2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来．） 1．（4﹣8i）i的虚部是（ ） A．4 B．4i C．﹣8 D．﹣8i 2．A．4

，则f′（﹣2）等于（ ） B．

C．﹣4 D．

3．已知p：|x|≤2，q：0≤x≤2，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且=2.347x﹣6.423； ②y与x负相关且=﹣3.476x+5.8； ③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．

其中一定不正确的结论的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的

6．函数f（x）=ex﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是（ ） A．1+ B．1

C．e+1 D．e﹣1

7．某程序框图如图所示，则输出的n的值是（ ）

第1页（共17页）

A．21 B．22 C．23 D．24 8．下列命题中正确的是（ ）

A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0” B．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：

C．命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0” D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 9．已知双曲线

的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中

点，O是坐标原点，则|ON|等于（ ） A．4

B．2

C．1

D．

10．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）

A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1 11．已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆PF1F2=，则该椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

+

=1（a＞b＞0）上，若

•

=0，tan∠

12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（ ）

A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1}

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

第2页（共17页）

D．{x|x＞1}

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 ． 14．双曲线

﹣

=1的焦点到渐近线的距离为 ．

15．已知数列{an}满足a1=1，

，试归纳出这个数列的一个通项公

式 ．

16．已知函数y=loga（x+b）的图象如图所示，则ba= ．

三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．命题p：∀x＞0，x+＞a；命题q：∃x0∈R，x02﹣2ax0+1≤0．若￢q为假命题，p∧q为假命题，则求a的取值范围．

18．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1） ，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A，B两个不同点．（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围．

19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 8.2 8.4 8.6 8.8 9 单价x（元） 8 84 83 80 75 68 销量y（件） 90 （Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/

件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本） 20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．

21．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1，（a为实数），g（x）=lnx﹣x （1）讨论函数f（x）的单调区间；

第3页（共17页）

（2）求函数g（x）的极值； （3）求证：lnx＜x＜ex（x＞0）

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F． （1）求证：E、F、G、B四点共圆； （2）若GF=2FA=4，求线段AC的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点

A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q．

（1）写出圆C的直角坐标方程；

（2）求|AP|•|AQ|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a| （I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．

（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．

第4页（共17页）

2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二（下）期末数

学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来．） 1．（4﹣8i）i的虚部是（ ） A．4 B．4i C．﹣8 D．﹣8i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数的乘法运算化简，则复数的虚部可求． 【解答】解：由（4﹣8i）i=﹣8i2+4i=8+4i． 故（4﹣8i）i的虚部是4． 故选：A． 2．A．4

，则f′（﹣2）等于（ ） B．

C．﹣4 D．

【考点】导数的运算．

【分析】利用导数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵

，∴

．

故选D．

3．已知p：|x|≤2，q：0≤x≤2，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【考点】充要条件．

【分析】通过解绝对值不等式化简命题p，判断p成立是否推出q成立；q成立是否推出p成立；利用各种条件的定义判断出p是q的什么条件． 【解答】解：∵|x|≤2⇔﹣2≤x≤2 即命题p：﹣2≤x≤2

若命题p成立推不出命题q成立，反之若命题q成立则命题p成立 故p是q的必要不充分条件 故选B

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且=2.347x﹣6.423； ②y与x负相关且=﹣3.476x+5.8；

第5页（共17页）

③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．

其中一定不正确的结论的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【考点】线性回归方程．

【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．

【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关； ②y与x负相关且③y与x正相关且④y与x正相关且

征．

综上判断知，①④是一定不正确的 故选D

5．用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的 【考点】演绎推理的基本方法．

【分析】指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的． 【解答】解：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，

这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性， 大前提是错误的，

∴得到的结论是错误的，

∴在以上三段论推理中，大前提错误． 故选A．

6．函数f（x）=ex﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是（ ） A．1+ B．1

C．e+1 D．e﹣1

；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； ； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；

．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可得到函数的最大值． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ex﹣1

令f′（x）＞0，x∈[﹣1，1]，可得0＜x≤1；令f′（x）＜0，x∈[﹣1，1]，可得﹣1≤x＜0，

第6页（共17页）

∵f（﹣1）=，f（1）=e﹣1

∴f（﹣1）＜f（1）

∴函数f（x）=ex﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是e﹣1 故选D．

7．某程序框图如图所示，则输出的n的值是（ ）

A．21

C．23 D．24

【考点】循环结构．

【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，p的值，当n=23，p=79时满足条件p＞40，输出n的值为23．

【解答】解：执行程序框图，有 p=1，n=2

第1次执行循环体，有n=5，p=11

不满足条件p＞40，第2次执行循环体，有n=11，p=33 不满足条件p＞40，第3次执行循环体，有n=23，p=79 满足条件p＞40，输出n的值为23． 故选：C．

8．下列命题中正确的是（ ）

A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0” B．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：

C．命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0” D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】写出原命题的否定判断A；直接判断原命题的真假得到命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题的真假；

写出命题的否命题判断C；举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断D．

【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1≥0”，命题A为假命题；

当cosx=cosy时，x与y要么终边相同，要么终边关于x轴对称，

第7页（共17页）

B．22

∴命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，则其逆否命题是假命题，命题B为假命题；

命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题C为真命题； 所有菱形的四边相等，

∴命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题，命题D是假命题． 故选：C．

9．已知双曲线

的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中

点，O是坐标原点，则|ON|等于（ ） A．4

B．2

C．1

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得ON=MF1，再利用双曲线的定义，求得|MF1|=8，即可求得|ON|．

【解答】解：由题意，连接MF1，则ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，∵左支上一点M到右焦点F2的距离为18，

∴由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|=2×5，∴|MF1|=8． ∴|ON|=4， 故选A．

10．曲线y=

在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）

A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1 【考点】导数的几何意义．

【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可． 【解答】解：y′=（

）′=

，

∴k=y′|x=1=﹣2． l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D

11．已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆PF1F2=，则该椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

+

=1（a＞b＞0）上，若

•

=0，tan∠

【考点】椭圆的简单性质．

第8页（共17页）

【分析】由已知可得焦点三角形为直角三角形，再由tan∠PF1F2=，得到|PF1|=2|PF2|，结合椭圆定义求出|PF1|，|PF2|，代入勾股定理得答案． 【解答】解：由

•

=0，可知△PF1F2为直角三角形，

又tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|， 联立|PF1|+|PF2|=2a，解得：|PF1|=

，|PF2|=

．

由，得，即．

∴．

故选：D．

12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（ ） A．{x|﹣1＜x＜1}

B．{x|＜﹣1}

C．{x|x＜﹣1或x＞1}

D．{x|x＞1}

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣， ∵f（x）的导函数f′（x）＜， ∴g′（x）=f′（x）﹣＜0， 则函数g（x）单调递减， ∵f（1）=1，

∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，

则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0， 即g（x）＜g（1）， 则x＞1，

即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，

故选：D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

第9页（共17页）

13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 A ． 【考点】进行简单的合情推理．

【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．

【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A． 14．双曲线

﹣

=1的焦点到渐近线的距离为

．

【考点】双曲线的简单性质． 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．

【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣

x﹣2y=0，

所以焦点到其渐近线的距离d=故答案为：

．

=

． ，0），（

，0）．渐近线方程为y=±

x，即

15．已知数列{an}满足a1=1，

．

，试归纳出这个数列的一个通项公式 【考点】归纳推理．

【分析】把n=1及a1=1代入已知的等式即可求出a2的值，把n=2及a2的值代入已知的等式即可求出a3的值，把n=3及a3的值代入已知等式即可求出a4的值，把n=4及a4的值代入已知的等式即可求出a5的值，然后把求出的五项的值变形后，即可归纳总结得到这个数列的通项公式an．

【解答】解：由a1=1，得到a2=

=，

a3=

=，

第10页（共17页）

a4=

=，

a5=

=…，

则

（n∈N*）．

．

故答案为：

16．已知函数y=loga（x+b）的图象如图所示，则ba= 27 ．

【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】根据图象过（0，1）与（﹣2，0），代入函数解析式，建立方程组，即可求出a和b，最后求出所求．

【解答】解：由图象可知：logab=1，loga（b﹣2）=0 ∴a=b=3 ∴ba=27

故答案为：27

三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．命题p：∀x＞0，x+＞a；命题q：∃x0∈R，x02﹣2ax0+1≤0．若￢q为假命题，p∧q为假命题，则求a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．

【分析】分别解出p，q为真时的a的范围，进而求出 q真p假时a的范围． 【解答】解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立，只需又∵当x＞0时，

（当且仅当x=1时取“=”，∴a＜2，

，

不妨设q为真，要使得不等式有解只需△≥0，即（﹣2a）2﹣4≥0 解得a≤﹣1或a≥1，

∵¬q假，且“p∧q”为假命题，故q真p假， 所以

，

∴实数a的取值范围为a≥2．

第11页（共17页）

18．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1） ，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A，B两个不同点．（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；

（2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围． 【解答】解：（1）设椭圆方程为

=1（a＞b＞0）

则…

解得a2=8，b2=2… ∴椭圆方程为

=1；…

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM=，∴l的方程为：y=x+m

由直线方程代入椭圆方程x2+2mx+2m2﹣4=0，… ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，… 解得﹣2＜m＜2，且m≠0． …

19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

8.2 8.4 8.6 8.8 9 单价x（元） 8 84 83 80 75 68 销量y（件） 90 （Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/

件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本） 【考点】回归分析的初步应用；线性回归方程．

【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；

第12页（共17页）

（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大． 【解答】解：（I）∵b=﹣20，a=﹣b， ∴a=80+20×8.5=250

∴回归直线方程=﹣20x+250；

（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20

∴该产品的单价应定为

元，工厂获得的利润最大．

， =

20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．

（1）求抛物线E的方程； （2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．

（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2， 得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0， 其中△=4p2k2+16p＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p， ∴

=

=

=﹣4p+4，

由已知，﹣4p+4=2，解得p=，

∴抛物线E的方程为x2=y．

（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，

=

同理k2=x2﹣x1， ∴

=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16． =

=x1﹣x2，

21．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1，（a为实数），g（x）=lnx﹣x （1）讨论函数f（x）的单调区间；

第13页（共17页）

（2）求函数g（x）的极值； （3）求证：lnx＜x＜ex（x＞0）

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求导数得到f′（x）=ex﹣a，然后讨论a的符号，从而可判断导数符号，这样即可求出每种情况下函数f（x）的单调区间；

（2）可先求出函数g（x）的定义域，然后求导，判断导数的符号，从而根据极值的概念求出函数g（x）的极值；

（3）可知a=1时，f（x）在x=0处取得极小值，从而可得出ex＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值﹣1，这样即可得出lnx≤x﹣1＜x，这样便可得出要证的结论．

【解答】解：（1）由题意得f′（x）=ex﹣a

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，

故函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，lna）上单调递减； （2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），

，

由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．

所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 故函数g（x）在x=1取得极大值，其极大值为ln1﹣1=﹣1． （3）证明：当a=1时，f（x）=ex﹣x﹣1，

由（1）知，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0处取得极小值，也是最小值， 且f（x）min=0，故ex﹣x﹣1＞0（x＞0），得到ex＞x+1（x＞0）．

由（2）知，g（x）=lnx﹣x在x=l处取得最大值，且g（x）max=﹣1， 故lnx﹣x≤﹣1（x＞0），得到lnx≤x﹣1＜x（x＞0）．

综上lnx＜x＜ex（x＞0）．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F． （1）求证：E、F、G、B四点共圆； （2）若GF=2FA=4，求线段AC的长．

【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）连结BG，由AB为直径可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能证明E、F、G、B四点共圆；

（2）连结BC，由E、F、G、B四点共圆，运用切割线定理，得AF•AG=AE•BA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC2=AE•BA，代入数据，即可求出线段AC的长． 【解答】（1）证明：如图，连结BG，

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由AB为直径可知∠AGB=90°

又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°， 因此E、F、G、B四点共圆．

（2）解：连结BC，由E、F、G、B四点共圆， 所以AF•AG=AE•BA，

在Rt△ABC中，AC2=AE•BA，

由于GF=2FA=4，得AF=2，FG=4，即有AG=6， 所以AC2=2×6， 故AC=2．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点

A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q．

（1）写出圆C的直角坐标方程；

（2）求|AP|•|AQ|的值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）由题意可得点A在直线（t为参数）上，把直线的参数方程代入曲线C

的方程可得 t2+

t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣，根据参数的几何意义可得

|AP|•|AQ|=|t1•t2|的值． 【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ=2ρcosθ，即 （x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．

（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得 t2+

t﹣=0．

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由韦达定理可得 t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a| （I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．

（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；不等式的基本性质．

【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）由不等式的性质得：f（x）≥|a﹣1|，要使不等式f（x）≥2a恒成立，则|a﹣1|≥2a，由此求得实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≥4得，解得：

，或

，或

．

．

，故原不等式的解集为

（Ⅱ）由不等式的性质得：f（x）≥|a﹣1|， 要使不等式f（x）≥2a恒成立，则|a﹣1|≥2a， 解得：a≤﹣1或

，

．

所以实数a的取值范围为

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2016年7月31日

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