-01-02解答-13高等代数1期末试卷

装订线 2013学年第一学期 高等代数Ⅰ(A卷)

一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 下列关于多项式理论的说法中正确的是( C ).

A. 零多项式整除任意多项式 B. 零多项式不整除零多项式

C. 零多项式只能整除零多项式 D. 零多项式的次数为零 分析：任意多项式整除零多项式；

零多项式只能整除零多项式； 零多项式是唯一不定义次数的多项式

2. 设有n维向量组（I）：1,2,,r和（II）：1,2,,m(mr)，则( C ).

A. 向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关 B. 向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性相关 C. 向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关 D. 向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性无关 分析：部分相关，则整体相关； 整体无关，则部分无关

3. 设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax0仅有零解的充要条件是( B ). A. A的列向量线性相关 B. A的列向量线性无关 C. A的行向量线性相关 D. A的行向量线性无关

分析：齐次线性方程组Ax0仅有零系数矩阵的秩=未知数个数，即R(A)=n

A的n个列向量无关

4. 设A,B为n级方阵，A0，且AB0，则有( ).

A. A0或B0 B. BA0 C. (AB)2A2B2 D. B0

1

分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即

AB=BA不一定成立；AB=0不一定得到A=0或B=0；AB=AC不一定有BC，

AB0AB=0AB=0

5. 设A和B都是n级实对称矩阵, 通过非退化线性替换能将实二次型

f(x1,x2,,xn)XTAX化为实二次型g(y1,y2,,yn)YTBY的充分必要条

件是( D ).

A. A与B具有相同的秩 B. A与B具有相同的符号差 C. A与B具有相同的正惯性指数

D. A与B具有相同的负惯性指数, 并且A与B具有相同的符号差 分析：非退化线性变换保证二次型的矩阵合同，即A与B合同， 在实数域上相当于A,B有相同的正惯性指标p和秩r 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 设四级行列式D的第四列元素分别为1,0,2,3，且它们对应的余子式分别为

2,3,1,2，则D=__________.

注意：行列式按本行（列）展开的值为A，串行（列）展开的值为“0”

内容见课本78页定理3.

D按第四列元展开=4+14+24+34+41（-1）2+0（-1）（-3）+2（-1）1+3（-1）2=2，展开需用代数余子

式。

2. 设向量组1(k,1,1),2(0,2,3),3(1,0,1)线性相关，则k注意：这时1，2，3为行构成的行列式为零，即

1 2 2

装订线 1.5CM

k110230k11012 3. 设A为n级方阵, 且满足A22A4E0, 这里E表示n级单位矩阵, 那么

A1A2E4 分析：A22A4E0A(A2E)4EAA2E4E 4. 已知矩阵方程X100021(1,2,3), 则X＝(1,1,4).

011-1分析：X=(1,2,3)100021=(1,1,4)

0115. 若fx,y,z2x23y23z22yz是正定二次型，则的取值范围33.三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”） 1.（ √ ）有理数域为最小的数域. 2.（

）设A,B是两个n级方阵，则ABBA.

注意：行列式只有乘积公式ABAB，无所谓的加法，减法公式 3.（

）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.

注意：两个向量组A,B等价

A组每个向量可以有B组表示，B组每个向量可以有A组表示

4.（

）若矩阵A的所有r1级子式全为零，则A的秩为r.

注意：A的秩为rA至少有一个r级子式不为零，所有r1级子式全为零 5.（ √ ）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.

3

得分

四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）

1. 设f(x)4x42x316x25x9,g(x)2x3x25x4, 求f(x),g(x). 解 用辗转相除法，得

11g(x)2x3x25x4 f(x)4x42x316x25x9 2xq1(x)

q2(x)x 332x3x23x 4x42x310x28x

2x22x4 2x2x3 r1(x)6x23x9 6x9q3(x)

6x26x

r2(x)x1 9x9 9x9 0 （6分）

所以，f(x),g(x)x1. （7分）

12. 计算行列式

11x111x111x1111.

11x1解：行列式特点：每一行的和相等为x，

1 11x111x111111111x111x11111x111x1111 = x r3r1r4r1r2r1xc1ci(i2,3,4)xxx1110000x0x0011x11x1xxx1x111x1111（2分）

 x 1x1 （5分）

4

1110x1xx0装订线 r3r2 x 00xxx4. （7分）

000x3. 求向量组

1(2,1,3,1),2(3,1,2,0),3(1,3,4,2),4(4,3,1,1)

的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示. 解 将向量按列排成矩阵A，并对它作等行变换化为行最简形矩阵.

2314113A113332r22r13241r1r23143241r33r1r4r1 1021102111331133021055101r2150112r1r2011205510r35r2000最简形

0112r4r20000000000000（4分）

所以, R{1,2,3,4}2，1,2是所求的一个极大无关组， （6分） 且3=21-2,4=-1+22. （7分）

x1x2kx31,4. 讨论k取何值时，线性方程组 x1x22x31,

x1kx2x3k2(1) 有唯一解；(2) 无解； (3) 有无穷多个解，并求出此方程组的通解. 解 对增广矩阵作行变换化为阶梯形.

11k111k1A1121r2r1022k0r3r1 1k1k20k1k1k21rk111k132r2r022k032 阶梯形 （2分） 00(k1)(4k)2(k1)(k1)5

(1) 当k1且k4时，R(A)R(A)3n,方程组有唯一解； (2) 当k4时，R(A)2,R(A)3,R(A)R(A)，方程组无解;

(3) 当k1时，R(A)R(A)23n,方程组有无穷多个解. （5分） 此时

10112x1112x3A3010最简型，得一般解x23x3(x3为自由未知量)， 200002x3x3令x3k, 得通解为

1x112xk1, k为任意常数. （7分） x230022注意：此题和12年四（3），11年四（3）为同类型题。 13年和11年答案是同一种做法；12年是一种做法。 5. 作非退化线性替换XCY化实二次型

f(x221,x2,x3)x1x24x2x3

为规范形.

100解 二次型的矩阵为A012 (1)分

0201

100100100100  01100 A0-120-1200020r3+2r20212c30004c3+2c200412r30 E=   1 0 0 100100001 010   0100120121

00100100100100

6

0010010011012装订1.5CM 线

0令C10011，作非退化线性变换XCY， （6分）

0012得所求实二次型的规范形为

f(x2221,x2,x3)y1-y2+y3. （7分） 说明：一步到位化二次型为规范形的步骤：

A作行变换，接着”A和E”作相同的列变换，当A化为对角元为“1，-1”的

对角阵时，E化为“C”

此法比同时作行列变换正确率高！推荐！

五、证明题（本大题共 4 小题，共 25 分） 1. （本小题7分）证明：n维向量组1,2,,n线性无关的充要条件是任一n维向

量都可由1,2,,n线性表出.

证明 必要性. 设1,2,,n线性无关，对任一n维向量，因为1,2,,n,是

n1个n维向量，必线性相关，而1,2,,n是线性无关的，故可由

1,2,,n线性表出. （4分）

充分性. 设任一n维向量

都可由1,2,,n线性表出，则单位向量组

1,2,,n可由1,2,,n线性表出，又1,2,,n可由1,2,,n线

性表出，所以向量组1,2,,n与向量组1,2,,n等价，故有相同的秩n，

即1,2,,n线性无关. （7分）

2. （本小题6分）设A是n级方阵且A0，证明：存在一个非零矩阵B使得ABO. 证明：由A0知，齐次线性方程组AX0有非零解1， （2分） 作B(1,2,,n), 其中2,,n均为零向量, 则B0， （4分）

7

于是

ABA(1,2,,n)（A1,A2,,An）=(0,0,,0)O （6分）

3. （本小题6分）设A是n级方阵且A0，B是nm矩阵，证明: RABRB. 证明 因为RABRB， （2分） 又由A0知，方阵A可逆. 所以

BA1AB=A1AB，

从而R(B)R[A1AB]R(AB)，综合可知RABRB. 另法证明：由A0知，方阵A可逆，再由课本180页定理4

RABRB （与可逆矩阵相乘不改变矩阵的秩） 4. （本小题6分）设AA1OOB1,BA2OO. 证明：如果A1与B1合同，A2与B2B2合同，则A与B合同.

证明 由于A1与B1合同，A2与B2合同，存在可逆阵C1,C2 使得

T B1C1A1C1,TB2C2A2C2， （2分）

令CC1O，则C可逆，且 （3分） OC2TTCOA1CAC1OC2OOC1OC1TA1C1A2OC2OB1TC2A2C2OOO（5分） B，B2即A与B合同. （6分）

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