上海市普陀区2019高三一模数学卷word版(附详细答案)

2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷

2018.12

1. 函数f(x)1x2. 若sin2的定义域为 . x1，则cos . 323. 设,,1,2,3，若f(x)x为偶函数，则 .

11324. 若直线l经过抛物线C：y4x的焦点且其一个方向向量为d(1,1)，则直线l的方程为 .

25. 若一个球的体积是其半径的

4倍，则该球的表面积为 . 36. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出 两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.

52367. 设(x1)(x1)a0a1xa2xa3xa6x，则a3 （结果用数值表示）.

888. 设a0且a1，若loga(sinxcosx)0，则sinxcosx .

9. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1B1D1F,

BC1B1CE，若AEBF，则此棱柱的体积为 .

10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的

110%.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）.

11. 已知点A(2,0)，设B、C是圆O:xy1上的两个不同的动点，且向量

22OBtOA(1t)OC（其中t为实数），则ABAC .

12. 设a为整数，记函数f(x)则f11xloga（a0且a1，0xa）的反函数为f2ax1(x)，

2311112afff . 2a12a12a12a1二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题

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纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

x2y21的判断，正确的是………………………………………（ ）13. 下列关于双曲线： 63(A)渐近线方程为x2y0 (B)焦点坐标为3,0 (C)实轴长为12 (D)顶点坐标为6,0

14.函数y2cos2x 的图像………………………………………………………………（ ）

43,0对称 (A)关于原点对称 (B)关于点8(C)关于y轴对称 (D)关于直线x4对称

15.若a、b、c表示直线，、表示平面，则“a//b”成立的一个充分非必要条件是（ ）

(A)ac，bc (B)a//，b// (C)a，b (D)a//c，bc

16.设f(x)是定义在R上的周期为4的函数.且f(x) 若0asin2x,0x1.记g(x)f(x)a，

2log2x,1x41，则函数g(x)在区间4,5上零点的个数是………………………………（ ） 2(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,且cosC（1）求2cos21. 4ABsin2C的值； 2（2）设c2，求ab的取值范围.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

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x2y21的左、右顶点分别为A,B，设P是曲线上的任意一点. 已知曲线：

1612（1）当P异于A,B时，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2是定值；

（2）设点C满足ACCB（0），且|PC|的最大值为7，求的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O,钉尖为Ai（i1,2,3,4）. （1）设OA1a（a0），当A1,A2,A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

2（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为32cm，要用某种线型材料复制100枚这

y A o B x

种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？

A4

O A3

A1 A2

20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设数列an满足a1（1）求a2、a3的值；

3an3，an1（nN*）.

an251111n（2）求证：1是等比数列，并求lim的值； naaaa2nn13 / 9- 3 -

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（3）记an的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对于任意的n（nN*且n2）均有Snk成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数f(x)2（xR），记g(x)f(x)f(x). （1）解不等式：f(2x)f(x)6；

2（2）设k为实数，若存在实数x01,2，使得g(2x0)kg(x0)1成立，求k的取值范围；

x（3）记h(x)f(2x2)af(x)b（其中a、b均为实数），若对于任意的x0,1，均有

|h(x)|

1，求a、b的值. 22018学年第一学期普陀区质量调研卷参及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分分）填对1-6得4分、7-12得5分. 1.,00,1 2.17 3.2 4. xy10 5. 4 6. 31227.0 8.1 9. 322 10. 10.4 11. 3 12.a

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

题号 答案 13 B 14 B 15 C 16 D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤 4 / 9- 4 -

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17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）由cosC151……1分，由ABC得ABC, 0，得sinC44故cos(AB)cosC……2分

2cos2ABsin2Ccos(AB)12sinCcosC……4分 2 cosC2sinCcosC1……5分

115161521……6分 4448222（2）在△ABC中，由余弦定理，得cab2abcosC……8分 即4ab2215ab(ab)2ab……9分 22255ab(ab)24ab（当且仅当ab时，等号成立）……11分

222所以(ab)14分

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】根据题设条件，可得A(4,0),B(4,0)，设P(x0,y0)……1分

222x0y0x02…31，所以y0121（1）x04，则x040,x040,x0160，

16121624632，即ab……12分，又因为ab2，故2ab……

3332分

其中k1y0y0,k2………4分； x04x04x02121216y0y0y03（定值）6分 2故k1k22x04x04x01x016（2）由ACCB（0），得点C为线段AB的内分点（不含两个端点）

可设C(m,0)（4m4）…………7分

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根据（1）可得|PC|x0m2y0212x02mx0m212……8分 4 所以|PC|1(x04m)2123m2（4x04）……9分 41(44m)2123m27， 4（1）若4m0，则当x04时，

即|m4|7，解得m3或11，只有m3，此时（2）若0m4，则当x04时，

341……11分 4371(44m)2123m27 4即|m4|7，解得m3或11，只有m3，此时综上所述7或

347 ……13分 431。……14分 719.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

【解】（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1,A2,A3,A4两

两联结，后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体……2分

延长A4O交平面A1A2A3于B,则A4B平面A1A2A3，连接A1B， 则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，所以OA1B即为OA1与平 面A1A2A3所成角。……3分 设A1A4l，则A1B2A4

O

A3

32l在RTA4A1B中，A1A4A1B2A4B2, 32A1 A2

26a3B 即

3l23l232aal3，所以

l，故

A1B32622aa…4分 333cosOA1B分

22A1B22（其中0OA1B），所以OA1Barccos……532OA136 / 9- 6 -

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故OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos22……6分 3（2）11分

2713262A1A232 ……8分 根据（1）可得A1A2a，所以a4cm……

22231，共需材料242161004a4a24216m…13分.答：复制100枚这种“钉”

100米…14分

20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

6分.

【解】（1）由已知条件，可得a2（2）927，a3；…………4分 13352111211……5分即1，1a13an13an3an112110，…6分 必有 1an3an11an1222所以（常数）……7分 所以1是以为首项，公比为的等比数

1333an1an列。…8分

10213，

111111210分 lim111limnnna2ana1a2an1a2132312（3）根据（2），可得1，即anan3121312132n1213n（nN）……11分

*Sna1a2an1213n……12分

假设存在这样的正整数k，使得kSn对于任意的n（nN*且n2）都成立。

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Sn11213121321213n1，Sn1Sn1213n12，由3n10，得

1213n10，故Sn1Sn……14分，所以nN*时，Sn是递增数列，于是当n2时，

Sn的最小值为S2所以k84， 6584……15分，又因为k为正整数，所以k1。……16分 6521（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8

分.

x【解】（1）由f(x)2，得f(2x)22x，代入f(2x)f(x)6，得22x2x60，……2分

xx即22230，又因为230，所以23，即xlog2x ……3分

xx故原不等式的解集为{x|xlog23} ……4分

（2）g(x)22，g(2x0)2xx2x022x0，g2(x0)2x02x0222x022x02

22x2x2x2x 代入g(2x0)kg(x0)1，得20201k(20202)……6分

22x022x022x022x0111……7分 20，所以k2x02x012224x0x024x0由x01,2，得x01,2，所以4416，设t4x0，则4t16，

1171257……9分 tt4t162512212734x0x02k所以，故……10分 4162524由于函数yt在区间4,16上是增函数，所以

xx（3）f(2x2)44，h(x)f(2x2)af(x)b44a2b

x即h(x)42x2a2xb…………10分

x由x0,1，得122…………11分

令2u，则1u2，所以任意的u1,2，均有4uaubx21（*） 28 / 9- 8 -

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a3，所以a12……13分 82112此时（*）变为4u12ub对于任意的u1,2均成立

22只有1H(u)max22记H(u)4u12ub（1u2），则函数H(u)需满足：……15分

1H(u)min2由H(u)maxH(1)H(2)b8再由H(u)minHb9由①②得

117，得b……①……16分 2232117,得b……②……17分 22171717b，故b…………18分

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