第六章自测题

1、填空题： （1）R2

×2

的维数dimR22=___________。

×

（2）R3中，向量(1,2,3)在基1(1,1,1),2(1,1,0),3(1,0,0)下的坐标为_________。

（3）已知1,2,3是线性空间中的元素，V中任一元素都能1,2,3线性表示，则

1,2,3必须_________时就成为V的一个基。

（4）设R3中，e1,e2,e3为基本单位坐标向量，1e1,2e1e2,3e1e2e3为R3

的一个基，则由基e1,e2,e3到基1,2,3的过渡矩阵P=_________。

（5）设R3内的线性变换为T(x,y,z)=(x,0,0)，其中(x,y,z)为R3中的任一向量，则T在基e1,e2,e3下的变换矩阵A=_________。

2、单项选择题

（1）齐次线性方程组

3x2x25x34x4013x14x211x310x403x15x213x311x40

的解空间的维数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）构成R3的子空间L{(x,y,z)zxy,x,yR}的一个基的向量组是（ ）。 （A）1 （B）1 （C）1 （D）1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)

(1,1,1),2(1,1,2)(1,0,1),2(0,1,1)

(1,1,0),2(2,2,0),3(0,1,1)

3、下面给定R3中的一组向量1,2,3和向量，证明1,2,3是R3的一个基，并求向量在基1,2,3下的坐标。

（1）1（2）1（3）1(1,1,1),2(1,1,1),3(1,1,1);(1,2,1)。

(1,1,0),2(1,1,1),3(1,0,1);(0,1,0)。 。

(1,3,5),2(6,3,2),3(3,1,0);(3,7,1)4、在R3中，取两个基：

1(1,2,1),2(2,3,3),3(3,7,1)；

1(3,1,4),2(5,2,1),3(1,1,6)。

求坐标变换公式。

5、设1,2,3,4是R4的一个基，求由这个基到基2,3,4,1的过渡矩阵。 6、在R4中取两个基：

e1e2e3e4(1,0,0,0)(0,1,0,0),(0,0,1,0)(0,0,01)1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)

（1）求由基e1,e2,e3,e4到基1,2,3,4的过渡矩阵；

（2）求向量（0,0,0,1）在后一个基下的坐标； （3）求在两个基下相同坐标的向量。

7、判定下列定义的变换下，哪些是线性变换。 （1）在R2到R中，T(x1,x2)=x1-x2； （2）在R2中，T(x1,x2)=(x1,0)； （3）在R2中，T(x1,x2)=(x1,x2)； （4）在R2中，T(x1,x2)=(x1+1,x2-1)。

8、设(x,y,z)是R3中任一元素，定义线性变换 T(x,y,z)=(x,y,z+y)

（1）证明向量1(1,0,1),2(0,1,1)是R3中所有元素在T下的像所构成的线性空间的一个基；

（2）求线性变换T在基e1,e2,e3下的变换矩阵。

9、已知R3内的线性变换T在基e1,e2,e3下的变换矩阵为

211A121112

求T在基e1+ e1,e2,e3下的矩阵。如果(0,1,0)，求出在线性变换T下的像T()在基e1+ e2,e2,e3下的坐标。