江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为实数集R，若集合A={x| A． {x|0＜x＜1}
B． {x|0≤x＜1}
a
≥0}，B={x|x＜2x}，则（∁RA）∩B=（）
D．{x|0≤x≤1}
2
C． {x|0＜x≤1}
，），则（）
2．（5分）已知幂函数f（x）=x的图象过点（ A． f（）＜f（） C． f（）＞f（）
B． f（）=f（）
D． f（），f（）的大小不能确定
3．（5分）下列说法错误的是（）
2
A． 若命题p：对于任意的x∈（1，+∞），都有x＞1，则命题p的否定是：存在x∈（1，+∞），
2使x≤1
B． “sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件
C． 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
2
D． 已知p：存在x∈R，使cosx=1，q：任意x∈R，都有x﹣x+1＞0，则“p且q”为假命题
4．（5分）已知函数f（x）=x+，则“0＜a＜8”是“函数f（x）在（2，+∞）上为增函数”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．（5分）设a＞b＞1＞c＞0，则正确的是（） A． a＜b
c
c
2
B． logca＞logcb C． logac＜logbc
D．a
a﹣c
＞b
b﹣c
6．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）
A． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B． （﹣2，0）∪（0，2） C． （﹣2，0）∪（2，+∞） D． （﹣∞，﹣2）∪（0，2）
7．（5分）函数f（x）=logax+x﹣2有两个零点x1，x2，其中x1∈（0，1），x2∈（2，3），则实数a的取值范围是（）
A． （0，）
B． （，1） C． （1，3） D．（3，+∞）
8．（5分）已知函数f（x）=lg（|x|+1），定义函数F（x）=m+n＞0，则有F（m）+F（n）（） A． 一定为负数 B． 等于0
9．（5分）已知函数f（x）=﹣x+bx﹣（）
A． x1+x2＞0，x1x2＜0 C． x1+x2＜0，x1x2＜0
10．（5分）已知f（x）=
B． x1+x2＞0，x1x2＞0
D． x1+x2＜0，x1x2＞0
﹣，g（x）=|x﹣2|﹣2，记F（t）=
3
2
3
，若mn＜0，
C． 一定为正数 D．正负不能确定
b（b＞0），有且仅有两个不同的零点x1，x2，则
dx，函数F（t）
的导函数为F′（t），则函数y=F′（t），t∈（0，4）的大致图象是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．（5分）函数y=
12．（5分）曲线y=x在P（1，1）处的切线方程为．
13．（5分）已知f（x）=x+2sinx，则
14．（5分）已知函数f（x）=
，记集合A={（x，y）|y=f（x），x∈R}，实
2
3
的定义域是．
f（x）dx=．
数集为R，映射g：R→A的对应法则是x→（x，f（x）），若这个映射是一一映射，则实数a的取值范围是． 15．（5分）若函数y=f（x）的定义域为D，存在正数T，对任意的x∈D，都有f（T+x）≥f（x），则称函数f（x）是D上的“T阶高升函数”，已知函数g（x）
=是实数集R上的阶高升函数，则实数m的取值范围
是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知集合A={y|y=log2x，x∈}，集合B={x|（）＜2m﹣1}．
（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围； （2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．
17．（12分）已知函数f（x）=（1）求实数a；
（2）求函数y=f（x）的值域．
18．（12分）定义在R上的奇函数y=f（x）是周期为4的周期函数，且当x∈时f（x）=x+bx+c（b，c∈R）．
（1）求常数b，c的值； （2）解不等式f（x）＞．
19．（12分）已知函数f（x）=x﹣mlnx（m∈R，且m为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求函数f（x）在上的最小值．
20．（13分）已知函数f（x）=x+．
（1）若命题p：“存在x∈，使f（log2x）﹣k•log2x≥2”是真命题，求实数k的取值范围； （2）设g（x）=|2﹣1|，方程f+
21．（14分）已知函数f（x）=
（其中e为自然对数的底）在区间（0，
x
2
2
3x+a
＞2}，集合C={x|m+1≤x
x
+a是奇函数．
=3k+2有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
2）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，记实数m的取值范围为区间I． （Ⅰ）求区间I；
（Ⅱ）记g（m）=x1+x2，证明：函数y=g（m）在区间I上单调递减．
江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为实数集R，若集合A={x|
≥0}，B={x|x＜2x}，则（∁RA）∩B=（）
2
A． {x|0＜x＜1} B． {x|0≤x＜1} C． {x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
分析： 求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A补集与B的交集即可． 解答： 解：由A中不等式解得：x＞1或x≤0，即A={x|x≤0或x＞1}， ∴∁RA={x|0＜x≤1}，
由B中不等式变形得：x（x﹣2）＜0， 解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}， 则（∁RA）∩B={x|0＜x≤1}． 故选：C．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知幂函数f（x）=x的图象过点（ A． f（）＜f（） C． f（）＞f（）
考点： 幂函数的图像． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据幂函数的性质，即可得到．
a
，），则（）
B． f（）=f（）
D． f（），f（）的大小不能确定
解答： 解：∵幂函数f（x）=x的图象过点（∴∴α=，
，
a
，），
∴幂函数f（x）=∴f（）＜f（），
在区间（0，+∞）上单调递增，
故选：A．
点评： 本题主要考查了幂函数的性质，属于基础题．
3．（5分）下列说法错误的是（）
2
A． 若命题p：对于任意的x∈（1，+∞），都有x＞1，则命题p的否定是：存在x∈（1，+∞），
2使x≤1
B． “sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件
C． 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D． 已知p：存在x∈R，使cosx=1，q：任意x∈R，都有x﹣x+1＞0，则“p且q”为假命题
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
2
分析： 直接写出命题的否定判断A；由θ=30°能得sinθ=，反之不成立说明B正确；写出命题的否定判断C；
判断出两个命题为真命题，然后利用复合命题的真值表判断D．
2
解答： 解：对于A，若命题p：对于任意的x∈（1，+∞），都有x＞1，
2
则命题p的否定是：存在x∈（1，+∞），使x≤1，命题A正确； 对于B，由θ=30°能得sinθ=，反之不成立，
∴“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件，命题B正确；
对于C，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0，命题C正确； 对于D，命题p：存在x∈R，使cosx=1为真命题， q：任意x∈R，都有x﹣x+1=
2
＞0是真命题，则“p且q”为真命题，命题D
错误． 故选：D．
点评： 本题考查了命题的直接判断与应用，考查了命题的否定与否命题，是基础题．
4．（5分）已知函数f（x）=x+，则“0＜a＜8”是“函数f（x）在（2，+∞）上为增函数”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分必要条件的定义及函数的单调性，得出a≤16⇐0＜a＜8，从而得出结论．
2
解答： 解：f′（x）=2x﹣≥0在区间（2，+∞）恒成立，
⇔a≤16⇐0＜a＜8， 故选：A．
点评： 本题考查了充分必要条件的定义及函数的单调性，是一道基础题．
5．（5分）设a＞b＞1＞c＞0，则正确的是（）
A． a＜b B． logca＞logcb C． logac＜logbc D．a＞b
考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除ABC，问题得以解决． 解答： 解：∵a＞b＞1＞c＞0，
cca﹣cb﹣c
又∵y=x（α＞0）在（0，+∞）为增函数， cc
∴a＞b，故A错误，
x
∵y=a（a＞1）为增函数， a﹣ca﹣cb﹣c
∴a＞b＞b，故D正确， ∵y=logax（0＜a＜1）为减函数， ∴logca＜logcb＜0，故B错误， ∴logac＞logbc，故C错误， 故选：D
点评： 本题主要考查了幂函数指数函数对数函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（） A． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B． （﹣2，0）∪（0，2） C． （﹣2，0）∪（2，+∞） D． （﹣∞，﹣2）∪（0，2）
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．
α
分析： 因为＞0恒成立，；然后利用导函数的正负性，可判断函数
y═在（0，+∞）内单调递增；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负
性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则解集即可求得． 解答： 解：当x＞0时，有
＞0，即有y=
在区间（0．+∞）
上单调递增，且=0，
所以当0＜x＜2时，f（x）＜0，
当x＞2时，f（x）＞0， 根据函数f（x）是奇函数， 得到x＜﹣2时，f（x）＜0， ﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．
综上所述，当x＞2或者﹣2＜x＜0时，f（x）＞0， 故选：C．
点评： 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，属于中档题．
7．（5分）函数f（x）=logax+x﹣2有两个零点x1，x2，其中x1∈（0，1），x2∈（2，3），则实数a的取值范围是（） A． （0，）
B． （，1）
C． （1，3）
D．（3，+∞）
考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的额零点就是方程的解也是两个函数的图象的交点的横坐标，再根据对数函数的性质，得到不等式组，解得即可．
解答： 解：∵函数f（x）=logax+x﹣2有两个零点x1，x2， ∴f（x）=logax+x﹣2=0的两个根是x1，x2，
即y=logax与y=﹣x+2的图象的两个交点的横坐标为x1，x2，满足x1∈（0，1），x2∈（2，3）， ∴
，
解得0＜a＜，
故实数a的取值范围是（0，），
故选：A
点评： 本题主要考查了函数的零点和图象的交点的关系，以及对数函数的性质，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）=lg（|x|+1），定义函数F（x）=m+n＞0，则有F（m）+F（n）（） A． 一定为负数 B． 等于0
考点： 分段函数的应用．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
，若mn＜0，
C． 一定为正数 D．正负不能确定
分析： 由函数f（x）=lg（|x|+1），得到F（x）=，可令m＞0，n
＜0，且m+n＞0，求出F（m）+F（n），运用对数的运算法则和对数函数的单调性，即可得
到答案．
解答： 解：由函数f（x）=lg（|x|+1）， 则F（x）=
可令m＞0，n＜0，且m+n＞0，
，
则F（m）+F（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣n） =lg由于
， ﹣1=
＞0，即有lg
＞lg1=0，
则F（m）+F（n）＞0， 故选C．
点评： 本题考查分段函数及运用，考查对数的运算和对数函数的性质，属于中档题．
9．（5分）已知函数f（x）=﹣x+bx﹣（）
A． x1+x2＞0，x1x2＜0 B． x1+x2＞0，x1x2＞0 C． x1+x2＜0，x1x2＜0 D． x1+x2＜0，x1x2＞0
考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求出函数的导数，从而得到函数的单调区间，画出函数的图象，进而得到答案．
32
b（b＞0），有且仅有两个不同的零点x1，x2，则
3
解答： 解：∵f′（x）=﹣3x+2bx，由f′（x）=0得到x=0或b， ∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，b）递增，在（b，+∞）递减， 画出函数f（x）的图象，如图示：
2
，
由图象得：x1＜0，x2=b＞0，x1•x2＜0， 又f（﹣b）=∴x1＞﹣b，
∴x1+x2＞0， 故选：A．
点评： 本题考查了函数的单调性，判断函数的零点问题，是一道基础题．
b＞0，
3
10．（5分）已知f（x）=﹣，g（x）=|x﹣2|﹣2，记F（t）=dx，函数F（t）
的导函数为F′（t），则函数y=F′（t），t∈（0，4）的大致图象是（）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先化简两个函数的表达式，验证可知f（x）与g（x）均过（0，0）与（4，0），且在x∈（0，4）时f（x）的图象都在g（x）的上方，故在同一坐标系中画图，结合图象处理．
解答： 解：对于函数f（x）=﹣=，此函数中的两段都可
看成反比例函数经过平移得到，
且x≥2时不难验证图象过（2，）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，）与（0，0）；
对于函数g（x）=|x﹣2|﹣2=，此函数中的两段都可看成直线的一部分，
x≥2时不难验证图象过（2，﹣2）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，﹣2）与（0，0）；
利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画y=f（x）与y=g（x）图象：
又F（t）=
dx表示由函数f（x）=
﹣的图象、g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直
线x=t围成的图形的面积，
∴从图象可以看出，t从0开始增大时，直线x=t向右移动，∵F（t）是增函数，且增的速度变化是先慢中间快再慢， ∴F′（t）的图象只有B符合．
故选：B．
点评： 本题综合考查函数与函数图象，函数的单调性与导数的关系、定积分的几何意义，属于选择题中的高档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．（5分）函数y=
的定义域是
．
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由对数式的真数大于0，且根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
解答： 解：由，解得．
∴函数y=故答案为：
．
的定义域是．
点评： 题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．
12．（5分）曲线y=x在P（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题．
3
分析： 先求出函数y=x的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．
2
解答： 解：y'=3x
y'|x=1=3，切点为（1，1）
3
∴曲线y=x在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0 故答案为：3x﹣y﹣2=0
点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）已知f（x）=x+2sinx，则
考点： 定积分．
专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据定积分法则计算即可
3
2
f（x）dx=．
解答： 解：故答案为：
f（x）dx=（x+2sinx）dx=
2
|=，
点评： 本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）=
，记集合A={（x，y）|y=f（x），x∈R}，实
数集为R，映射g：R→A的对应法则是x→（x，f（x）），若这个映射是一一映射，则实数a的取值范围是（0，1]．
考点： 分段函数的应用．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由x≥1时，f（x）=2+a，是增函数，又映射g是一一映射，则函数f（x）在R
1﹣1
上是增函数，则有a＞0，且2+a≥a+a，解出即可． 解答： 解：由于f（x）=
则x≥1时，f（x）=2+a，是增函数， 又映射g是一一映射，
则函数f（x）在R上是增函数，
则有a＞0，且2+a≥a+a，解得0＜a≤1． 故答案为：（0，1]．
点评： 本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，注意分界点，属于中档题和易错题． 15．（5分）若函数y=f（x）的定义域为D，存在正数T，对任意的x∈D，都有f（T+x）≥f（x），则称函数f（x）是D上的“T阶高升函数”，已知函数g（x）
1﹣1
x﹣1
x﹣1
，
=是实数集R上的阶高升函数，则实数m的取值范围
是m≥1．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先由函数的解析式推出所给的函数为奇函数，只要画出x＞0时的图象即可，因为
是一个正数，
当0≤x≤
时，g（x）=x；当x≥
时，g（x）=x﹣2
，两者都是线性的
函数，函数图象易画，
再观察函数的图象使函数g（x）满足：f（+x）≥f（x）．
解答： 解：由函数g（x）的解析式易知g（﹣x）=﹣g（x），故g（x）为奇函数，所以图象关于原点对称， 先画x＞0的图象：
当0≤x≤当x≥
时，g（x）=时，g（x）=x﹣
﹣x﹣﹣
=x， =x﹣2
，
作出x≥0时的图象后，再关于原点对称作出x＜0时的图象． 图象如下图：
其中A、B两点的横坐标分别为﹣
、3
，
∵函数g（x）是实数集R上的阶高升函数，
∴要使对任意的x∈R，都有f（+x）≥f（x），只要使得A、B两点的横坐标的差不超过， ∴3∴4
﹣（﹣≤，∴
）≤， ≤，
∴m≥1．
故答案为：m≥1
点评： 此题属于新定义的创新题，理解题中所给的定义是解题的关键；结合图形做题，体现了数形结合的思想．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知集合A={y|y=log2x，x∈}，集合B={x|（）＜2m﹣1}．
（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围； （2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．
考点： 并集及其运算；交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 分别求出A与B中y与x的范围确定出A与B，
3x+a
＞2}，集合C={x|m+1≤x
x
（1）由A与B的交集为A，得到A为B的子集，确定出a的范围即可；
（2）由A与C的并集为A，得到C为A的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出m的范围即可．
解答： 解：由A中y=log2x，x∈，得到y∈； （2）∵A∪C=A，∴C⊆A， 若C=∅，则有m+1≥2m﹣1， 解得：m≤2；
若C≠∅，则有，
解得：2＜m≤，
综上，m的范围为（﹣∞，]．
点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
17．（12分）已知函数f（x）=
+a是奇函数．
（1）求实数a；
（2）求函数y=f（x）的值域．
考点： 函数奇偶性的性质；函数的值域． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）函数f（x）=出a．
（2）先求出所以0＜
+a是奇函数，则有，化简即可求
＜2，即可求出f（x）=的值域．
解答： 解：（1）f（﹣x）=﹣f（x）⇒
⇒2a=﹣2（（2）f（x）=因为2+1＞1， 所以0＜
x
+
）⇒a=﹣1
＜2，
所以f（x）的值域是（﹣1，1）．
点评： 本题主要考察函数奇偶性的性质和函数的值域的求法，属于基础题．
18．（12分）定义在R上的奇函数y=f（x）是周期为4的周期函数，且当x∈时f（x）=x+bx+c（b，c∈R）．
2
（1）求常数b，c的值； （2）解不等式f（x）＞．
考点： 函数的周期性；二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由定义在R上的奇函数y=f（x）是周期为4的周期函数，可得f（0）=0且f
（2）=0，结合当x∈时f（x）=x+bx+c（b，c∈R）可得常数b，c的值；
（2）当x∈时f（x）=x﹣2x∈，不等式f（x）＞无解，当x∈时，f（x）=﹣x﹣2x＞，解得x∈（
，
），结合函数y=f（x）是周期为4的周期函数，可得答案．
2
2
2
解答： 解：（1）∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=c=0，f（﹣2）=﹣f（2），
又由函数y=f（x）是周期为4的周期函数， ∴f（﹣2）=f（2），
∴f（2）=4+2b=0，解得b=﹣2；
（2）由（1）得当x∈时f（x）=x﹣2x∈，不等式f（x）＞无解， 当x∈时，﹣x∈，f（﹣x）=x+2x=﹣f（x）， 故f（x）=﹣x﹣2x，令f（x）=﹣x﹣2x＞， 解得x∈（
，
），
，4k
），k∈Z．
2
2
2
2
故不等式f（x）＞的解集为：（4k
点评： 本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，求函数的解析式，解二次不等式，是函数图象和性质与二次不等式的综合应用，难度中档．
19．（12分）已知函数f（x）=x﹣mlnx（m∈R，且m为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求函数f（x）在上的最小值．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用．
2
分析： （1）求导数可得f′（x）=x﹣=，①若m≤0，则f′（x）＞0，易得单调递
增；②若m＞0，由f′（x）=间（
，+∞）单调递增；
=0易得函数f（x）在区间（0，）单调递减，在区
（2）①若m≤1，函数f（x）在上单调递增，函数的最小为f（1）；②若1＜m＜e，函数f
2
（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增，函数的最小为f（）；③若m≥e，函数f（x）在上单调递减，函数的最小为f（e） 解答： 解：（1）∵f（x）=x﹣mlnx，（x＞0），
2
2
∴f′（x）=x﹣=，
①若m≤0，则f′（x）=＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
②若m＞0，由f′（x）==0可得x=，
故当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在区间（0，）单调递减，在区间（，+∞）单调递增；
（2）①若m≤1，则当x∈时，f′（x）≥0，函数f（x）在上单调递增，∴函数的最小为f（1）=；
②若1＜m＜e，则当x∈（1，）时，f′（x）＜0，当x∈（，e）时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增， ∴函数的最小为f（
2
2
）=﹣；
③若m≥e，则当x∈时，f′（x）≤0，函数f（x）在上单调递减，∴函数的最小为f（e）=﹣m
点评： 本题考查导数法研究函数闭区间上的单调性和最值，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=x+．
（1）若命题p：“存在x∈，使f（log2x）﹣k•log2x≥2”是真命题，求实数k的取值范围； （2）设g（x）=|2﹣1|，方程f+
x
=3k+2有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
考点： 函数恒成立问题；特称命题．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）把命题存在x∈，使f（log2x）﹣k•log2x≥2”是真命题转化为不等式恒成立，换元后分分离参数k，利用配方法求出二次函数最值得答案；
x2xx
（2）把已知方程转化为|2﹣1|﹣（3k+2）•|2﹣1|+（2k+1）=0，令|2﹣1|=t，则原方程有
2
三个不同的实数解转化为t﹣（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1．然后运用“三个二次”的结合列式得答案． 解答： 解：（1）f（log2x）﹣k•log2x≥2可化为
，
设，
∵x∈，∴
2
．
∴不等式可化为k≤t﹣2t+1． 记h（t）=t﹣2t+1，∵∴k的取值范围是（﹣∞，1]； （2）方程f+
x
2
，故h（t）max=1．
=3k+2化为|2﹣1|﹣（3k+2）•|2﹣1|+（2k+1）=0．
2
x2x
令|2﹣1|=t，则t∈（0，+∞），t﹣（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t1，t2， 其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1．
记h（t）=t﹣（3k+2）t+（2k+1），则
2
①或②
解①得，k＞0；②无解．
∴实数k的取值范围为（0，+∞）．
点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对题意得理解，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．
21．（14分）已知函数f（x）=
（其中e为自然对数的底）在区间（0，
2）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，记实数m的取值范围为区间I． （Ⅰ）求区间I；
（Ⅱ）记g（m）=x1+x2，证明：函数y=g（m）在区间I上单调递减．
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）根据极值的意义，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可得出结论；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，结合函数单调性的定义加以证明．
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=
∵x∈（0，2），∴x﹣2＜0，x＞0，
x
∴x1，x2是方程me﹣x=0的两个不同的根， 即方程h（x）=
，h′（x）=
，
3
，
∴h（x）在（0，1]上递增，在上递减，
又h（0）=0，h（1）=，h（2）=∴I∈（
，）．
，
（Ⅱ）设m1，m2∈I，且m1＜m2，m1，m2对应的极值点分别是x1，x2和∵h（x）=
在区间（0，1]上递增，在上递减，
，，
∴0＜x1＜
＜1＜
＜x2，∴
＞＞1，
又m1=x1，m1=x2，∴
=，
记
=t1，则x2﹣x1=lnt1，则x1=，x2=，g（m1）=
，
记
=t2，同理可得g（m2）=
，
记φ（t）=，则φ′（t）=
=
，
，∴t≥1时，r′（t）≥0，
令r（t）=﹣2lnt+t﹣，则r′（t）=﹣+1+
∴t＞1时，r（t）＞r（1）=0，∴φ′（t）＞0，即φ（t）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵t1＞t2＞1，∴φ（t1）＞φ（t2），即g（m1）＞g（m2）， ∴函数y=g（m）在区间I上单调递减．
点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性、综合性强，属于难题．
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