ 。‘●●－。。‘…。…●●●。…。＿。●●－…●。…●●。。●●…● ………………●。…－●…●●…●●。。－●● 摘要：在射影几何中，从对偶思想出发，研究“三点共线”与“三线共点”的结构形式，使得德萨格三角形定理及其对偶定理具有一 种“旋转”关系，进而给出这类问题求解的“规律性”方法。 关键词：对偶定理 对偶方法 三点共线 三线共点 Ｔｏ ａｃｃｉｄｅｎｔａｌｌｙ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ Ｌｉｌｉｎ Ｚｈａｏ Ｌｉｎｌｏｎｇ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｔ ｐｒｏｊｅｃｔ ｉｍａｇｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｗｈａｔ ｍｅｄｉｕｍ，ｆｒｏｍ ｔｏ ａｃｃｉｄｅｎｔａｌｌｙ ｔｈｏｕｇｈｔ ｔｏ ｓｅｔ ｏｕｔ，ｓｔｕｄｙ“ｔｈｒｅｅ ｐｏｉｎｔｓ ｔｏｔａｌｌｙ ａｌｗａｙｓ ｌｉｎｅ” ａｎｄ“ｔｈｒｅｅ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ ｔｏｔａｌ［ｏｎｅ］ｐｏｉｎｔ”ｏｆ ｔｏ ａｃｃｉｄｅｎｔａｌｌｙ ｐｒｏｂｌｅｍ．ｆｒｏｍ ｔＯ ａｃｃｉｄｅｎｔａｌｌｙ ｔｈｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｓｅｔ Ｏｕｔ ａｎｄ ｓｔｕｄｙ“ｔｈｒｅｅ ｐｏｉｎｔｓ ｔｏｔａｌｌｙ ａｌｗａｙｓ ｌｉｎｅ”ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒｍ ｏｆ“ｔｈｒｅｅ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ ｔｏｔａｌ［ｏｎｅ］ｐｏｉｎｔ”ａｎｄ ｍａｋｅ ｖｉｒｔｕｏｕｓ Ｓａ ｓｐａｃｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｘｉｏｍｓ ａｎｄ ｉｔ ｔｏ ａｃｃｉｄｅｎｔａｌｌｙ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｈａｓ ｆｌ ｋｉｎｄ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ＂ｒｅｖｏｌｖｅ ｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｇｉｖｅ ｏｎｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌｖｅ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｖｉｒｔｕｏｕｓ Ｓａ ｓｐａｃｅ ａｘｉｏｍｓ Ｃｏｎｖｅｒｓｅ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｔｈｒｅｅ ｐｏｉｎｔｓ ｔｏｔａｌｌｙ ａｌｗａｙｓ ｌｉｎｅ Ｔｈｒｅｅ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ ｔｏｔａｌ［ｏｎｅ－］ｐｏｉｎｔ 在射影几何中，将一个命题的“点”换成“直线”，同时将“直 线”换成“点”，并保持原有结构关系不变，所得到的新命题与原命 题是“互为对偶命题”，并且两个互为对偶命题有“同真假”性质的 对偶原理。［ ］ 如反映点共线问题与线共点问题的德萨格定理与其逆定理， 同样有ｓ一 ＂｝－ｉｆＢ ， Ｓ—ｙｃ＋ Ｃ 图１ 皂是ＦＡＤ＝ ＡＣＤ＝ ＣＤＥ一 ＦＤＢ＝２，于 出 ～＾ＦＤＡ．徂．ＡＦ’ＡＦＢＤ ，嘲３ 比较这三式得 由 ～△Ｆ—Ａ，得：而一两 —一ＦＤ一Ｒ－－ａＡ－－ ＝一（ａ，Ａ －－ｉｆｂ ）， ｐ－＿ 一 ＝一（ｉｆｅ －ｒ＇ｃ ）， Ｑ＝ｒＣ－－ａＡ－￣一（ Ｃ －－ＧＩＡ ） （１） ①若我们选择／Ｘ，ＡＢＣ，则直线ＤＥＦ为梅涅劳斯线口］，于是， 第一式ａＡ一 ＝ Ｂ 一 由左端观之，知道它代表两点Ａ 有结果：和Ｂ联线上的一点Ｉ由右端观之，知道它代表两点Ａ 和Ｂ 联线上 的一点Ｉ所以它代表直线ＡＢ和Ａ Ｂ 的交点Ｒ。其余同理。 由（１）和（２），得： 由于三点Ｐ，Ｑ，Ｒ的坐标矢量问有明显的线性关系式：Ｐ＋Ｑ ＦＤｚＦＡｌ ＡＣ２一ＦＤ ＡＢ 垡∞ ； ＋Ｒ＝０，所以三点．Ｐ，Ｑ，Ｒ共一直线。 例１［。］在平面上给定两条直线口和ｂ及不再口和ｂ上的一 ②若我们选择ＡＡＣＦ，则考虑梅涅劳斯定理的对偶定理塞瓦 点Ｐ，试问不先定出ｎ和ｂ的交点，如何用直尺作一直线联结Ｐ 定理 ”，即点Ｄ为塞瓦点，于是，有结果： 和这交点？ ＢＡ ＥＣ ＧＦ鲤坠 一１舒Ｂ』Ｇ坠ｉ’ 丝ｎｌ一 ＡＣＺ （３） … Ａ；ＧＣ＝ＡＣｓ 解。如图２。在ａ和ｂ两条直线外任取一点ｏ，通过Ｏ引三条 直线Ｚ，优，＂，设Ｑ—ｌＸ口，Ｒ＝ｌＸ６，Ｒ ＝”×ｂ，Ｏ１＝ｍＸＰＱ，Ｏ２＝ｍ 由（１）和（３），得： ×ＰＲ，ｐ 一Ｏ１ ×０２Ｒ ，那么ＰＰ 就是所求直线。 ＦＤ０ ＡＢ０ ＦＡ ＡＣ 甘而 面 证明：如图Ｚ，若我们选择△Ｏ１ＱＱ 和△０２ＲＲ ，对应顶点的 譬甏器一 雨丽丽一ｌ铮雨铮雨 ＦＢ一器 一ｃ‘ ｚ ’ 一①赘助课题；安康学院大学生科技创新项目（２０１１ＡＫＸＹＤＸＳ０９）；安康学院重点挟持学科建设项目（ＡＺＸＺＯ１０７）。 ⑦事琳（１９９０－－），女，浃西省渭南市人，现为安康学院０９级数学与应用数学学生。 ２１１ ＿嘲 ２Ｏ１２年１月 总５６４期 浅说高质量多媒体课件的制作技巧 周 鸽① （河南省舞钢市教师进修学校 河南 舞钢中图分类号：Ｇ４３４ 文献标识码：Ｃ ４６２５００） 文章编号：１００８—９２５Ｘ（２０１２）０１—０２１２—０１ 摘要：本文着眼于计算机多媒体课件在当前教育界的广泛应用，从应当对课件的制作技术、操作使用、开发方式加以阐释，对制作 出较高质量的课件进行了较详尽的说明。 关键词：多媒体课件制作 １．２交互性与动画性。现在我们制作的多媒体课件根据用 多媒体课件对课堂教学的辅助作用，已经得到了广大中小学 教师的认可。随着认识的提高，越来越多的中小学已开始对多媒 途一般可以分为“辅助教”、“辅助学”两种。所谓“辅助教”可以简 体课件的制作进行深入地研究，许多学校的教师已能自己制作多 单理解为提供给教师使用、操作的课件；所谓“辅助学”即学生操 媒体课件。但是，有些多媒体课件的质量还不高，还未能适应教 作使用的课件。实践中我发现很多教师创作应用的都是第一类 育教学的实际需要。实践证明，要制作出较高质量的课件，应当 课件，而后一种较少见到。 对课件的制作技术、操作使用、开发方式加以关注。 就“辅助教”这种类型的课件来说，强调课件的交互性及动画 １ 多媒体课件制作的技术 性无疑会提高课件的档次。作为多媒体课件。最终都要在课堂教 １．１应用软件。一般来说，用以多媒体课件制作的软件主 学中使用，为课堂教学服务，它的突出作用也应体现在能更好地 要有Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ、Ｐｒｅｍｉｅｒｅ、Ｄｉｒｅｃｔｏｒ及国产的方正奥斯、“小蜜 培养学生的能力上。如果我们在制作课件时，注意多设计一些交 蜂”等，三维制作软件则以３ＤＭＡＸ为主。可能有的教师认为，只 互功能的话，一定能激励更多学生参与到其中来，达到培养能力 要掌握其中一种软件就可以制作课件了，其实，要创作真正实用 的目的。 的课件仅靠一种软件单匹马远远不够，往往还需要多种软件有 心理学研究表明，“动”比“静”更能引起人的注意。在课件中 机结合。 加入过渡性、流畅性的动画，有利于学生集中精力学习，提高教学 如果应用Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ来制作课件，那么Ｗｉｎｄｏｗｓ中的画图 效率。从另一个方面来说，一个多媒体课件，如果只含有图片、声 程序、Ｐｈｏｔｏｓｈｏｐ等是它必不可少的“伴侣”，更甚至可以加上Ｐｒｅ－ 音，也不能算是层次很高的课件。 ｍｉｅｒｅ的ＡＶＩ动域制作，使它锦上添花。又如应用３ＤＭＡＸ软件 ２操作使用 制作课件，ｐｈｏｔｏｓｈｏｐ与Ｄｉｒｅｃｔｏｒ也可以作为它的“左膀右臂”。 个课件制作完毕，自然要交付给教师使用，作为应用课件 谈到制作课件的软件，不能不说一说Ｏｆｆｉｃｅ家族中的Ｐｏｗｅｒ— 进行上课的教师来说，当然是希望操作越简单越好。即“傻瓜”型 ｐｏｉｎｔ。实践中我发现，很多制作课件的教师对它“情有独钟”，主 的课件，所有动作一键控制，如播放、暂停、返回、跳转、重复等。 要原因就是简捷实用的中文界面，智能化的帮助功能，即学即用 这就要求课件制作者融合多种技术手段，如在播放界面上添加标 的特点等。但从制作多媒体课件角度来看，它还不能算真正意义 志按钮、添加鼠标、键盘控制程序等。 上的动画制作软件。多媒体课件的素材来源主要有以下几方面： 实践证明，课件应用于上课前还应充分考虑、播放课件所用 ①利用画图软件自己创作。一是可以用Ｗｉｎｄｏｗｓ自带的画 微机的硬件水平，以做到“万无一失”，主要有以下几个方面。ＣＰＵ 图功能实现；二是用“金山画王”等创作 如果对初步画出的图片 速度、光驱速度、内存 硬盘容量、音箱音质 显示效果。不然，如 不满意，可以用Ｐｈｏｔｏｓｈｏｐ作进一步的渲染处理，使之更完美些。 果上课时出现“卡壳”、“死机”、“等待”等意外现象，就违背了使用 ②用ＶＣＤ播放软件从影片中截取。用这种手段获得的主要 课件的初衷。 是一些影音资料。例如你可以利用《超级解霸》将ＤＡＴ格式的影 ３开发方式 音文件转换为Ｍｐｅｇ格式，甚至是ＡＶＩ格式。 如果每个学校都投入人力、物力自己制作课件，一是经济条 ③利用扫描仪获得。 件，二是浪费时间、精力，造成重复研究和开发．在实践中， 一我想・是不是可以校与校问强强联合，以强带弱。共同研制使用， 或成立专门的课件研究制作组，合理搭配资源．做到资源共享。 ⑥现成的课件。这种方式是所有方式中最简单、最直接的一 另外，学校也可以让有相关专长的教师“走出去”学习。提高制作 种，不过应用这种方式，首先应考虑制作者的权益问题。最好是经 水平．总之，只要我们在实践中善于学习总结。一定会制作出技 过许可后再使用Ｉ其次还应考虑为适应自己的风格作适当修 术高・实用性强的课件。使之更好地服务于课堂教学． ④用录音、摄像等方式获得。 ⑤现成的多媒体影音文件。 改等． 对偶证法，为探求命题证明方法提出有益的启示。 例３嘲证明三角形垂心、重心、和外心三点共线． 证・如图４．设三 形的重心，垂心， 外心分别为Ｈ、Ｇ、Ｌ．另设Ｄ、Ｅ分别为 ＢＣ．ＣＡ边上的中点，由三角形ＤＥＬ和 ＡＢＨ可知ｔＤＥ∥ＡＢ．ＤＬ／／ＡＨ（同垂直 于ＢＣ），ＥＬ／／ＢＨ（同垂直与ＡＣ），则三点。 ＤＥＸ ＡＢ、ＤＬ×ＡＨ、ＥＬｘ ＢＨ均为无穷 远点，所以共线。． 由德萨格逆定理知三线ＡＤ、ＢＥ、ＨＬ共点．又ＡＤＸＢＥ—Ｇ． 即点Ｇ位于直线ＨＬ上，所以Ｈ、Ｇ、Ｌ三点共绒． 对于德萨格定理的对偶证明，留给有兴趣的人们去研究． ●膏文献 ． ［１］赵临龙。刘ｊＩＩ．射髟几何对偶原理的优越性口］．２００９．重庆科技学院 举报（茸搽科举版）．２０１０．２。１７６—１７７ ｅ ［２］朱馅样，柬雄索．商辞几何［Ｍ］．商辞教育出版杜。２ＯＯ７．７ ［３］蒋声．初中几何炒趣巧解［Ｍ］．上海科技擞１ｒ出版杜，１９８９．１０ ＂ ①周鸽，女，３３岁，计算机本科毕业，舞钢市教师进修学校计算机讲师．研究专长，中专计算机教育。 ２１２ ■■＿
