高一数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．（4分）对于任意的α∈R，sin2α=（） A． 2sinα B． 2sinαcosα 2．（4分）下列算式正确的是（） A． log2（3π）=log23+log2π
C． 2cosα
D． cosα﹣sinα
2
2
B． ==﹣2
C． =2 D． =5
3﹣2
=5
3．（4分）设集合A，B为全集U的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）
A． A∩B
B． B∩∁UA
C． A∩∁UB
D． （∁UA）∪（∁UB）
4．（4分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| A． 1
B．
3
2
|等于（）
D． 2
C．
5．（4分）若函数f（x）=x+x﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260 f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052 那么方程x+x﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（） A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4
6．（4分）已知向量、满足 A． A、B、D
2
3
2
D． 1.5
，，C． B、C、D
2
，则一定共线的三点是（）
D． A、C、D
B． A、B、C
7．（4分）设方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax+bx+c＞0的解集是（）
A． {x|x＜x1} B． {x|x＞x2} C． {x|x＜x1或x＞x2} D． {x|x1＜x＜x2} 8．（4分）下列函数中，既是偶函，又在[0，1]上单调递增的是（） A． y=cosx
B． y=﹣x
2
C． y=sinxcosx
2
D． y=|sinx|
9．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移 A． y=cos2x
10．（4分）设函数f（x）=loga（x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围是（） A． （1，2]
B． （1，2）
C． （0，1）∪（1，2） D．
B． y=2cosx
2
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）
C．
D． y=2sinx
2
二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．（3分）若cosα=
，且α的终边过点P（x，2），则x=．
12．（3分）sinα=3cosα，则tanα=．
13．（3分）若函数f（x）的图象与y=2的图象关于对称，则函数f（x）=．（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
14．（3分）三个变量y1，y2，y3随x的变化情况如下表： x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1715 35 6655 y2 5 29 245 21 19685 177149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
三个变量y1，y2，y3中，变量随x呈对数函数型变化，变量随x呈指数函数型变化，变量随x呈幂函数变化．
三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（8分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|0＜x＜a}． （Ⅰ）若a=5，求A∪B和A∩B；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a的取值范围．
16．（9分）已知向量=（4，﹣2），=（x，1）． （Ⅰ） 若，共线，求x的值； （Ⅱ）若⊥，求x的值；
（Ⅲ）当x=2时，求与的夹角θ的余弦值．
x
17．（9分）已知0＜α＜（Ⅰ）求cosα的值； （Ⅱ）求tan（α+
，sinα=．
）的值；
（Ⅲ）求
18．（8分）函数f（x）=2sin（2x﹣
的值．
）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
19．（7分）（Ⅰ）证明：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数；
（Ⅱ）已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，∞）上是增函数．
设常数a∈（1，9），求函数f（x）=x+在x∈[1，3]上的最大值和最小值．
20．（7分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，h（x）=sin（x+
2
2
2
，]上的最大值和最小值．
]上是减函数，在[，+
）；
第二组：f1（x）=x﹣x，f2（x）=x+x+1，h（x）=x﹣x+1； （Ⅱ）设f1（x）=log2x，f2（x）=
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h（x）+2h（x）+t＜0
2
在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
北京市石景山区2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试卷参
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．（4分）对于任意的α∈R，sin2α=（） A． 2sinα B． 2sinαcosα C． 2cosα D． cosα﹣sinα
考点： 二倍角的正弦．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 由二倍角的正弦公式结合各个选项即可得解．
解答： 解：由二倍角的正弦公式可得：sin2α=2sinαcosα． 故选：B．
点评： 本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题． 2．（4分）下列算式正确的是（）
22
A． log2（3π）=log23+log2π B． ==﹣2
C． =2 D． =5
3﹣2
=5
考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： A．利用对数的运算法则即可判断出正误； B．利用根式的运算性质即可判断出正误；
C．利用对数的运算性质可得2lg3=lg9≠lg6，即可判断出；
D．利用分数指数幂的运算性质可得==5≠5，即可判断出正误．
解答： 解：A．利用对数的运算法则可得log2（3π）=log23+log2π，正确； B.
=
=2，因此不正确；
，不正确；
C．∵2lg3=lg9≠lg6，∴
D．∵==5≠5，因此不正确．
故选：A．
点评： 本题考查了指数与对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 3．（4分）设集合A，B为全集U的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）
A． A∩B B． B∩∁UA
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
C． A∩∁UB D． （∁UA）∪（∁UB）
分析： 如图可知阴影部分不在B中，肯定在CUB中，阴影又在A中，从而利用交集的定义进行求解；
解答： 解：∵集合A，B为全集U的子集，
图中阴影部分不在集合B中，可以推出在集合CUB中，
但阴影部分又在集合A中，故阴影部分是这两个集合的交集，
∴阴影部分为：A∩∁UB 故选：C
点评： 本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
4．（4分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|
|等于（）
A． 1 B． C． D． 2
考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 计算题．
分析： 由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．
解答： 解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60° ∴||=||=1，•= ∴==1 ∴故选A．
=1 =
点评： 求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则 或
；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求
向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，考查运算能力，属基础题．
5．（4分）若函数f（x）=x+x﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260 f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052 那么方程x+x﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（） A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D． 1.5
考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 应用题．
分析： 由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项
解答： 解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C， 故应选C
点评： 本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题
32
32
6．（4分）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）
A． A、B、D B． A、B、C C． B、C、D D． A、C、D
考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用．
分析： 证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点
解答： 解：由向量的加法原理知==2，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线． 故选A．
点评： 本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．
7．（4分）设方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax+bx+c＞0的解集是（） A． {x|x＜x1} B． {x|x＞x2} C． {x|x＜x1或x＞x2} D． {x|x1＜x＜x2}
考点： 一元二次不等式与一元二次方程． 专题： 计算题．
22
分析： 由于方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2，故不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，从而可解不等式．
解答： 解：由题意，不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，由于x1＜x2，a＜0，∴ax+bx+c＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}， 故选D．
点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，关键是注意不等式的解集与方程解之间的关系，同时应注意二次项的系数对解集的影响． 8．（4分）下列函数中，既是偶函，又在[0，1]上单调递增的是（） A． y=cosx B． y=﹣x C． y=sinxcosx D． y=|sinx|
考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
解答： 解：y=cosx是偶函，在[0，1]上单调递减，不满足条件．
2
2
22
y=﹣x是偶函，在[0，1]上单调递减，不满足条件．
2
y=sinxcosx是奇函数，不满足条件．
y=|sinx|是偶函，在[0，1]上单调递增，满足条件， 故选： D
点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
9．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移 A． y=cos2x
考点： 专题： 分析： 解答： 则f（x+再将f（x+
B． y=2cosx
2
2
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（） C．
D． y=2sinx
2
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
计算题；三角函数的图像与性质．
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案． 解：令y=f（x）=sin2x，
）=sin2（x+）=cos2x，
2
）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cosx，
故选：B．
点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．
10．（4分）设函数f（x）=loga（x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围是（） A． （1，2]
B． （1，2）
C． （0，1）∪（1，2） D．
考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，可得a＞1，且1﹣a+2≥1，由此求得a的范围．
解答： 解：由题意可得a＞1，且1﹣a+2≥1，求得1＜a≤2， 故选：A．
点评： 本题主要对数函数的定义域、单调性和特殊点，属于基础题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．（3分）若cosα=
，且α的终边过点P（x，2），则x=
．
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 利用余弦函数的定义，即可得出结论．
解答： 解：∵cosα=∴
=
，
，且α的终边过点P（x，2），
∴x=．
故答案为：．
点评： 本题考查任意角三角函数的定义，比较基础． 12．（3分）sinα=3cosα，则tanα=3．
考点： 同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．
分析： 已知等式两边除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简求出tanα的值即可． 解答： 解：∵sinα=3cosα，
∴=3，
则tanα=3， 故答案为：3
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
13．（3分）若函数f（x）的图象与y=2的图象关于y轴对称，则函数f（x）=2．（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题是研究两个底数互为倒数的函数的图象之间的关系，在指数型函数中，如果两个函数的底数互为倒数，则这两个函数的图象关于y对称．
x﹣x
解答： 解：由于y=2=
﹣x
，
x
故与其图象关于y轴对称的图象对应的函数的解析式为y=2
﹣x
故答案为：y轴，2
点评： 本题考点是指数函数的图象，考查两个底数互为倒数的函数图象的对称性，本题考查函数中的一个结论，适用范围较窄，属于较偏颇的知识点．
14．（3分）三个变量y1，y2，y3随x的变化情况如下表： x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1715 35 6655 y2 5 29 245 21 19685 177149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
三个变量y1，y2，y3中，变量y3随x呈对数函数型变化，变量y2随x呈指数函数型变化，变量y1随x呈幂函数变化．
考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： 观察题中表格，可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈幂函数变化；变量y3的增长速度最慢，呈对数函数型变化，即可得出结论．
解答： 解：观察题中表格，可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈幂函数变化；变量y3的增长速度最慢，呈对数函数型变化． 故答案为：y3、y2、y1．
点评： 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（8分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|0＜x＜a}． （Ⅰ）若a=5，求A∪B和A∩B；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a的取值范围．
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： （Ⅰ）把a=5代入B中确定出B，求出A∪B和A∩B即可； （Ⅱ）根据A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可． 解答： 解：（Ⅰ）把a=5代入得：B={x|0＜x＜5}， ∵A={x|3≤x≤7}，
∴A∪B={x|0＜x≤7}，A∩B={x|3≤x＜5}；
（Ⅱ）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|0＜x＜a}，A∩B≠∅， ∴a＞3．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
16．（9分）已知向量=（4，﹣2），=（x，1）． （Ⅰ） 若，共线，求x的值； （Ⅱ）若⊥，求x的值；
（Ⅲ）当x=2时，求与的夹角θ的余弦值．
考点： 数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）由，共线可得4×1=﹣2x，解方程可得； （Ⅱ）由⊥可得4x﹣2×1=0，解方程可得；
（Ⅲ）当x=2时，=（4，﹣2），=（2，1），由夹角公式计算可得． 解答： 解：（Ⅰ）∵=（4，﹣2），=（x，1）， 又∵，共线，∴4×1=﹣2x， 解得x=﹣2；
（Ⅱ）∵=（4，﹣2），=（x，1）， 又∵⊥，∴4x﹣2×1=0， 解得x=；
（Ⅲ）当x=2时，=（4，﹣2），=（2，1）， ∴cosθ=
=
=
∴与的夹角θ的余弦值为
点评： 本题考查平面向量的平行和垂直关系，涉及向量的夹角公式，属基础题．
17．（9分）已知0＜α＜（Ⅰ）求cosα的值； （Ⅱ）求tan（α+
）的值；
，sinα=．
（Ⅲ）求的值．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）由α的范围及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可；
（Ⅱ）由sinα与cosα的值，求出tanα的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简后，把tanα的值代入计算即可求出值；
（Ⅲ）原式利用诱导公式化简，把cosα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（I）∵0＜α＜∴cosα=
=；
，sinα=，
（II）∵sinα=，cosα=， ∴tanα=
=，
则原式===﹣7；
（III）∵cosα=， ∴原式=
=﹣sinαcotα=﹣cosα=﹣．
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
18．（8分）函数f（x）=2sin（2x﹣
）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
，
]上的最大值和最小值．
考点： 复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （Ⅰ）直接由函数解析式求得函数的周期及y0，由三角函数取得最大值求得x0； （Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值． 解答： 解：（Ⅰ） f（x）的最小正周期为
=π，
，y0=2；
（Ⅱ）∵于是，当当
，即，即
，∴
时，f（x）取得最大值0；
．
时，f（x）取得最大值﹣2．
点评： 本题考查了三角函数周期的求法，考查了三角函数的最值，是基础的计算题．
19．（7分）（Ⅰ）证明：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数；
（Ⅱ）已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，∞）上是增函数．
设常数a∈（1，9），求函数f（x）=x+在x∈[1，3]上的最大值和最小值．
考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）利用单调递增函数的定义按步骤证明即可；
（2）要研究函数的最值，需结合函数的单调性，此题应通过讨论x=在[1，3]上的单调性，然后求出最值．
]上是减函数，在[，+
与区间[1，3]的关系，确定出函数
解答： 解：（Ⅰ）证明：设x1，x2是（0，2]内的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，
∵0＜x1＜x2≤2，∴0＜x1x2＜4，∴x1x2﹣4＜0，∴△y＜0． 因此，函数
在（0，2]是减函数．
上是减函数，在
上是增函数．∴
时，函数f（x）
（Ⅱ）∵a∈（1，9），∴所以，函数有最小值又
；
， 在
最大值进行如下分类讨论：
（ⅰ）当f（1）≥f（3）时，即3≤a＜9时，当x=1时，函数f（x）有最大值1+a； （ⅱ）当f（1）＜f（3）时，即1＜a＜3时，当x=3时，函数f（x）有最大值
．
点评： 证明函数的单调性一般利用定义证明，要注意作差时对符号的判断方法；
第二问考查了分类讨论思想在解题中的作用，要注意结合二次函数“轴变区间定”求最值的求法来理解本题解法．
20．（7分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，h（x）=sin（x+
2
2
2
）；
第二组：f1（x）=x﹣x，f2（x）=x+x+1，h（x）=x﹣x+1； （Ⅱ）设f1（x）=log2x，f2（x）=
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h（x）+2h（x）+t＜0
2
在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）根据生成函数的定义进行判断，看是否存在适合条件的a，b的值；
（Ⅱ）先化简得到h（x）=log2x，由x∈[2，4]知s=log2x∈[1，2]，从而得到
的最大值﹣5．
解答： 解：（Ⅰ）①设取
2
，即，
，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．
2
2
2
2
②设a（x﹣x）+b（x+x+1）=x﹣x+1，即（a+b）x﹣（a﹣b）x+b=x﹣x+1，
则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
（Ⅱ）
若不等式3h（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解， 即当x∈[2，4]时有
设s=log2x，则由x∈[2，4]知s∈[1，2]， 令
=
，
2
，
则ymax=﹣5，故t＜﹣5．
点评： 本题考查了抽象函数的概念以及二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- igbc.cn 版权所有 湘ICP备2023023988号-5
违法及侵权请联系：TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务