广西钦州市第一中学2021届高三开学摸底考试数学(文)试题含答案

满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A0,1,2,Bx|1x2，则AB（A.0）D.）1B.C.0,10,1,22．若z1ii0（i为虚数单位），则复数z（A.

1111

iiD.2222



3．已知向量a2,1,bm,1，且aab，则实数m（）B.

C.11

i2211i22

A.3B.1C.4D.24．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC,AC1,BC2,AA13，截面AB1C1将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（A.2:1B.1:2C.1:1D.2:3）5．已知tan3，则A.-3sin2（）1cos211B.C.33

D.3）6．已知alog32,blog23,clog47，则a,b,c的大小关系为（A.B.C.D.27．如果圆x2y11上任意一点px,y都能使xyc0成立，那么实数c的取值范围是A.B.C.D.的概率为（）8.点在边长为2的正方形内运动，则动点到顶点的距离1A.4

B.12

C.9．已知gx为三次函数fx

a3a2xx2axa0的导函数，则它们的图象可能是（321

4

D.）A.B.C.D.a2b2c210．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为，则c（）4A.2B.3C.4D.6x2y211．已知双曲线221（a0,b0）的一条渐近线被圆x2y26x50截得的弦长为2，ab则该双曲线的离心率为（）A.2

B.3C.52D.62）12.已知fx是R上的偶函数，且在0,上单调递减，则不等式flnxf1的解集为（A.B.C.D.第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

13．若，满足约束条件，则的最大值为_________．14．曲线y2lnx在点1,0处的切线方程为__________．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．16．已知抛物线y28x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A,B两点，且AF=2FB，则

AF=_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2（一）必考题，共60分17．(12分)记为等差数列（1）求的通项公式；的前项和，已知，．（2）求，并求的最小值．18．(12分)某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率．19．(12分)如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，D、E分别为线段AB、BC上的点，且CDDE（Ⅰ）求证：DE平面PCD；（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离.2，CE2EB2.20．(12分)设椭圆.（I）求椭圆的方程；（II）设直线的面积是与椭圆交于的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若面积的2倍，求k的值.321.（12分）设函数fx1x（1）讨论fx的单调性；2x.（2）当x0时，fxax2恒成立，求a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22/23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数(1)解不等式(2)若关于的不等式.的解集为，求实数的取值范围.4钦州市第一中学2021届高三入学测试试卷数学文科答案

CBACDDBADCDB66

3..ab2m,2,根据aab得aab22m20,解得m3,故选A4.C解：由题得四棱锥为阳马，三棱锥、三棱锥为鳖臑，将两个直三棱柱拼在一起，得到一个长方体，则四棱锥到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为1:1.6.详解：7．B【解析】设圆上任意一点和长方体的外接球是一样的，所以得,的坐标为故，选D.，即，，即即，又，得到，则，8.A：由题可知当PA=2时是以A为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=11．D【解析】由题意得圆方程即为(x3)2y24，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为y

，故选Ab

x，即bxay0，故圆心到渐近线的距离为a2d

3bab22

3b

。∵渐近线被圆截得的弦长为，∴21222，整理得2222ababa2b2b216。选D。1122aa22

的性质知，在上单调递增，又.故选B.在点处的切线的斜率为，，所以，即3bb21c

。∴ea22a12.B由题意，根据函数，由【详解：由14.y=2x–2则所求切线方程为在上为单调递增，所以得，，即则曲线.15.【解析】有三视图可知，几何体为三棱锥，底面三角形面积为，高为，故体积为5.16．【答案】6【解析】由题得F(2，0),因为AF2FB，所以kAB22,所以直线AB的方程为y022x222x42.联立直线和抛物线方程得点A的横坐标为4，所以|AF|=4-(-2)=6.故填6.17．详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为1000.010.021030人，女生优秀人数为1000.0150.031045人．

51

，304515

11

2人，女生人数为453人．所以样本中包含男生人数为301515（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,B1，A2,B2，A2,B3，B1,B2，B1,B3，B2,B3共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,B1，A2,B2，A2,B3共7个．所以PC

77

，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．101019．详解：(Ⅰ)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2,CDDE

2，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.

又PCCDC，故DE平面PCD．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，CDE为等腰直角三角形，DCE过D作DF垂直CE于F，易知DFCFEF1，又DE平面PCD，所以DEPD，PD

,4PC2CD211，6设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥BPDE的高，11

SPDEhSBDEPC，33

1111

即PDDEhBEDFPC，3232由VBPDEVPBDE得即112h113，所以h

322，22所以点B到平面PDE的距离为322.22，又由，可得．由,20．详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为点的坐标为从而．由，即，点M的坐标为的面积是．易知直线，由题意，面积的2倍，可得的方程为，，消去y，，由方程组可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．21．详解：（1）f ’x13x

2

令f’x0得x

33，x33当x（，

3333时，f’(x)<0；当x时，f’(x)>0；当x时，f’(x)<0.）（，）（，）33333333，（单调递减，在单调递增），）（，）3333

2

.x7所以f(x)在x（，

2（2）由fxax2得axxx32,因为x0,所以a1x

令gx1x

222

,则g’x2x20得极大值点x=1,xxg(x)的最大值为g(1)=-2，故，a≥-222．详解：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴曲线的普通方程为.（Ⅱ）设，，又，且中点为，所以有：，又点在曲线上，∴代入的普通方程得，∴动点的轨迹方程为.23．详解：(1)不等式；当即时，的解集为，解得或故实数的取值范围是或.可化为解得即或..当时，：当时，解得解得即;综上所述:不等式可得(2)由不等式，即8