反函数

（一）主要知识：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与

互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，

；

3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．

（二）主要方法：

1．求反函数的一般方法：（1）由解出，

（2）将中的

互换位置，得，

（3）求的值域得

的定义域．（三）反函数

与原函数的关系：

性质1、

的定义域、值域分别为的值域、定义域。性质2、若存在反函数，且为奇函数，则也为奇函数。性质3、若为单调函数，则同

有相同的单调性。性质4、和

在同一直角坐标系中，图像关于对称。

（四）例题分析：

一）求函数的反函数 注：对数函数要注明定义域例1：已知，求

（对数函数形式）解：

的值域为R, 令，则

练习1：已知，求

例2：已知求

（指数函数形式）解：令，的值域为，

练习2：已知

，求

例3：已知，求

（根式形式）解：令

练习3：已知，求

例4：求

的反函数 （分式形式）解：由题意知，，反解为

原函数的反函数为练习4、求的反函数

例5、已知

，求

的反函数 （二次函数形式）解：

所以原函数可化为 即

（）（）所以的反函数练习5：已知函数，求

例6、求

的反函数 （分段函数形式）解：时，则（

） 则y的反函数为

时，

则（

）则y的反函数为

所以原函数的泛函数

注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来练习6：已知

处连续，求

（二）利用反函数求值 （性质一的应用）

例7、已知

的值

解一：先求反函数解：令

，得

且故

的反函数为

解二：根据性质一解：

即

练习7已知

，求

例8、已知的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式。解：的图像过点

，的图像过点， 又的图像过点，

练习8、已知的反函数为，若的图像经过点，求b 的值。

（三）利用图像 （性质四的应用）例9：已知函数的图像关于直线对称，求a 的值解：由题意的图像关于直线对称，则

令

所以 由 得= 解得

练习9、已知函数图像关于直线

对称，求a 的值（五）练习

1．求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）．

解：（1）由

得，∴

，

∴所求函数的反函数为．

（2）当时，得，当时，得

，

∴所求函数的反函数为．

（3）由得，∴

，

∴所求反函数为．

2．函数

的图象关于对称，求的值．解：由得，∴，

由题知：，，∴．3．若既在

的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在

的图象上，又在它反函数图象上，∴

，∴

，∴．

4． 设函数，又函数与的图象关于对称，求的值．解法一：由得，∴，，∴与

互为反函数，由

，得．

解法二：由得，∴，∴．

5．已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足．

6． 已知，是

上的奇函数．（1）求的值，（2）求

的反函数，（3）对任意的解不等式．

解：（1）由题知，得，此时，即为奇函数．（2）∵，得，∴．

（3）∵，∴

，∴，

①当

时，原不等式的解集，②当

时，原不等式的解集．

（六）巩固练习：1．设，则 ．2．设，函数的反函数和

的反函数的图象关于( )轴对称 轴对称 轴对称 原点对称

3．已知函数，则

的图象只可能是 （ ）

4．若与

的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则 ．