一．选择题（共10小题） 1．在3.14，0，无理数有 A．2个
B．3个
C．
D．
C．4个
D．5个
，
，
，
（每两个1之间的0依次增加1个）中，
2．下列二次根式是最简二次根式的是 A．
B．
3．下列说法不正确的是 A．B．C．D．4．A．
是负数
是负数，也是有理数
是负数，是有理数，但不是实数 是负数，是有理数，也是实数
B．
之间
，则
B．2
C．C．
到
之间
D．
D．
到
之间
C．
D．27
C．
D．
C．8
D．4
5．下列运算中正确的是 A．6．立方根是A．9 7．计算A．0到
之间
B．
的数是
B．
的值在 B．
到
8．若，为实数，且A．1
的值为
9．已知、、是三角形的三边，且满足
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
B．直角三角形 D．钝角三角形
，则这个三角形是
10．如果表示，两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的
结果等于
A． B．0 C． D．
二．填空题（共8小题） 11．
与
的平方根之和等于 ．
的结果是 ．
在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．计算13．若代数式
14．若与互为相反数，则的值为 ．
15．的整数部分是，小数部分是，则
，
分别表示实数中，
与，
为圆心，
的值是 ． ，则点，点
距点
的距离为 ．
16．数轴上点17．如图，在
与数轴上表示1的点重合，点
，则点
所
与数轴上表示2的点重合，以表示的数是 ．
长为半径画圆弧，与数轴交于点
18．若记表示任意实数的整数部分，例如：
（其中“”“
，，，则
”依次相间）的值为 ．
三．解答题（共7小题） 19．计算： （1）（2）
20．已知某一实数的平方根是21．（1）如图，
；
． 和
，求
的值． ，数轴上
的点．
点对应的数是： ．
是边长为1的正方形的对角线，且
（2）请仿照（1）的做法，在数轴上描出表示
22．已知（1）（2）
．
；
，求下列各式的值．
23．我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即如果
，那么与就叫做“和积等数对”，记为，则称数对
（1）判断（2）如果
和（其中
，，
，
，
，
．例如：
，
为“和积等数对”．
是否是“和积等数对”，并说明理由； 是“和积等数对”，那么
（用含有的代数式表示）．
，验证：
24．观察下列各式及其验证过程：
．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用证．
（3）针对三次根式及次根式写出用
为任意自然数，且
为任意自然数，且
的变形结果并进行验证．
表示的等式，并给出验
为任意自然数，且
，有无上述类似的变形？如果有，
表示的等式，并给出验证．
25．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零代数式和乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式 例如：
的一个有理化因式是
．
，我们称
的一个有理化因式是
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）
的有理化因式为 ，
；②
的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
；（要求；写出变形过程）
（2）将下列各式分母有理化：（3）请从下列计算：计算：
，
两题中任选一题作答，我选择 题．
的结果为 ．
的结果为 ．
参考答案
一．选择题（共10小题） 1．在3.14，0，无理数有 A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
是分数，属于有理数；
，
，
，
（每两个1之间的0依次增加1个）中，
解：3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；无理数有：，故选：
．
C．
，只有
，
，
（每两个1之间的0依次增加1个）共3个．
2．下列二次根式是最简二次根式的是 A．解：故选：
．
，
B．
，
D．
为最简二次根式．
3．下列说法不正确的是 A．B．C．D．解：、、、故选：4．A．解：
； 、
是负数
是负数，也是有理数
是负数，是有理数，但不是实数 是负数，是有理数，也是实数 小于零，是负数，故
正确；
正确；
错误； 正确．
小于零是负数，是整数，也是有理数，故
小于零是负数，是整数，也是有理数，有理数属于实数，故小于零是负数，是整数，也是有理数，有理数属于实数，故．
B．
C．8
D．4
故选：．
5．下列运算中正确的是
A．
B．
C．
解：
、
与
不能合并，所以
选项错误；
、原式，所以选项正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以
选项错误．
故选：
．
6．立方根是的数是
A．9 B．
C．
解：， 立方根是的数是
．
故选：．
7．计算的值在
A．0到之间
B．
到
之间
C．
到
之间
解：
，
，
， ，
故选：．
8．若，为实数，且，则
的值为 A．1 B．2 C．
解：
，
D．
D．27
D．
到
之间D．
，，
，
，
，
故选：
．
，则这个三角形是
9．已知、、是三角形的三边，且满足
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 解：
，
，，
这个三角形是直角三角形． 故选：
．
，
，
B．直角三角形 D．钝角三角形
10．如果表示，两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简结果等于
A．解：
，
原式
， 故选：
．
，
，
B．0
C．
D．
的
二．填空题（共8小题） 11．解：
与
的平方根之和等于 ，9的平方根是
，
或
．
与故答案为：12．计算解：原式
的平方根之和为或
． 的结果是
或．
．
． 故答案为：13．若代数式解：由题意得：解得：故答案为：14．若
与，
．
互为相反数，则
的值为
．
．
在实数范围内有意义，则的取值范围是
，
．
解：根据题意得所以所以原式
，
，
．
，则，，
故答案为15．解：
，
则故答案为：16．数轴上点
．
的值是
．
的整数部分是，小数部分是，则
， ．
．
． ，
分别表示实数
与
，则点距点的距离为 11 ．
解：
故答案为：11． 17．如图，在
中，
，
，
为圆心，
，点与数轴上表示1的点重合，点
，则点
所
与数轴上表示2的点重合，以表示的数是
．
长为半径画圆弧，与数轴交于点
解：
，
点
所表示的数是
．
．
，
故答案为：18．若记
表示任意实数的整数部分，例如：
（其中“”“
，，，则 ．
”依次相间）的值为
解：
，
，，
，
，
，
，
，
． 故答案为：
．
三．解答题（共7小题） 19．计算： （1）
；
（2）解：（1）
； （2）
．
20．已知某一实数的平方根是解：
和
．
和，求的值．
是同一实数的平方根（互为相反数）， ，
，
解得
，
，
，
．
21．（1）如图，
．
（2）请仿照（1）的做法，在数轴上描出表示
的点．
是边长为1的正方形的对角线，且
，数轴上
点对应的数是：
解：（1）由勾股定理得，
，
由圆的半径相等，得
；
数轴上点故答案为：
对应的数是；
，
（2）如图所示，在数轴上作一个长为2，宽为1的长方形，则对角线以点
为圆心，即为表示
长为半径画弧，交数轴于点的点．
，则
，
，
22．已知（1）（2）
．
；
，求下列各式的值．
解：（1）原式（2）原式
；
．
23．我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即如果
，那么与就叫做“和积等数对”，记为，则称数对
（1）判断（2）如果式表示）． 解：（1）
，
，
和（其中
，，
，
，
，
．例如：
，
为“和积等数对”．
是否是“和积等数对”，并说明理由； 是“和积等数对”，那么
（用含有的代数
不是“和积等数对”；
，
，
是“和积等数对”；
，整理得：
． ，
（2）根据题意得：
故答案为：．
，验证：
24．观察下列各式及其验证过程：
．，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用证．
（3）针对三次根式及次根式写出用解：（1）
为任意自然数，且
，
为任意自然数，且
的变形结果并进行验证．
表示的等式，并给出验
为任意自然数，且
，有无上述类似的变形？如果有，
表示的等式，并给出验证．
理由是：
（2）由（1）中的规律可知
，
，
；
，，
验证： （3）
；正确；
为任意自然数，且，
验证：
25．阅读材料：
．
材料一：两个含有二次根式而非零代数式和乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式 例如：
的一个有理化因式是
．
，我们称
的一个有理化因式是
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因
式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：
，
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）
的有理化因式为
，；②
的有理化因式为 ；（均写出一个即可） ；（要求；写出变形过程）
（2）将下列各式分母有理化：（3）请从下列计算：计算：解：（1）
的有理化因式为，
两题中任选一题作答，我选择 题．
的结果为 ．
的结果为 ．
，
的有理化因式为
；
（2）①
②；
（3）题：原式；
题：原式
．
故答案为
；
；
、
；
；
．
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