高等代数作业第二章行列式答案

一、填空题

1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5

2．四阶行列式Daij44中,含a24且带负号的项为_____. a11a24a33a42,a12a24a31a43,a13a24a32a41

a11a12a1na1na12a113．设a21a22a2naan(n1)2221d.则a2n_____. (1)2d an1an2annannan2an11114．行列式11x的展开式中, x的系数是_____. 2 111二、判断题

1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√

a11a12a1na12a1nLa112. 设d=

a21a22a2n则a22a2nLa21LLLL=d（ ）×

an1an2annan2annLan1a11a12a1na21a22a2n3. 设d=

a21a22a2n则

an1ad（ ）×

n2annan1an2anna11a12a1n000axyzaab4.

00bxxyb00cyyabcd ( ) √ 5.

xc00abcd （ ）× 6.

0000dzzzd00000√

7. 如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D的元素都是自然数，则D的值也是自然数。（ ）×

a01001a00209.

2a1a2an （ ）× 10. =n！ a000n1nn000三、选择题

cdefgh0 （xy ）× ）

（k211．行列式2k00的充分必要条件是 ( ) D

111（A）k2 （B）k2 （C）k3 （D）k2或 3

1xx22．方程1240根的个数是( )C 139（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A

（A）a15a23a32a44a51a66 （B）a11a26a32a44a53a65 （C）a21a53a16a42a65a34 （D）a51a33a12a44a65a26 4. n阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 A

（A）n!n2n2 （B）2 （C）2 （D）n(n1)2

5．若(1)(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式的一项，则k,l的值及该项的符号为( )B （A）k2,l3，符号为正； （B）k2,l3，符号为负； （C）k3,l1，符号为正； （D）k1,l3，符号为负

a11a12a132a112a122a136．如果Da21a22a23M0，则D12a212a222a23 = ( )C

a31a32a332a312a322a33（A）2 M （B）－2 M （C）8 M （D）－8 M a11a12a134a112a113a122a137．如果Da21a22a231，D14a212a213a222a23 ，则D1 ( )C

a31a32a334a312a313a322a33（A）8 （B）12 （C）24 （D）24

四、计算题

12341． 计算

23413412

41231234111111111111111解：

2341341210234112123412100120121100100401001004412341230321004400031112. 计算

13111131. 1113311111111111解：

131131102001131=6•11131=6•0020=62348.

111311130002110=1604

高等代数第五次作业

第二章 行列式 §5—§7

一、填空题

1. 设Mij,Aij分别是行列式D中元素aij的余子式,代数余子式,则Mi,i1Ai,i1_____. 0

3042. 503 中元素3的代数余子式是 .6

2211578111120363. 设行列式D，设M4j,A4j分布是元素a4j的余子式和代数余子式，

1234则A41A42A43A44 = ，M41M42M43M44= .0,66 z0kx4. 若方程组2xkyz0 仅有零解，则k . 2

kx2yz05. 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0 二、判断题

1. 若n级行列试D中等于零的元素的个数大于n2n，则D=0 （ ）√

00baab00(b2a2)2 （ ）√ 3.

ba0000ab00ba31110 （ ）√ 5.

1311113111131a(gyhx) （ ）× 7.

512613714810 （ ）√

48 （ ）√ (a2b2)2 （ ）√

00abba00ab00caddbb00ghbbdd00xy2.

4.

acaccaa00ef6.

bcd103710三、选择题

1231. 行列式112的代数余子式A13的值是( )D

201

（A）3 （B）1 （C）1 （D）2 2．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D

（A）行列式主对角线上的元素全为零 （B）行列式主对角线上有一个元素为零 （C）行列式零元素的个数多于n个 （D）行列式非零元素的个数小于n个

10x13．若f(x)11111111，则f(x)中x的一次项系数是( )D

1111（A）1 （B）1 （C）4 （D）4

a100b14．4阶行列式0a2b200b 的值等于( )D

3a30b400a4（A）a1a2a3a4b1b2b3b4 （B）(a1a2b1b2)(a3a4b3b4) （C）a1a2a3a4b1b2b3b4 （D）(a2a3b2b3)(a1a4b1b4) 5．如果

a11a121，则方程组 a11x1a12x2b10a21a22a21x1a22x2b20 的解是( )B （A）xb1a12a11b11b，x2B）xb1a121，xa11b122a22a （21b2b2a22a21b 2（C）xb1a12b1a12a11b11b，xa11b12a （D）x1，x2

2a2221b2b2a22a21b26. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A）3 （B）7 （C）–3 （D）-7

3xkyz07．如果方程组 4yz0 有非零解，则 k =( )C

kx5yz0（A）0 （B）1 （C）－1 （D）3 四、计算题

a1001. 计算D=1a1001a1

001aa100rra10a10121a1r2ar1a10解：方法1：

10001a11a1

1

01a2a0001a1

001a001a001ar2r31a10aa2)r1a10

011r3(101a101a2a0200a32a1a2

001a001a3=

a2a1a231a=a(a2a)(1a2)a43a21.

方法2：将行列式按第一行展开，有：

a1001a0100a1011a01=a[a•=a1a101a101a001aa11a1a110a]a21

=a[a(a21)a]a21a43a21.

1232342. 计算Dn345n12123234解：345n12n12n1121212n12 n1n(n1)23n(n1)34n(n1)451122n(n1)1211311nn12n1123134152n(n1)14112111n1n12 n11n11012n(n1)001n11n1n(n1)1121n1

1n(n1)121n0100(1)n(n1)2012nn1(n1)

n3. 计算

11121314149161827641314

解：

111214916182764(21)(31)(41)(32)(42)(43)12

1a14. 计算Dn1L11 M1an11 M1a1111100an+1a11M11M1LL1111M111a2LM1LL1a1解：Dn1M11a2LM1L1a21a2L M1ananDn1a1a2an1a1a2an(1i1n1). ai11332213355. 解方程：

12x222=0.

19x2113322133521=

111301203301=(1x2)•110120301

解：

12x22201x20001330119x33x211=(1x2)•0133x220011=(1x2)•20010100003003=3(1x2)(4x2)

0033x24x2x1,2.

五、证明题

a2b21．证明:2cd2证明：

a11(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)20 2(c3)(d3)2a12an1,21a1nan1,n12．设Dan1,11，求证：DD1D2Dn，其中Dk k1,2,L,n为

将D中第k列元素换成x1,x2,L,xn1,1后所得的新行列式。

证明：将D增加一行和一列得到下列n1阶行列式，此行列式显然为0。

11L11a11Man1,11将此行列式按第一行展开，得1k1n1a12Man1,21k1LLLa1nMan1,n1x1M xn11A1k0，

显然Ak11nkDk,1k1A1k1nk1n1Dkk1,2,L,n，

1n11A1,n1D，故DDk。

3．设a1,a2,,an是数域P中互不相同的数，b1,b2,,bn是数域P中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P上的多项式

fxc0c1xc2x2cn1xn1 使faibi i1,2,,n。

证明：由faibi得

c0c1a1c2a12cn1a1n1b12n1c0c1a2c2a2cn1a2b2 

.............................................ccaca2can1b2nn1nn01n这是一个关于c0,c1,,cn1的线性方程组，且它的系数行列式为一个范德蒙行列式.由已知该行列式不为0，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式是唯一的.