专题5 含参数的简易逻辑问题 跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)

一．题源探究·黄金母题 含参数的简易逻辑问题

下列各题中，那些 p 是 q 的充要条件？（节选） （1） p ： b  0 ， q ：函数 f  x  ax2  bx  c 是偶函数； 【试题来源】人教 A 版选修 1-1 第 11 页例 3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断， 容易题． 【思路方法】直接应用定义进行判断． 二．考场精彩·真题回放 【2017 年高考北京理数】设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得m  n ”是“ m  n < 0 ”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密． 【学科素养】数算 【难点中心】充分、必要条件的三种判断 方法． 1. 定义法：直接判断“若 p 则 q ”、“若 q 则 p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ p ⇒ q ”为真，则 p 是 q 的充分条件． 2. 等价法：利用 p ⇒ q 与非 q ⇒非 p ， q ⇒ p 与非 p ⇒非 q ， p ⇔ q 与非 q ⇔ 非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3. 集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 B  A ，则A 是 B 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件；若 A 是 B 的真子集，则 A 是B 的充分不必要条件；若 B 是 A 的真子 集，则 A 是 B 的必要不充分条件． 三．理论基础·解题原理 考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若 p 则 q ”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系， 尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题． 考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到 解题的目的． 考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“  ”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“  ”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命 题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命 题等联系紧密． 考向 1 与充分条件、必要条件有关的参数问题 【2019·四川高考模拟】己知命题 p： “关于 x 的方程x2 — ex u e s t 有实根”，若 【温馨提醒】应先求解 非 p 为真命题的充分不必要条件为 e ൌ 3૙ u L，则实数 ૙ 的取值范围是( ） 命题 p，q 的充要条件， 进而它们的充要条件的 关系。 考向 2 与逻辑联接词有关的参数问题 【 温 馨 提 醒 】 命 题 【2019 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题 p : x  R, e mx  0, q : x  R, mx  mx 1  0, 若 p  q 为假命题， x0 2 0 0 p  q 一真为真，命题 p  q 一假为假，命题 p 与 p 的真假相反。 则实数m 的取值范围是 A． , 0 4,  B． 0, 4 C． 0, e D． 0, e考向 3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 q : 函数 2x  m x1， 【2019·河南高考模拟】已知 p : x   ,  ， 1 1  4 2 2  【温馨提醒】全称命题 为真命题，可转化不等 式恒成立问题，特称命 题为真可转化为不等式 有解问题。 m 的取值范f  x  4x  2x1  m 1存在零点．若：“ p 且q”为真命题，则实数 围是 ． 考向 4 与全称量词、特称量词有关的参数问题 【2019·辽宁高考模拟】设函数 f (x)  sinx( 0) ，已知对于[0, 2 x ，总存在[0, 内的 x ，使得 f (x )  f (x )  0 ，则的（ ] 1 2 1 2 3 A．最大值为 3 B．最小值为 3 D．最小值为 2 内的任意 【技能方法】解决此类 ] 3 ） 问题要注意量词的意 义。全称命题为真命题， 可转化不等式恒成立问 题，特称命题为真可转 化为不等式有解问题。 C．最大值为 9 4 9 4 五．限时训练*提升素养 x 满足 湖南）已知命题 p ：函数 f(x)  x2  ax 1 的定义域为 1.（2020·ax  ln x ， R ，命题q：存在实数 p  q 为真，则实数 a 的取值范围是（ ） 若  1  A． 2, e    1 B．  e , 2  C．[2, ) (, 2] D． 陕西）已知命题 p： f (x)  x2  ln x  ax 在区间1, + 上存在单调递减区间；命题 q：函数 2.（2020·5 a 的取值范围是g (x)  g(x)   0 有三个实根.若p  q 为真命题，g(x)  x2  x  ae2 x ，且 则实数 （ 2 ）  5 6  A．  0, e  2   3 2 B．  e，-1  2   5 6 C． 1, 2 e  D． 1, +3.（2020·全国）方程 ax2  2x  1  0 至少有一个负根的充要条件是 A． 0  a  1 B． a  1 C． a 1 D． 0  a  1或 a  0 1 a 的取值范围是( ) 2x2  (a 1)x   0 ”是假命题，则实数 沈阳）已知命题“ 4.（2020·x  R ，使 2 (, 1) A． (3, ) C． (1, 3) B． (3,1) D． 山东省泰安）已知函数 f  5.（2020·x   x  3x  3 2    x  m  2 g x ， x 1 x  ，若对任意 1 1, 3 ，总存在 m 的取值范围为（ x2 1, 3 x1   g  x2  ，使得 f  成立，则实数 ） A． 17 , 9  2  B． ,   17  9, 2 17 9  C． ,  4 2  17   9  D．  ,    ,  4 2  x f (x)  m(x  2m)(x  m  3), g(x)  2  2 ，若同时满足条件：① x  R, f ( x)  0 或 6.（2020·上海）已知 g ( x)  0 ；② x (, 4), f (x)g(x)  0 .则 m 的取值范围是 . .（写出一个即 1 x 的值可以是 x   2 ”是假命题的 云南）能说明命题“ x  R 且 7.（2020·x  0 ， x 可） 1 1 q8.（2020·银川）已知命题 p ：x  R, x 2x  m  0 ，命题：幂函数 f (x)  x2 m3 在0,  是减函数， p  q ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 若“ p  q ”为真命题，“ 四川）已知 p : x2  x  6  0 ， q：| 1  9.（2020· （1） 若p 是q的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围； ． x  3 | m ． 2 （2） 当 m=1 时，若(p)  q 为真， (p)  q 为假，求实数 x 的取值范围. 海南）已知 p : x  R ， m 4x2  1  x ； q : x [2,8]， m log x  1 0 . 10.（2020·2 （1） 若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2） 若 p 与q的真假性相同，求实数 m 的取值范围.