让探究和反思成为数学解题教学的支点

让探究和反思成为数学解题教学的支点

让探究和反思成为数学解题教学的支点

“教”与“学”是一个有机的整体，对数学解题教学的反思是数学教师不断改进教学方法，进一步提升自己教学水平的一个重要途经。数学教师不仅要重视解题基础理论的学习，更要特别关注数学解题过程中发现问题，解决问题和教育教学实践能力的发展，突出对课堂教学和实际情境与自身教育教学经验的分析与反思。从而引发学生对数学解题过程的反思，激发学生的学习数学热情和兴趣，发展学生的数学思维和创新能力，使学生的数学素养得到最大可能的提高。

《数学新课程标准》在总体目标中指出：“对学生数学学习过程的评价包括参与数学活动的程度，自信心，合作交流的意识，以及思考的习惯，数学思考的发展水平等方面。如：是否积极主动地参与学习；是否找到有效地解决问题的方法，尝试从不同角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自己的思考过程；是否有反思自己思考过程的意识……，数学技能的训练和能力的培养离不开解题。解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验知识，运用知识的基本形式。有效地培养数学解题能力，有助于的创造性的认识活动，也可以促进数学能力的发展。

波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．

数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”。因此，波利亚把 “解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学

的核心”这一高度．

波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能．在他看来，解题过程就是不断变更问题的过程．

在数学学科中，能力指的是什么?波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的见解、判断力、能动性和创造精神．”波利亚致力于培养学生的探索能力．

“问题是数学的心脏”，对一个好的数学问题的不断的探究和反思能达到师生双赢—促进老师数学教学水平和学生学习成绩的共同提高，从而使“教”与“学”达到和谐进步。

著名数学家波利亚就曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思。

实践表明，培养学生把解题后的反思应用到整个数学学习过程中，养成检验、反思的习惯，是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法。鼓励学生结合解题后的反思，提出问题，并将其指定为反思内容之一，既能充分发挥学生的主体性，又能形成师生互动、生生互动的教学情境，还能培养学生的不断探究的精神，从而使学生的数学创新意识得到保护和培养。这无疑对学生“心态的开放，主体的凸现，个性的张显”是十分有益的。

经过一段时间课改的具体实施，我发现也真正体会到，许多曾经对数学不感兴趣的学生，都对数学有了浓厚的兴趣，也使我真正体会到只要你给学生创造一个自由活动的空间，学生便会还给你一个意外的惊喜。

日前，笔者在课堂上例行讲解一道关于平行四边形性质的运用的复习题，本以为这是十分平常的事，巩固一下知识，按部就班讲完就算了。想不到却引出了一连串的话题及其对该题的一系列的探究。

题目：如图1，在□ABCD中，AB=2BC，E为AB的中点，DF⊥BC，垂足为F．请你说明：∠AED=∠EFB．

解答：如图2，分别延长DE、CB交于点G. ∵四边形ABCD是平行四边形

2 / 9

图1 ∴AD∥BC AD=BC ∴∠A=∠EBG

∴在△ADE和△BGE中

∠A=∠EBG AE=BE ∠AED=∠BEG ∴△ADE≌△BGE ∴DE=GE AD=BG 又∵DF⊥BC

1∴EF=DG=EG

2D C F B A 1AB 2E 图2 G ∴∠EFB=∠G

又∵AB=2BC AE=BE=∴BE=EG ∴∠BEG=∠G 又∵∠BEG=∠AED ∴∠AED=∠EFB

分析、讲解完后，等了一会，根据本人的习惯，问学生是否理解？能否掌握？是否

图3

有疑问？有无可以改进的地方？有无其它的做法？能否提出新的问题？

本以为学生不会有什么问题，哪曾想，一石激起千层浪，很快就有学生提出了不同的想法。

生1：添加如图3的辅助线同样可以做.（这点我早就想到了）

生2：如图4，过E作EG∥BC交DF于点G. ∵E是AB的中点 ∴G是DF的中点 又∵DF⊥BC ∴EG⊥DF ∴EG是DF的中垂线 ∴DE=FE ∴∠EDF=∠DFE ∴∠EFB=∠ADE

1∵AD=AB=AE ∴∠ADE=∠AED ∴∠AED=∠EFB

2 3 / 9

图4

评注：这个方法好，运用转化思想巧妙地把证∠AED=∠EFB的问题转化成证∠EDF=∠DFE，思路清晰，值得表扬。

生3：题中有多余条件（我有点吃惊）！把□ABCD这个条件改为“在梯形ABCD中，AD∥BC”，因为AB∥CD这个条件用不到.因此本题可以把图形弱化成图5，题目改为：如图5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=2BC，E为AB的中点，DF⊥BC，垂足为F．请你说明：∠AED=∠ECB．这样更具有一般性。

评注：思考到这个程度是我始料未及的，从中可以看出我们的学生真是了不起，把问题的本质给抓住了，可喜可贺啊！我为他感到骄傲.

生4：我在稿纸上画图，得到的是图6，这时结论∠AED=∠EFB显然不成立，我发现它们的关系是∠AED+∠EFB=180°.也就是说，如果把原题中的如图去掉，那么∠AED与∠EFB的关系就应该是“相等或互补”。老师，对吗？

评注：说实话，这时的我太兴奋了，

我感到从未有过的幸福.这位学生的思考是我在课前没有想到的。随着图形的变化，所证的结论在改变，在这种动态的变化之中，学生的思维在不断迁移和发展，数学学习兴趣不断高涨，学习的潜能得到极大的激发，不正是我们教学所追求的目标吗？何为创新，发现问题，解决问题的过程就是创新，学生的思考，学生的发现，值得我们反思！

到此课堂气氛达到了高潮，同学们纷纷参与，各抒己见，又提出了不少细节方面的问题，如解题格式的书写等等。精彩的演绎，完美的课堂。

课后，难以平静，反复回味，满足之余总觉得好像还缺点什么，缺什么呢？ 翌日，生4又自豪地告诉我，他又有了新的发现，得到了更一般的结论：

4 / 9

图5

图6

当60°<∠A<180°时，∠AED=∠EFB. 当0°<∠A<60°时，∠AED+∠EFB=180°. 是啊！就缺这么多。

几天后的一课间，一向文静内向，善于思考的小雯同学告诉我她的发现：交换题目的条件和结论还可以得到新的真命题。

命题1：如图1，在□ABCD中，E为AB的中点，DF⊥BC，垂足为F，∠AED=∠EFB．请你说明：AB=2BC．

命题2：如图1，在□ABCD中，E为AB的中点，AB=2BC，垂足为F，∠AED=∠EFB．请你说明：DF⊥BC．

当然，在图6中同样能得到类似的命题。

评注：小雯同学的思考已经不是一般层面上的东西了，充分反映她对本题理解的进一步深入。说明她对该题的掌握程度已经达到一个新的高度，既表明了她对该题透彻的理解，更反映了一位优秀同学的数学学习素养。让我切身感受到：“师不必贤于弟子，弟子不必不如师”的快乐。同时也给我带来无尽的思索：我们究竟需要开展什么样的数学教育，什么样的教育教学方法才是数学学习所急需的？我想通过对本题教学过程的不断的反思和考量，我们已经找到了答案—让反思成为习惯，让探究成为数学解题教学的主题。

解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。

1.善于进行总结

解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。

2.善于进行引伸

解完一道题之后，要善于把它“改头换面”。变成为多个与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，从而提高解题能力。

例如：边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形

5 / 9

E A

G MP

D

ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一点，AP:PB=2（如图示），求矩形PNDM的面积.

1222解：延长NP交EF于K，延长MP交CF于G，得PG=AF=，PK=BF=

3333221∴矩形PNDM的面积=MP×NP=（4－）（4－）=11。

339解完这道题后可以作如下引伸：去掉条件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面积因P 点在AB上的不同位置而变化，可引伸为如下的题目：

边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一个动点，并将矩形PNDM的面积记为S，求S的变化范围。

若条件不变又可引伸为：①S的最大值、最小值分别是多少？②P点在怎样的位置时S的值为10？

这样从不同角度引伸，有助于培养学生的解题能力。

3.善于进行推广

当一道数学题解完之后，如果将命题中的特殊条件一般化，从而推得更为普遍的结论，这就是数学命题的推广。善于进行推广所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。这有利于培养学生深入钻研的良好习惯，激发他们的创造精神。

例如：（2007浙江温州）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：

11235...再分别依次从左

序号 周长 ① 6 ② 10 ③ 16 ④ 26 到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、

6 / 9

②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：

若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是 .（答案466） 评注：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，144，…. 这是一个很有规律的数列，从第三项起，每一项都是紧接着它的前面两项的和，这个数列可以无穷尽地向大数发展.人们为了纪念这位“兔子问题”的创始人，就把这个数列称为“斐波那契数列”．

该数列有很多奇妙的属性.比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近0.618 033 988 7……. ，还有一个性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。连续4项中，中间两项的积与外面两项积的差是1或1.

解完这道题后，可以引导学生针对这一知识作如下推广：（1）（2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B卷12题）三条线段能构成三角形的条件是：任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度．现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 。

答案：要使n最大，应使裁出的小段尽可能的短，又每小段的长度最小为1，且任意三段不能拼成三角形，故应让截取的小段长度取1，1，2，3，5，8，13，21，34，55（从第3数开始，每一数都是紧接着它的前两数的和）。上述这些数之和为143，与144相差1，故可取各段长度为1，1，2，3，5，8，13，21，34，56.这时n的值最大，n的最大值为10.

（2）（江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初三年级17题）现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1(cm)的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．

答案：因为n段之和为定值150(cm)，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1(cm)，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，…但

1+1+2+……+34+55=143<150， 1+1+2+……+34+55+=232>150，

7 / 9

故n的最大值为10．

将长为150(cm)的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式： 1，1，2，3，5，8，13，2l，34，62 1，1，2，3，5，8，13，21，35，6l 1，1，2，3，5，8，13，21，36，60 1，1，2，3，5，8，13，21，37，59 1，l；2，3，5，8，13，22，35，60 1，1，2，3，5，8，13，22，36，59 1，l，2，3，5，8，14，22，36，58

这种推广对活跃思路，开阔视野，培养解题能力是大有裨益的。

培养学生的解题能力，对发展学生的辩证唯物主义数学观，有重要的教育意义。在解题教学中，教师要引导学生在实践中演练，感知，体会解题的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解题策略，如，化繁为简，化生为熟，化整为零，化曲为直，以形论数，以数论形，等等。在遇到新的问题情景时，能以有效的思维策略，去探索转化的途径。 参考文献：

[1]田万海，《数学教育学》，浙江教育出版社，1991年。

[2]李一麟，《整体思维与数学解题》，《数学通报》1992年第5期。

[3]王林全、林国泰，《中学数学思想方法概论》，暨南大学出版社，2000年。 [4]周春荔，《数学解题中的构造思想与方法》，上海科学技术出版社，1987年。 [5] 蒋必昆 毛光寿，《中学数学杂志》(初中版) 第3期 。 [6]《1～21届江苏省初中数学竞赛试题汇编》，江苏教育出版社。 [7]波利亚，《怎样解题》，阎育新译，科学出版社，1982年。

8 / 9