北京市西城区九年级统一测试数学试卷含解析

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）． A．5.81010

【答案】A

【解析】用科学记数法表示为5.81010．

2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）．

B．5.81011

C．58109

D．0.581011

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】中心对称绕中心转180与自身重合．

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3．将b34b分解因式，所得结果正确的是（ ）． A．b(b24)

【答案】D

【解析】b34bb(b24)b(b2)(b2)．

4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）． A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥

【答案】C

【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．

5．若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A．a5 B．bd0 C．ac0 D．cd

【答案】D

【解析】①a5，故A错． ②bd0，故B错． ③ac0，故C错．

④0c1，d42，故选D．

6．如果一个正多边形的内角和等于720，那么该正多边形的一个外角等于（ ）． A．45

【答案】B

【解析】多边形内角和(n2)180720，∴n6． 正多边形的一个外角B．60

C．72

D．90

B．b(b4)2

C．b(b2)2

D．b(b2)(b2)

主视图左视图俯视图abc12d345-5-4-3-2-1036036060． n6 2 / 20

7．空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．

AQI数据 AQI类别 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 301以上 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示． 天数1614121098762012103210398341412优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

1211102014年2015年2016年2017年2018年时间1月1月1月1月1月根据以上信息，下列推断不合理的是

A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年月 B．AQI数据在0~100之间的天数最少的是2014年月

C．这五年的月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别

【答案】D

【解析】①AQI为“优”最多的天数是14天，对应为2018年月，故A对． ②

AQI 0~50 51~100 0~100 2014 6 7 13 2015 2016 2017 2018 4 10 12 10 9 17 14 12 26 14 22 AQI在0~100之间天数最少的为2014年月，故B对． ③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．

④2018年月的AQI在“中度污染”的天数为天，其他天AQI均在“中度污染”之上，因此D推断不合理．

8．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：

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投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 投中频率 7 0.700 15 0.750 23 0.767 23 30 0.750 32 38 0.760 35 45 0.750 43 53 0.757 52 60 0.750 61 68 0.756 70 75 0.750 80 B 投中次数 投中频率 0.800 14 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个推断： ①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．

②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．

④投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（ ）． A．①

【答案】B

【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．

②随着投篮次数增加，A运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理． ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中200次数，而不能确定一定是160次，故③不合理．

二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若代数式

【答案】x1 【解析】

10．化简：(a4)(a2)a(a1)__________．

【答案】a8

【解析】(a4)(a2)a(a1)a22a8a2aa8．

11．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若

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B．② C．①③ D．②③

x1的值为0，则实数x的值为__________． x1x10，x10，x1． x1S△DEC4，AC3，则DCS△ABC9__________．

AD

B

【答案】2

【解析】∵DE∥AB， S4CD∴△DEC， S△ABCAC92EC∴

CD2． AC3∵AC3， ∴CD2．

12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快35km/h，约用4.5h到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴号”

的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为xkm/h，依题意，可列方程为__________．

【答案】4.5x5(x35)

【解析】依题意可列方程：4.5x5(x35)．

13．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，BOC50，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，

CD，那么ACD__________．

DCB

AO

【答案】40

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【解析】∵AD∥OC， ∴DACOCA． ∵OAOC， ∴OACOCA，

1∴OACDACBOC．

2∵BOC50，

∴BAC25，DAO50， ∴AOD80，

1∴ACDAOD40．

2

14．在平面直角坐标系xOy中，如果当x0时，函数ykx1（k0）图象上的点都在直线y1上方，请写出一个符合条件的函数ykx1（k0）的表达式：__________．

【答案】yx1（答案不唯一） 【解析】答案不唯一，k0即可．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，ABC90，点B在点A的右侧，点C在第一象限。将△ABC绕点A逆时针旋转75，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为__________．

yEC

DOABx

【答案】2 【解析】依题可知，BAC45，CAE75，ACAE，OAE60， 在Rt△AOE中，OA1，EOA90，OAE60，∴AE2， ∴AC2．

在Rt△ABC中，ABBC2．

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16．阅读下面材料：

在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．

已知：直线和直线外的一点P．

求作：过点P且与直线垂直的直线PQ，垂足为点QP 某同学的作图步骤如下： 步骤 第一步 作法 以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点． 第二步 连接PA，作APB的平分线，APQ__________ PB，交直线于点Q． 直线PQ即为所求作． 请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PAPB，APQ__________， ∴PQl．（依据：__________）．

【答案】BPQ，等腰三角形三线合一 【解析】BPQ，等腰三角形三线合一．

三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 117．计算：184sin3051推断 PAPB PQl 21．

1【解析】原式3254(21)325221222．

2

3(x2)≥x418．解不等式组x1，并求该不等式组的非负整数解．

12

【解析】解①得，3x6≥x4，2x≥2，x≥1， 解②得，x12，x3，

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∴原不等式解集为1≤x3， ∴原不等式的非负整数解为0，，2．

19．如图，AD平分BAC，BDAD于点D，AB的中点为E，AEAC． （1）求证：DE∥AC．

（2）点F在线段AC上运动，当AFAE时，图中与△ADF全等的三角形是__________．

【解析】（1）证明：∵AD平分BAC， ∴12， ∵BDAD于点D， ∴ADB90， ∴△ABD为直角三角形． ∵AB的中点为E， ∴AEAB2，DEAB2， ∴DEAE， ∴13， ∴23， ∴DE∥AC． （2）△ADE．

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AECBD

A12EC3B

20．已知关于x的方程mx2(3m)x30（m为实数，m0）． （1）求证：此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．

【解析】（1）(3m)24m(3)m26m912mm26m9(m3)2≥0 ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）由求根公式，得x∴x11，x2

D(3m)(m3)，

2m3（m0）． m∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m的值为1或3．

21．如图，在△ABD中，ABDADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O． （1）补全图形，求AOB的度数并说明理由;

3（2）若AB5，cosABD，求BD的长．

5BA

D

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【解析】（1）补全的图形如图所示．AOB90． 证明：由题意可知BCAB，DCAB， ∵在△ABD中，ABDADB， ∴ABAD，

∴BCDCADAB， ∴四边形ABCD为菱形， ∴ACBD， ∴AOB90．

（2）∵四边形ABCD为菱形， ∴OBOD．

3在Rt△ABO中，AOB90，AB5，cosABD，

5∴OBABcosABD3， ∴BD2OB6．

BAODC

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yxm与x轴的交点为A(4,0)，与y轴的交点为B，线段AB的中点M在函数y（1）求m，k的值;

（2）将线段AB向左平移n个单位长度（n0）得到线段CD，A，MB的对应点分别为C，N，D． ①当点D落在函数y

k

（k0）的图象上 x

k

（x0）的图象上时，求n的值． x

②当MD≤MN时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

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【解析】（1）如图．

∵直线yxm与x轴的交点为A(4,0)，∴m4．

∵直线yxm与y轴的交点为B， ∴点B的坐标为B(0,4)． ∵线段AB的中点为M， ∴可得点M的坐标为M(2,2)． ∵点M在函数yk

x

（k0）的图象上， ∴k4．

（2）①由题意得点D的坐标为D(n,4)， ∵点D落在函数yk

x

（k0）的图象上，∴4n4， 解得n1．

②n的取值范围是n≥2．

DBNM1

CA-1O1-1

A11 / 20

BM1

-1O1-1 23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员．B．书香社区图书整理．C．学编中国结及义卖．D．家风讲解员．E．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：

收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．

B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，

A，C，E，D，B，A，B，E，C，A， D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，

C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，

整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图． 选择各志愿服务项目的人数统计表

志愿服务项目 划记 正 正正 正40 人数 A．纪念馆志愿讲解员 B．书香社区图书整理 C．学编中国结及义卖 12 6 40 D．家风讲解员 E．校内志愿服务 合计 选择各志愿服务项目的人数比例统计图 A．纪念馆志愿讲解员 E15%A20%DB%B．书香社区图书整理 C．学编中国结及义卖 C30%E．校内志愿服务 %D．家风讲解员 分析数据、推断结论：

a：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填AE的字母代号）

b：请你任选AE中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两

个志愿服务项目．

【解析】B项有10人，D项有4人．

选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占25%，D占10%． 分析数据、推断结论：

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a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C．

b：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．

． A：50020%100（人）． B：50025%125（人）C：50030%150（人）．

． D：50010%50（人）． E：50015%75（人）

24．如图，⊙O的半径为r，△ABC内接于⊙O，BAC15，ACB30，D为CB延长线上一点，AD与⊙O相切，切点为A．

（1）求点B到半径OC的距离（用含r的式子表示）． （2）作DHOC于点H，求ADH的度数及

CB的值． CDOA

D

【解析】（1）如图4，作BEOC于点E． ∵在⊙O的内接△ABC中，BAC15， ∴BOC2BAC30．

在Rt△BOE中，OEB90，BOE30，OBr， ∴BEBCOBr， 22r． 2∴点B到半径OC的距离为（2）如图4，连接OA．

由BEOC，DHOC，可得BE∥DH． ∵AD于⊙O相切，切点为A， ∴ADOA， ∴OAD90． ∵DHOC于点H，

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∴OHD90．

∵在△OBC中，OBOC，BOC30， ∴OCB180BOC75．

2∵ACB30，

∴OCAOCBACB45． ∵OAOC，

∴OACOCE45， ∴AOC1802OCA90， ∴四边形AOHD为矩形，ADH90， ∴DHAOr． ∵BE∴BEr， 2DH． 2∵BE∥DH， CBE∽△CDH， ∴△∴

CBBE1． CDDH2OAHEDB图4

25．如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在»AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点

Q．已知AB5cm，AC3cm．设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为ycm．

C 14 / 20

ACOPQB某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表： x(cm) y(cm)

0 4.0 4.7 5.0 2.5 4.8 3.5 4.1 4 3.7 5 （说明：补全表格对的相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ2AP时，AP的长度均为__________cm．

【解析】（1） x(cm) y(cm) 0 4.0 4.7 1.8 5.0 2.5 4.8 4.5 3.5 4.1 4 3.7 5 3.0 （2）如图5 y632101234567图5（3）2.42．

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x26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：ymx22mxm1(m0)与y轴交于点C，抛物线G的顶点为

D，直线：ymxm1(m0)．

（1）当m1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．

（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

y1O1x

【解析】（1）当m1时，抛物线G的函数表达式为yx22x，直线的函数表达式为yx，直线被抛物线G截得的线段长为2，画出的两个函数的图象如图所示：

yy=x2+2xy=xx

O(C)D（2）∵抛物线G：ymx22mxm1(m0)与y轴交于点C， ∴点C的坐标为C(0,m1)，

∵ymx22mxm1m(x1)21， ∴抛物线G的顶点D的坐标为(1,1)， 对于直线：ymxm1(m0)， 当x0时，ym1，

当x1时，ym(1)m11， ∴无论m取何值，点C，D都在直线上． （3）m的取值范围是m≤-3或m≥3．

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27．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段BD交于点M，作

CEAM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．

（1）如图，当045时， ①依题意补全图．

②用等式表示NCE与BAM之间的数量关系：__________．

（2）当4590时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明． （3）当090时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

AMBAB

D图1CD备用图C

【解析】（1）①补全的图形如图所示：

AMBEN

D②NCE2BAM．

C1（2）MCEBAM90，

2连接CM，

A

B

MDQCEN

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DAMDCM，

DAQECQ，

∴NCEMCE2DAQ，

1∴DCMNCE，

2∵BAMBCM， BCMDCM90，

1∴NCEBAM90． 2（3）∵CEA90， ∴点E在以AC为直径的圆上，

F1O22E

∴EFmaxFOr12．

28．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设kAQBQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定CQ2AQ2BQ（或）． CQCQAQBQ，k已知在平面直角坐标系xOy中，Q(1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r． （1）如图，当r2时，

①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

②A2(12,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M， ①当r1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当k3时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线y3xb与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出

b的取值范围．

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yyA1OQCA2xOQCx

图1

【解析】（1）①2．②是．

备用图 （2）①如图，当r1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QMCM，

yMOQC2

x∵Q(1,0)，C(1,0)，r1， ∴CQ2，CM1， ∴MQ3， 此时k2MQ3， CQ②如图，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QNQM，点N，M在x轴下方时同理），

作CDQM于点D，则MDND，

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yMDNQOC2x

∴MQNQ(MNNQ)NQ2ND2NQ2DQ， ∵CQ2， ∴kMQNQ2DQDQ，

CQCQ∴当k3时，DQ3， 此时CDCQ2DQ21， 假设⊙C经过点Q，此时r2， ∵点Q早⊙C外，

∴r的取值范围是1≤r2． （3）3b33．

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