1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD
延长AD至U E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD
即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE 2.已知：D是AB中点，/ ACB=90 °，求证：CD AB 2 A / C= / D, F 是 CD 中点，求证：/ 3 1 = / 2 证明：连接 BF 和 EF。因为 BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。 所以 三角形BCF全等于三角形 EDF（边角边）。所以BF=EF, / CBF= / DEF。连接BE。在 三角形 BEF 中,BF=EF。所以 / EBF= / BEF。又因为 / ABC= / AED。所以 / ABE= / AEB。 所以 AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中， AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以 / BAF= / EAF （ / 1 = / 2）。 D A 1 F C 4.已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB，求证:EF=AC 证明：过E点，作EG//AC， 交AD延长线于 G则/ DEG= / DCA , / DGE= / 2 又 •/ CD=DE U ADC 也\"GDE ( AAS ) ••• EG=AC •/ EF//AB /-Z DFE= / 1 v/ 1 = / 2：丄 DFE= / DGE ••• EF=EG •: EF=AC 5.已知：AD 平分Z BAC , AC=AB+BD，求证：Z B=2 / C A B 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 ED •/ AD 平分Z BAC ：•/ EAD= Z BAD 又 v AE=AB , AD=AD ：•\" AED 6 ABD (SAS) •：Z AED= Z B , DE=DB v AC=AB+BD AC=AE+CE •: CE=DE :-Z C= Z ED C vZ AED= Z C+ Z EDC=2 Z C：Z B=2 Z C 6.已知：AC平分Z BAD , CE丄 AB , Z B+ Z D=180 °，求证： B AE=AD+BE — 证明：在AE上取F,使EF = EB , 连接CF因为CE丄AB 所以Z CEB 所以△ CEB也厶 =Z CEF = 90° 因为 EB = EF, CE= CE, CEF所以Z B = Z CFE因为Z B + Z D = 180°, Z CFE+Z CFA = 180° 所以Z D = Z CFA 因为 AC 平分Z BAD 所以Z DAC =Z FAC 又 因为 AC = AC 所以△ ADC ◎△ AFC (SAS) 所以 AD = AF 所以 AE = AF + FE =AD + BE ABCD 中，AB // DC , BE、CE 分别平分Z ABC、Z BCD，且点 E 在 AD 12.如图，四边形 上。求证：BC=AB+DC。 证明：在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF.Z ABE= Z FBE,BE=BE, 则 \"ABE A FBE(SAS),Z EFB= Z A;AB 平行于 CD, 则:Z A+ Z D=180 ;又上 EFB+ Z EFC=180 ,则 Z EFC= Z D; 又Z FCE= Z DCE,CE=CE,故\"FCEA DCE(AAS),FC=CD. 所 以,BC=BF+FC=AB+CD. 13•已知：AB//ED，/ EAB= / BDE , AF=CD , EF=BC，求证：/ F=Z C E D AB//ED,AE//BD 推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF全等于三角形 所以：/ C=Z F DCB , A B 14.已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / C 证明：设线段 AB,CD所在的直线交于 E,（当AD BE=CE （等量加等量，或等量减等量）所以： 角形所以：角B=角C. △ BEC是等腰三 15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB PC 延长BE交AC于F 因为，/ 1 =/ 2； BE 丄AE 所以，△ ABF 是等腰三角形 16.已知/ ABC=3 / C ； / 1= / 2 ； BE 丄 AE ；求证： AC-AB=2BE / BAC=180- (/ ABC+ / C=180-4 / C / 1 = / BAC/2=90-2 / C AB=AF,BF=2BE / FBC= / ABC- / ABE=3 / C-2 / C= / CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B 17. 已知，E是AB中点，AF=BD ；BD=5； AC=7，求 DC 作AG // BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5AGF s CDF AF=AG=5 所以 DC=CF=2 E 18. （ 5 分）如图，在△ ABC 中，BD=DC，/ 仁/2，求证：AD 丄 BC . 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以：/DBC= /角 DCB; / 1 = / 2; / DBC+ / 1 = /角 DCB+ / 2; / ABC= / ACB; 所以:AB=AC; :AD垂直BC 三角形ABD全等于三角形 ACD; / BAD= / CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以 19. （ 5分）如图，0M平分/ POQ , MA丄OP,MB丄OQ , A、B为垂足，AB交0M于点N . 求证：/ OAB= / OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用 OM，且/ MOA= / MOB 所以 MA=MB 所以/ MAB= / MBA 因为/ OAM= / OBM=90 度 所以/ OAB=90- / MAB / OBA=90- / MBA 所以/ OAB= / OBA 0 -------------- P 20. （ 5分）如图，已知 AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线 交 AP 于 D .求证：AD+BC=AB. 证明：做BE的延长线，与AP相交于F点， C E D •/ PA//BC •••/ PAB+ / CBA=180 , 又T, AE , BE均为/ PAB和/ CBA的角平分线 •••/ EAB+ / EBA=90 AEB=90 , EAB为直角三角形在三角形 ABF 中，AE丄 BF，且 AE为/ FAB的角平分线 •三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形 BEC 中，/ EBC= / DFE,且 BE=EF，/ DEF= / CEB，•三角形 DEF 与三角形 BEC为全等三角形，• DF=BC • AB=AF=AD+DF=AD+BC 21. （6AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B 证明：在 AB 上找点 E,使 AE=AC •/ 分）如 AE=AC，/ EAD= / CAD , AD=AD ADE ◎△ ADC 。 DE=CD , , / AED= / C •/ AB=AC+CD • DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE / B= / EDB / C=Z B+ / ED 22. (6分)如图①，E、F分别为线段 AC上的两个动点，且 DE丄AC于E, BF丄AC于F , 若 AB=CD , AF=CE, BD 交 AC 于点 M . (1) 求证：MB = MD , ME=MF (2) 当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若 不成立请说明理由. 分析：通过证明两个直角三角形全等，即 RtA DEC也Rt△ BFA以及垂线的性质得出四边形 BEDF是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论. 解答：解：(1)连接 BE , DF.T DE 丄AC 于 E, BF 丄 AC 于 F, , DEC= / BFA=90 , DE // BF，在 Rt△ DEC 和 Rt△ BFA 中，T AF=CE , AB=CD Rt△ DEC也 RtA BFA , ••• DE=BF .••• 四边形 BEDF 是平行四边形.二 MB=MD , ME=MF ; (2)连接 BE, DF .I DE 丄 AC 于 E, BF 丄 AC 于 F,, DEC= / BFA=90 , DE // BF , 在 Rt△ DEC 和 Rt△ BFA 中，T AF=CE , AB=CD , • Rt△ DEC也 RtA BFA , • DE=BF . / 四边形BEDF是平行四边形.••• MB=MD , ME=MF . 23. ( 7分)已知：如图， DC // AB，且DC =AE, E为AB的中点， (1) 求证：△ AED◎△ EBC . (2) 观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC夕卜，请再写出两个与△ AED的面积 相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)： (1)DC // AE ,且DC=AE ,所以四边形 AECD是平行四边形。于是知 AD=EC，且/ EAD= / BEC。由 AE=BE，所以△ AED ◎△ EBC。 (2) △ AEC、△ ACD、△ ECD 都面积相等。 24. (7分)如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长 线垂直于过C 点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证：BD=2CE. 证明：延长BA、CE，两线相交于点 F T BE丄CE BEF= / BEC=90 在厶 BEF 和 △ BEC 中 / FBE= / CBE, BE=BE, / BEF= / BEC • △ BEF ◎△ BEC(ASA) • EF=EC • CF=2CE TZ ABD+ / ADB=90 , / ACF+ / CDE=90 又 T/ ADB= / CDE •••/ ABD= / ACF 在厶 ABD 和厶 ACF 中 / ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90 ABD 也 B △ ACF(ASA) • BD=CF • BD=2CE 25、(10 分)如图：DF=CE AD=BC Z D=Z C。求证：△ AED^A BFG E F 26、（10分）如图：AE、BC交于点 M F点在 AM上, BE// CF, BE=CF 求证：AM是△ ABC的中线。 证明：••• BE|| CF••/ E= / CFM，/ EBM= / FCM •/ BE=CF •••△ BEM ◎△ CFM ••• BM=CM • AM 是厶ABC的中线. 27、（ 10分）如图：在厶 ABC中，BA=BC D是AC的中点。求证: BD 丄 AG 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角 ADB和角CDA相等，它 们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CF 证明：在△ ABD 与厶 ACD 中 AB=ACBD=DCAD=AD • △ ABD ◎△ ACD ADB= / ADC BDF= / FDC 在 △ BDF与厶FDC中 C BD=DC / BDF= / FDCDF=DF FBD ◎△ FCD • BF=F C 29、（12 分）女口图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE 因 为 AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形 ABE=三角形 CDF因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三 角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30 •公园里有一条“ Z”字形道路ABCD ,如图所示，其中AB // CD，在AB, CD , BC三段路旁各有一只小石凳 E, F , M，且BE = CF, M在 试说明三只石凳 E, F , M恰好在一条直线上• 证：••• AB平行CD （已知）•••/ B= / C （两直线平行，内错角相等） •/ M在BC的中点（已知）• EM=FM （中点定义） 在厶BME和厶CMF BC的中点, 中 BE=CF （已知） / B= / C （已证） EM=FM （已证）：■△ BME 全等与△ CMF （ SAS） •••/ EMB= / FMC （全等三角形的对应角相等） •••/ EMF= / EMB+ / BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=18° （等式的性质） • E，M，F在同一直线上 31. BE // DF , BE = DF.求证： △ ABE CDF . 证明： 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF = CE, •/ AF=CE • AF+EF=CE+EF • AE=CF •/ BE//DF BEA= / DFC 又••• BE=DF C第2 ABE 6 CDF ( SAS) 题） 32. 已知：如图所示， AB = AD , BC = DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证： AE = AF。 连结BD，得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC，由等 腰△两底角相等得：角ABC=角ADC在结合已知条件证得： △ ADE ◎△ ABF 得 AE=AF C 33. 如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1 = / 2,/ 3=7 4，求证：/ 5= / 6. 因为角 仁角2/ 3= / 4所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边，所以 AAS==＞三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等 于三角形BEC所以/ 5= / 6 C 34. 已知 AB//DE, BC//EF, D, C在 AF上,且 AD=CF,求证: △ABC^^DEF. 因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为 AB 平行DE , BC平行EF所以角A+角EDF，角 BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后 全等 SSA （角角边）三角形 3已知：如图， AB=ACBD1AC, CE1AB，垂足分另U为 , 5证BE=CD. D、E, BD、CE相交于点F，求 : 证明：因为 AB=AC , 所以 / EBC= / DCB 所以 / BEC= / CDB 因 （ 为BD丄AC , CE丄AB 所以BE = CD BC=CB (公共边) 则有三角形EBC全等于三角形DCB 36、如图，在△ ABC中，AD为/ BAC的平分线，DE丄AB于E, DF丄AC于F。 求证：DE=DF . AAS 证△ADEBA ADF 37. 已知：如图，AC _ BC 于 C , DE _ AC 于 E , AD _ AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的 长? 角。=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC D BC=AE △ ABC ◎△ DAE AD=AB=5 38. 如图：AB=AC , ME 丄AB , MF 丄 AC ,垂足分别为 E、F, ME=MF。 求证：MB=MC 证明••• AB=AC •••△ ABC是等腰三角形•••/ B= / C 又••• ME=MF , △ BEM和厶CEM 是直角三角形 • △ BEM 全等于△ CEM • MB=MC 39.如图，给出五个等量关系：① 情况），并加以证明. 已知： 求证: AD=BC②AC=BD③CE = DE ④.D=/C ⑤.DAB二.CBA •请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结 论（只需写出一种 证明: 已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形 ADBC中，连AB所以△ ADB全等于△ BCA 所以角D=角C 以4,5为条件，1为结论。即：在四边形 ABCD中，/ D= / C ,Z A= / B,求证：AD=BC 因 为 / A+ / B+ / C+ / D=360 / D= / C , / A+ / D=180，所以 AB//DC / A= / B , 所以 2( / A+ / D)=360° , 40•在△ ABC 中， ACB = 90 , AC 二 BC，直线 MN 经过点 C，且 AD _ MN 于 D , BE _ MN于E .⑴ 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ADC CEB ； ② DE = AD BE ; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明； 若不成立，说明理由 (1) 证明：•••/ ACB=90 ,•••/ ACD+ / BCE=90，而 AD 丄 MN 于 D, BE 丄 MN 于 E, •••/ ADC= / CEB=90，/ BCE+ / CBE=90，•/ ACD= / CBE .在 Rt△ ADC 和 Rt△ CEB 中，｛ / ADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , • Rt△ ADC 也 Rt△ CEB (AAS ) , • AD=CE , DC=BE,• DE=DC+CE=BE+AD ; (2) 不成立，证明：在 △ ADC 和厶 CEB 中，｛ / ADC= / CEB=90 / ACD= / CBE AC=CB , • △ ADC ◎△ CEB (AAS ) , • AD=CE , DC=BE , • DE=CE-CD=AD-BE ; 41.如图所示，已知 AE丄 AB, AF丄 AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC丄 BF (1) 证明；因为 AE垂直 AB所以角 EAB=角EAC+角 CAB=90度因为 AF垂直AC所以角 CAF=角CAB+角 BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以 三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F (2) ⑵延长FB与EC的延长线交于点 G因为角ECA=角 F(已证)所以角 G=角CAF因为角CAF=90度所 42.如图: BE 丄 AC , CF 丄 AB , BM=AC , CN=AB。求证: 以EC垂直 BF (1) AM=AN ; (2) AM 丄 AN。 证明：(1)v BE 丄 AC , CF丄 AB ABM+ / BAC=90 , / ACN+ / BAC=90 ABM= / ACN •/ BM=AC , CN=AB (2) ABM ◎△ NAC • AM=AN BAM= / N v/ N+ / BAN=90 BAM+ / •/△ ABM ◎△ NAC BAN=90° 即/ MAN=90 • AM 丄 AN 43. 如图，已知/ A= / D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC // EF 连接BF、CE, 证明△ ABF全等于 △ DEC ( SAS), 然后通过四边形 BCEF对边相等的证得平行四边形 从而求得BC平行于EF BCEF 44. 如图，已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？ 请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC / CAE= / EAN ,AE为公共边， 所以三角形CAE全等三角形EAN 所以/ ANE= / ACE又AC平行BD 所以/ ACE+ / BDE=180 而/ ANE+ / ENB=180 所以/ ENB= / BDE / NBE= / EBNBE 为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE // CF. 证明：••• AD 是中线••• BD=CD •/ DF=DE , / BDE= / CDF BDE◎△ CDF BED= / CFD • BE|| CF 46、（10 分）已知：如图，AB= CD , DE 丄 AC, BF 丄 AC, E, F 是垂足，DE 二 BF . 求证：AB // CD . 证明：•/ DE 丄 AC , BF 丄 AC , DEC= / AFB=90 ,在 RtA DEC 和 Rt△ BFA 中,DE=BF , AB=CD , • Rt △ DEC 也 Rt△ BFA，•/ C=Z A, • AB // CD . 47、（10分）如图，已知/ 仁/2, / 3=/ 4,求证：AB=CD 48、 （10分）如图，已知 AC丄AB , DB丄AB , AC = BE , AE = BD ,试猜想线段 的大小与位置关系，并证明你的结论 结论：CE>DE。当/ AEB越小，贝U DE越小。证明： 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件 知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△ DFB为 等腰三角形。RT△ BAE中，/ AEB为锐角，即 / AEB<90 •/ DF//AE CE 与 DE FDB= / AEB<90 △ DFB E 中 / DFB= / DBF=(180 -/ FDB)/2>45° RT△ AFB 中，/ FBA=90 -/ DBF <45 / AFB=90 -/ FBA>45 /• AB>AF •/ AB=CE AF=DE /• BE = CE,求证：AE = DE. CE>DE 49、 (10 分)如图，已知 AB = DC , AC = DB , 先证明△ ABC ◎△ BDC 的出角 ABC=角DCB 在证明△ ABE ◎△ DCE 得出AE=DE 50.如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD是BC边 上的中线，过 C 作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F，求证：/ ADC =Z BDE . 证明：作 CG 平分/ ACB 交 AD 于 G •••/ ACB=90 ••上 ACG= / DCG=45 •••/ ACB=90 AC=BC •••/ B= / BAC=45°「./ B= / DCG= / ACG •/ CF 丄 A D.••/ ACF+ / DCF=90° •••/ ACF+ / CAF=90 CAF= / DCF •/ AC=CB CD=BD CDG / ACG= / B ACG ◎△ CBE • CG=BE v/ DCG= / B BA BDE ADC= / BDE 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容