高数答案

第七章 空间解析几何与向量代数

§ 向量及其线性运算

必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：

1、 求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原

点的对称点的坐标.

解：（1） xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）, xoz面（a,-b,c）; (2）ox轴（a,-b,-c）, oy轴（-a,b,-c）, oz轴（-a,-b,c）; (2）关于原点（-a,-b,-c）。

2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指

出下列各点的位置

A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).

解：xoy面：z=0， yoz面：x=0， xoz面：y=0.

ox轴：y=0,z=0， oy轴：x=0,z=0， oz轴：x=0,y=0， A在xoy面上，B在yoz面上， C在x轴上， D在y轴上。

3、 在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐

标.

解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=(0,0,

14). 914，所求点为94、 设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.

解：2u3v5a11b7c.

5、已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.

解：M1M21,2,1，M1M22，方向余弦为cos，

cos

122123，cos，方向角，，. 223436、设向量a的模a2,方向余弦cos0,cos,cos求a.

解：设ax,y,z，则0，，z3，a0,1,3

123,2x2y212y23，所以x0，y1，2x和，7、设有向量PP它与轴、轴的夹角分别为PP2,y,121234如果已知P1(1,0,3),求P2的坐标.

解：设P2的坐标为(x,y,z)，PP,y,z3，12x1

y2x11，所以y2，又cos，所以x2；cos242232PP122,，所以

12(z3)22，解得z2或z4，所以P2的坐标为

(2,2,2)

或者(2,2,4).

8、求平行于向量a6,7,6的单位向量. 解：a36493611，与a平行的单位向量为即为676676,,，或者,,. 111111111111

16,7,6，11§ 数量积 向量积 混合积

必作题： P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：

1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与

d2,2,平行，求和的值.

解：ab，ab2620，2

ab，

112，u4. 22u2、已知向量a2i3jk,bij3k,ci2j,分别计算以下各式.

c(ac）b； ⑵ (ab)(bc)；⑶ (ab)c. ⑴ (ab）c(ac）b8c8b8j24k 解：⑴ (ab）⑵ (ab)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk

231⑶ (ab)c1132.

1203、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积. 解：OAOB3i3jk

ABO的面积S119OAOB. 22§ 曲面及其方程

必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10. 必交题：

1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程.

解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以

(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2，解得动点

的轨迹方程为2x2y5z63. 22、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.

⑴ yx1； ⑵ x2y24； ⑶ x2y21； ⑷ x22y； ⑸ x2y20.

解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面 ⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz坐标轴

3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.

x2y2z2 ⑴ 1； ⑵ (za)2x2y2.

499x2y2解：⑴xOy坐标面上椭圆1绕Ox轴旋转形成，或者

49x2z2xOz坐标面上椭圆1绕Ox轴旋转形成。

49（2）xOz坐标面上zax绕Oz轴旋转形成，或者yOz坐标面上zay绕Oz轴旋转形成. 4、指出下列方程表示什么曲面

x2y2zx2y22⑴ z1； ⑵ ；

94349⑶ x2y2z2； ⑷ x2y2z24.

解：⑴ 椭球面 ⑵ 椭圆抛物面 ⑶ 圆锥面 ⑷ 旋转双叶双曲面.

x2y2z25、建立单叶双曲面1与平面x2z30的交线

1645关于xoy面的投影柱面与投影曲线方程. 解：

将曲面与平面方程联立，消去变量z得到投影柱面

x2y2(x3)2xy(x3)11，投影曲线为164. 2016420z02226、画出下列各曲面所围立体图形.

⑴zx2y2， z1； ⑵z6x2y2，

z0；

⑶z2x2y2， zx2y2. 解：略

§ 空间曲线及其方程

必作题：P324--325：3，4，5，6，7，8. 必交题：

1、下列方程组各表示什么曲线

x2y2y5x11⑴  ； ⑵ 49 ；

y2x3z3x24y26z ⑶ ； ⑷

z1

y2z24x80 ； y4x2y2z236⑸ . 222(x1)(y2)(z1)25解：⑴ 直线 ⑵ 椭圆 ⑶ 双曲线 （4） 抛物线 ⑸ 圆 2、求由上半球面za2x2y2，柱面x2y2ax0及平面

z0所围立体在xoy坐标面和xoz坐标面的投影.

a2a22解：在xOy平面投影(x)y，z0

24在xOz平面投影za2x2，y0，x0

x2y2z291、 将曲线的一般方程化为参数方程.

yx3xcost23cost，0t2 解：y2z3sint

§ 平面及其方程

必作题： P329---330：2，4，6，7，8. 必交题：

1、求满足下面条件的平面方程

⑴ 过点3,0,1且与向量a3,7,5垂直;

⑵ 过点1,0,1且与二向量a2,1,1，b1,1,0平行; ⑶ 过点5,7,4且在三坐标轴上的截距相等且不为零;

 ⑷ 过z轴，且与平面2xy5z0的夹角为.

3解：⑴ 3(x3)7y5(z1)0，即3x7y5z4

ijk⑵ ab211ij3k，所以(x1)y3(z1)0，

110即

xy3z4

⑶ 设平面方程为xyza，过点5,7,4，所以a2，即

xyz2

⑷ 设平面方程为AxBy0，cosA3B或B3A，所以方程为

32ABAB1022，解得

3BxBy0，即3xy0，或者Ax3Ay0，即x3y0.

2、求两平行平面1:xyz10与2:2x2y2z30之间

的距离.

解：在1上任取一点(0,0,1)，距离d

2344453. 6§ 空间直线及其方程

必作题：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16. 必交题

1、 求过点(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程.

解：方向向量s1,0,20,1,32,3,1 以直线方程为

xy2z4 231xy3z02、求直线L:和平面:xyz10间的夹角.

xyz0解：s1,1,31,1,12,4,2，n1,1,1

sin24241641110，所以0

3、求点P(3,1,2)到直线xyz10的距离.

2xyz40解：s1,1,12,1,10,3,3

在直线上任取一点M(1,0,2)，PM2,1,0，

PMs3,6,6

距离d

PMss32 2第七章总复习

必作题: P337---338: 总习题七.

必交题: 第七章模拟检测题 1、填空题

(1) 设2a5b与ab垂直，2a3b与a5b垂直，则

(a,b)= . 2或

33(2) 已知a(2,2,1), b(8,4,1)，则 a在b的投影为 ；

与a同方向的单位向量为 ；b的方向余弦为 .

1；,,；cos，cos，cos

zx2y2(3) 空间曲线在xOy面上的投影曲线的方程22z2(xy)x2y21为 . 

z0x1x1y2z1(4) 与两直线y1t及都平行且过原121z2t221333894919点的平面方程为 .

xyz0

(5) 点P(3,5,7)关于平面2x6y3z420的对称点的坐

为 .

(9713109,,) 4949491、 选择题

ab(1,1,1)，(1) 设ab3，则向量a与b的夹角为（ D ）;

346x1yz1xy1z2(2) 设两直线L1：，L2：，则112134A． B． C． D．

2此两条直线（ A ）;

A．异面 B．相交 C．平行 D．重

合

(3) 通过x轴且垂直于平面5x4y2z30的平面方程为（ B ）;

A．z2y0 B. y2z0 C．x2z0

D．z2x0

(4) 平面2x4y3z30与平面xy2z90的夹角为（ D ）;

A． B． C． D． 64322y3z30(5) 点M(1,1,0)到直线L:的距离为

xy0（ B ）.

A．

340342343341 B． C． D． 111111113、计算题

(1) 求点A（-1，2，0）在平面x2yz10上的投影.

x1y2zx1y2z，令t

1211212522代入平面方程解得t，所以x，y，z，即投

3333解：垂涎方程为

影为

522(,,) 333(2) 设平面过点（0，1，3），且平行于直线

x1y2z1，211又垂直于已知平面xy2z10，求此平面方程.

解：法线向量n2,1,11,1,21,5,3，所求平面方程为

(x0)5(y1)3(z3)0，即x5y3z14

(3) 求直线

x1y3z绕z轴旋转一周所成曲面方程. 23111 4913解：s2,3,1，cot曲

面

方

程

为

z(x1)2(y3)2cot，即

13z2(x1)2(y3)2

(4) 求以点A（3，2，1）为球心，且与平面x2y3z18相

切的球面方程.

解：点A到平面的距离dr3431814914，

球面方程为(x3)2(y2)2(z1)214. (5) 求空间曲线程.

x2y21解：在xOy平面的投影，在yOz平面的投影

z0(z1)2y21 x0xz1在三个坐标面上的投影曲线方22xy1xz1在xOz平面的投影.

y04、证明题

(1) 证明向量ai3j2k, b2i3j4k, c3i12j6k共面.

1326证明：(ab)c2340，所以三个向量共面.

312或者c5ab，三个向量线性相关，所以共面.

(2)已知两直线方程为L1:L2:

x2y2z3，112x1y1z1，证明直线L1与L2相交. 121

证明：直线L2:x1y1z1过点(1,1,1)，而该点满足 121x2y2z3121213的方程：，且 L1:1121121,1,21,2,10，所以两直线不平行，也就不重合，故两

直线相交.