中考数学复习专题：最值之“胡不归模型”

中考复习专题：最值之“胡不归模型”

【知识必备】

1.正弦的定义

如图所示，在Rt△ABC中，有sinA=ab，sinB，从而有a=c·sinA，b=c·sinB cc

2.垂线段最短 3.古老传说

从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路，由于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径“A-B”，而忽视了走折线路径“A-D-B”虽路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？……”

4.模型建立

数学语言：已知驿道速度V1，砂砾速度V2，在AC上找一定点D，使从A→D→B的行走时间最短

解：①设总时间为t，则t=ADDB+，这里V1＞V2，且均为常数 V1V2②提取

11V，得t=（2AD+DB） V2V2V1 1 / 6

③构造三角函数，过定点A作射线AE，使它们的夹角为a，且sina=V2＜1，作DG⊥AEV1于点G，则DG=ADsina=ADV2，转化为DG+DB最小 V1

④垂线段最短，过B作BH⊥AE于H，交驿道所在直线于点D’，则点D’即为所要寻找的点，此时DG+DB取最小值为BH

“胡不归”模型提取：

（1）型如“mAD+nDB”的“两定一动型”最值问题，其中A，B为定点，D为动点，m，n为正的常数

（2）解题关键：两次系数化为1

①若m，n不为1，则提取较大系数，将另一个系数化为1 ②借助正弦定理，构造锐角a，将另一个系数化为1 （3）垂线段最短原理解决问题

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【互动导学】

例题1

如图所示，已知D为射线AB上一动点，∠BAC=30°，AC=23，当AD= 时，AD+2CD取最小值为 。

实战分析

1.如图所示，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C之间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=，问当为多少时，由A到C所用的时间t最少？

2.如图所示，在平面直角坐标系中，AB=AC，A（0，22），C（1,0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为 。

3.如图所示，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，过B的直线交抛物线于点E，且tan

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∠EBA=

4，有一只蚂蚁从A出发，先以1个单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以31.25个单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s。

4. （2017年广州中考题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的

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对称图形为△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形； （2）连接AE，若AB=6cm，BC=①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

cm．

5.如图所示，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，且BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为 。

【类题巩固】

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1.如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

2.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当求⊙O的直径AB的长．

1CD+OD的最小值为6时，2

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