高三文科立体几何----空间角

高三文科立体几何--空间角专题复习练习题

一、基础知识

1．定义：

（①斜线和平面所成的角 ②垂线与平面所成的角 ③l或l// ） 所以直线与平面所成角范围是 。

2．斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理） 3．作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。 4．分别求斜线上一点A到平面的距离h，及斜线段的长AO,则sinAO其中为线面角

C

5．定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角

6．平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .

注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角l的平面角”。

7．作出二面角的平面角，再求解，常见的有 作 法 图 形 在棱CD上找一点A，在两个面内分别定义法 作棱的垂线AB,AC，则BAC为二 面角CD的平面角 h, AOB 三垂线法 过内一点p，作pB交于B，作BACD于A，连结PA,则PAB的CD平面角或其补角 过棱上一点A作棱的垂直平面与两个半平面的交线分别为AM,AN 则MAN为CD的平面角

垂面法

练习题：

1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

D1A1DABOB1CC16A. 3

26B.

5

15 C.

5

10 D.

52．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ） A．

1 3 B．

2 3 C．

3 3 D．

2 33．一个正方体的展开图如图所示，B,C,D为原正方体的顶点，A为原正方体 一条棱的中点。在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（ ） A．510510 B． C． D． 1055101 / 10

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4．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面， 点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面

BB1C1C所成角的大小是 ( )

A．30 B．45 C．60 D．90 .

5．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（ ） A．

1031013 B． C． D． 1010556．已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A．

3573 B． C． D． 44447．已知AOB90，C为空间中一点，且AOCBOC60，则直线OC 与平面AOB所成角的正弦值为 。

8．如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，

BAAB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是 . 9．如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,棱PD底面ABCD,PDDC＝１,E是PC的中点． (1)证明:平面BDE平面PBC； (2)求二面角EBDC的余弦值.

10。如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1. (1)求证：BF∥平面ACGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值

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11．如图，菱形ABCD的边长为4，BAD60，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三

棱锥BACD，点M是棱BC的中点，DM22. （1）求证：OM//平面ABD； （2）求证：平面DOM平面ABC；（3）求二面角DABO的余弦值.

12．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥

DC,DAB90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=PB的中点.

(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD; (Ⅱ)求AC与PB所成角的余弦值; (Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.

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1AB=1,M是2高三文科立体几何----空间角

13．在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD//EF，EF//BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。(1)求证：AB//平面DEG； (2)求证：BDEG； (3)求二面角G—DF—E的正弦值。

14．图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点作EFPB交PB于点F.

（1）证明:PA//平面EDB.（2）证明:PB平面EFD.（3）求二面角CPBD的大小.

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15．如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QAAB(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)求二面角QCPD的余弦值.

16．如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面

,SAAB,点M是SD的中点,ANSC且交SC于点N.(1)ABCD 求证:平面SAC平面AMN; (2)求二面角DACM的余弦值.

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1PD. 2CBDAPQ高三文科立体几何----空间角

17．已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB//CD,ADAB,ADABCD1,PD面ABCD，

2

1PD2,E是PC的中点 （1）证明：BE//面PAD；（2）求二面角EBDC的大小.

18．已知在四棱锥PABCD中，AD//BC,ADCD,PAPDAD2BC2CD，E,F分别是

AD,PC的中点.

(Ⅰ)求证AD平面PBE；(Ⅱ)求证PA//平面BEF；(Ⅲ)若PBAD，求二面角FBEC的大小.

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19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接

AP交棱CC1于D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值。

20．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3且AE22,BF

2，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，

2. (I) 求证：CFC1E； (II) 求二面角ECFC1的大小。

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21．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点. （Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面 （Ⅲ）当二面角EBDC的大小为45时， 试判断点E在SC上的位置，并说明理由. BDE平面SAC；

S

E

D C

O A B

22.如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是

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（2）求证：ACPB；（3）求二面角EACB的大小. PD的中点. （1）求证：PB//平面AEC；

23．如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; (Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

24．如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; (Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;

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