● 。帮 解题技巧与方法 乏６５≥・， ・ ● 浅谈数学建模在教学中的应用 ◎王向平 （福建省福州市闽清文定中学３５０８００） 【摘要】中学数学建模教学，应紧扣教材，合理选材，引 导学生从实际问题中抽象出数学问题，建立相应的数学模 型，化为常规问题，选择合适方法求解，从而解决问题． 算 【关键词】建模思想；建模教学；紧扣教材；基本模式；建 模方法；解决问题 ４．以下通过范例，对中学数学常见的建模方法进行 近年来，旧的教育方法导致出现了许多“高分低能”的 探讨 现象．而“学以致用”是教育最重要的原则之一．学习数学的 （１）建立方程（组）模型 目的就是为改造世界、改造生活服务．因此，现在的教学应 在现实生活中广泛存在等量关系，如：行程问题、工程 更加重视学生应用能力的培养．中学数学建模解决实际问 问题、航行问题、劳力调配问题、数字问题、形积变化问题、 题的过程正是“问题解决”的过程．因此，开展中学数学建模 销售问题、配套问题、经济问题等等，都可以建立方程（组） 教学理论与实践的研究，不仅有助于学生掌握扎实的数学 模型来解决． 基础知识，而且有助于培养学生灵活的思维能力，分析问 例１ 某服装商店出售优惠购物卡，花２００元买了这种 题、解决问题的能力；也是提高学生应用数学的意识和数学 卡后，凭卡可在这家商店按八折购物．问：累计购物多少元 素质的重要途径． 时买卡与不买卡一样？什么情况下买卡购物合算？ 解设累计购物 元时，买卡与不买卡一样． １．什么是中学数学建模 依题意，得０．８ｘ＋２００＝ ， 数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的 解得 ＝１０００． 抽象、简化，确定变量与参数，并应用某些规律建立起变量、 答：当累计购物１０００元时，买卡与不买卡一样． 参数问的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所 当累计购物超过１０００元时，买卡购物合算． 得的解，从而确定能否用于解决问题的多次循环，不断深化 （２）建立不等式（组）模型 的过程．” 在市场经营，生产决策和社会生活中，常把实际问题中 ２．教学现状 隐含的数量关系转化为不等式（组）求解． 例２某工厂现有甲种原料３６０ ｋｇ，乙种原料２９０ ｋｇ， 应用数学问题在当前中学教学中还得不到应有的重 计划利用这两种原料生产Ａ，Ｂ两种产品共５０件．已知生产 视．多数教师习惯用传统的教学方法，授业、解惑．至于如何 ｌ件４种产品需甲种原料９ ｋｇ、乙种原料３ ｋｇ，生产ｌ件Ｂ 从数学的角度出发，分析和处理学生周围的生活及生产实 种产品需甲种原料４ 、乙种原料１０ ｋｇ．请你提出安排生产 际问题更是无意顾及．同时，学生的应用意识也比较淡薄， 的方案． 很多走向社会的学生认为他在中学所学的数学，在他以后 解设安排生产Ａ种产品 件，则Ｂ种产品（５Ｏ— 的工作生活中“没有用处”． ）件． ３．如何开展数学建模教学 依题意，得＝｛３９ｘ＋４（５０－ｘ）＜￣３６０，１． （１）消除心理障碍，增强学生学好数学的自信心 解得３０≤ ≤３２． 许多学生一见应用题文字长，连题目都没有看完，就望 。． 是整数， 而生畏，置之不理．所以，我们要求学生要树立信心，不能随 ‘．．取 ＝３０，３１，３２． 意放弃．在平时教学中，有目的、有计划地加一些应用题进 ‘．．对应的５０一 ＝２０，１９，１８． 行分析，每次考试也尽可能地考查一道与复习内容相关的 答：有３种方案，①生产Ａ种产品３０件，曰种产品２０ 应用题，帮助学生消除心理障碍． 件．②生产Ａ种产品３１件，Ｂ种产品ｌ９件．③生产 种产品 （２）紧扣教材，合理选材，适时切人 ３２件，Ｂ种产品１８件． 中学数学建模教学应结合正常的教学内容切人，把培 （３）建立函数模型 在现实生活中，普遍存在最优化问题，如造价、用料最 养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载 少、利润最大等，都可以建立函数模型，转化为求函数最值 体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加 问题． 工、处理和再创造达到在学中用，在用中学． 例３ Ａ城有化肥２００吨，Ｂ城有化肥３００吨，现要把这 （３）训练阅读能力，熟练基本模式 些化肥全部运往Ｃ，Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ，Ｄ两乡调动化肥的 解答应用问题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把 费用分别为每吨３０元和４Ｏ元，从曰城往Ｃ，Ｄ两乡调动化 实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数 肥的费用分别为每吨４５元和６０元．已知Ｃ乡需化肥２４０ 学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再 吨，Ｄ乡需化肥２６０吨．问：如何调动可使总运费最省？ 解设从Ａ城调 吨到Ｃ乡，总运费为ｙ元． 把数学答案返回到实际问题中去获取具有实际意义的结 论，基本程序如下： （下转６７页） 数学学习与研究２０１１．１３ ● ・．．｜ ， 解题技巧与方法 嘴 ● Ｐ 为 ・平分线所在直线的一个方向向量． ＝例３ 已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标 Ａ（２，３），Ｂ（５，３），Ｃ（２，７），求 Ａ的平分线 所在的直线方程． ．． （ ，学）， ＝ ＝÷． 即 Ｂ的平分线所在直线肋的斜率为ｋ＝÷，且过点 Ｂ（一２，一１），其直线方程的点斜式是Ｙ一（一１）＝— １［ 一 （一２）］，即 一２ｙ＝０． 在求角平分线的这六种方法中，前三种适用于角平分 线存在斜率的情况下，而后两种方法对于各种题型都适用． 然而对于三角形中求特殊角的角平分线的直线方程，我们 还可以运用一些简单的方法，结合图形 Ｌ 解 由题意，得直线Ａ曰的斜率ｋ ＝ ＝０，则ＡＳ＃ 轴，直线ＡＣ不存在斜 率，即ＡＣ上 轴．从而厶４＝９０。，其角平分线所在直线的倾 角为４５。，斜率ｋ＝ｔａｎ４５。＝１，且过点Ａ（２，３），其直线方程为 Ｙ＝ ＋１． 由此可见，在教学实践中，求三角形某一角的平分线所 在直线方程有多种解法，既可以运用解析几何知识，也可以 求出直线方程． Ａ 例２ 已知ＡＡＢＣ的三个顶点坐标 运用向量知识，这样的教学深化了学生对数学概念的理解， Ａ（２，３），曰（１，２），Ｃ（４，１），求 Ａ的平分 且 对数学公式的灵活运用，从而大大激发了学生的创新意识， ｃ 线所在的直线方程． 提高了学生多角度思考问题的能力．而从多种解法的比较 解 由题意，得直线ＡＢ的斜率 中，又能选出最快最好的解法，也给予学生在今后解题时， ＝ ＝１，其倾角为４５。，直线Ａｃ的斜率 ＝ ＝ 探寻最优化解题方法做了渗透，有助于发展学生在解题时 一１，其倾角为１３５。，所以 Ａ＝９０。，其角平分线此时与 轴 思维敏捷性的创造，从而培养了学生的发散思维能力．在教 垂直，从而不存在斜率，且过点Ａ（２，３），则所在直线方程为 学过程中，经常进行这样的训练，有助于学生对数学思想和 ＝２． 数学方法的娴熟运用，对今后的学习将产生深远的影响． （上接６５页） 依题意，得 ・．．ｔａｎ ＝ ， Ｙ＝３０ｘ＋４０（２００一 ）＋４５（２４０一 ）＋６０（６０＋ ） ＝５ｘ＋２２４００． ・．．≥０． ｔａｎ３０ｏ＝ ，．。等＝ １００＿‘＋ｘ， ２００一 ≥０． 解得 ＝５０√３＋５０ １３６．６． ‘．．０≤ ≤２００ ’．２４０一 ≥０． １３６．６＞１２０． ・．．６０＋ ≥０． 这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险． （５）建立直角坐标系模型． ‘．ｋ＝５＞０，．‘．Ｙ随着 的增大而增大． 当变量的变化具有（近似）函数关系，或物体运动轨迹 。．．当 ＝０时，Ｙ晟小：２２４００． 是有某种规律，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图 ‘．．２００一 ＝２００．２４０一 ＝２４０。６０＋ ＝６０． 像问题求解． 答：最省运费的调动方案：把Ａ城的２００吨化肥全部调 例５如图是一座抛物线的拱桥， Ｃ 往Ｄ乡；把曰城的化肥调６０吨到Ｄ乡，调２４０吨到Ｃ乡． 桥下水面宽度ＡＢ是２０米，拱高ＣＤ是 （４）建立几何模型 ４米，若水面上升３米至 ，则水面宽 诸如航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥设 暖ＥＦ是多少？ Ａ Ｄ 曰 计等应用问题，涉及一定图形性质，常需要建立相应的几何 解如图，建立平面直角坐标系． 模型，转化为几何或三角问题求解． 设抛物线解析式为Ｙ： ＋４． Ｃ 例４入夏以来，某江的水位不断下降，达到历史最低 把Ｂ（１０，０）代入，得１００ａ＋４：０ 水位，一条船在该江某水段自西向东沿直线航行，在Ａ处测 ・．’ …一 ，。‘．Ｙ： ・ “４‘ （Ｄ） ０ 得航标ｃ在北偏东６０。方向上，前进１００米到达 处，又测 得航标ｃ在北偏东４５。方向上，如图所示，在以航标ｃ为圆 当Ｙ＝３时，一六 ＋４＝３． 心，１２０米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续 解得 ：±５＿．．．ＥＦ＝１０． 前进，是否有被浅滩阻碍的危险？ 答：水面宽度 是１０米． 解过点Ｃ作ＣＤ￣ＡＢ于Ｄ， 总之，数学建模有利于培养学生利用数学观点解决生 则 １＝３０。， ２＝４５。，ＡＢ＝１００． 活、学习、生产中的问题．教师在平时教学中，应结合教材内 设ＣＤ＝ 米，则ＢＤ＝ＣＤ＝ ． 容，适时切入，逐步渗透数学建模的思想和技能，并以数学 在ＲｔＡＡＣＤ中，ＡＤ＝１００＋ ． 东 建模为载体，使学生提高适应未来社会生活和进一步发展 所必需的各项能力． 数学学习与研究２０１１．１３