北京理工大学信号与系统实验-实验4-LTI系统的频域分析

北京理工大学信号与系统实验-实验4-LTI系统的频域分析

实验4 LTI系统的频域分析

一、实验目的

1、加深对LTI系统频率响应基本概念的掌握和理解。

2、学习和掌握LTI系统频率特性的分析方法。

二、实验原理与方法

1、 连续时间系统的频率响应

系统的频率响应定义为系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，即

若LTI连续时间系统的单位冲激响应为h(t)，输入信号为x(t)，根据系统的时域分析可知系统的零状态响应为

对上式等式两边分别求傅里叶变换，根据时域

卷积定理得以得到

因此，系统的频率响应还可以由系统的零状态响应和输入的傅里叶变换之比得到

反映了LTI连续时间系统对不同频率信

号的响应特性，是系统内在固有的特性，与外部激励无关。 又可以表示为

其中 称为系统的幅度响应， 称为系统的相位响应。

当虚指数信号 作用于LTI系统时，系统的零状态响应y(t)仍为同频率的虚指数信号，即

由此还可以推导出正弦信号作用在系统上的响应入表8-2所示。

表8-2 正弦信号作用与LTI系统的响应

输入信号 响应 对于由下述微分方程描述的LTI连续时间系统

(t)

其频率响应H(j )可以表示为式（8-34）所示

的j 的有理多项式。

MATLAB的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：

[h,w]=freqs(b,a)计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w中。

h=freqs(b,a,w) b、a分别为表示 的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w为频率取样点，返回值h就是频率响应在频率取样点上的数值向量。

[h,w]=freqs(b,a,n)计算默认频率范围内n个频率点上的频率响应的取样值，这n个点记录在w中。

Freqs(b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的形式绘出系统的幅频响应和相频响应。

2.离散时间系统的频率响应

LTI离散时间系统的频率响应定义为单位抽样响应h(n)的离散时间傅里叶变换。

对于任意的输入信号x(n)，输入与输出的离散时间傅里叶变换有如下关系

因此，系统的频率响应还可以表示为

当系统的输入信号为x(n)= 时，系统的输出

由上式可得，虚指数信号通过LTI离散时间系统后信号的频率不变，信号的幅度由系统频率响应的幅度值确定，所以H( )表示了系统对不同频率信号的衰减量。

一般情况下离散系统的频率响应H( )是复值函数，可用幅度和相位表示。

其中| H( )|称为系统的幅度响应， 称为系统的相位响应。

若LTI离散系统可以由如下差分方程描述。

则由式（8-37）描述的离散时间系统的频率响应H( )可以表示为 的有理多项式。

MATLAB的信号处理工具箱提供了专门的函数freqz，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：

[H,w]=freqz(b,a,n) b、a分别为有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，返回值H是频率响应在0到 范围内n个频率等分点上的数值向量，w也包含了这n个频率点。

[H,w]=freqz(b,a,n，‘whole’)计算0~2 n个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。

H=freqz(b,a,w) w为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。

Freqz(b,a,…) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的幅频响应和相频响应。

三、实验内容

（1）已知一个RLC电路构造的二阶高通滤波器如图所示，其中

R= ,L=0.4H,C=0.05F

1计算该电路系统的频率响应及高通截止○频率； 频率响应为：令H(j)= 计算得：

2利用MATLAB绘制幅度响应和相位响应曲○

线，比较系统的频率特性与理论计算的结果是否一致。 b=[1 0 0]; a=[1 10 50]; [H,w]=freqs(b,a); subplot(211);

(j)2H(j)(j)210(j)50

plot(w,abs(H));

set(gca, 'xtick' ,[0:10:100]); set(gca, 'ytick' ,[0 0.4 0.707 1]); xlabel('\\omega(rad/s)' ); ylabel('Magnitude' ); title('|H(j\\omega)|' ); grid on; subplot(212); plot(w,angle(H));

set(gca, 'xtick' ,[0:10:100]); xlabel('\\omega(rad/s)' ); ylabel('Phase' );

title('\\phi(\\omega)|' ); grid on; 得到图像如下：

|H(j)|1X: 7.149Y: 0.7149Magnitude0.7070.4001020304050(rad/s)()|6070809010043Phase21001020304050(rad/s)60708090100

调用数据游标可得， 与H(j)=时， 理论值基本吻合。

（2）已知一个RC电路如图所示。

1对不同的RC值，用MATLAB画出系统的幅○

度响应曲线 ，观察实验结果，分析图示电路具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）？系统的频率特性随着RC值的改变，有何变化规律？

计算系统频率响应得：

MATLAB程序如下: a=[RC 1] b=[1]; w=0:0.01:200

for RC=0.05:0.05:0.35 a=[RC 1]; H=freqs(b,a,w); plot(w,abs(H)); hold on;

end

set(gca,'xtick',[0:10:200]);

set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1]);

axis([0 200 0 1]); xlabel('\\omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(j\\omega)|'); grid on;

图示RC电路 低通的频率特性。并且随着RC的增大，系统的带宽减小。 2○

系

统

输

入

信

号

x(t)=cos(100t)+cos(3000t),t=0~0.2s，该信号包含了一个低频分量和一个高频分量，试确定适当的RC值，滤除信号中的高频分量。并绘制出滤波前后的时域信号波形及系统的频率响应曲线。

绘出滤波前时域波形： t=0:0.0001:0.2

x=cos(100*t)+cos(3000*t) plot(t,x);

考虑RC的不同取值： clear; RC = 0.001; t = 0:0.001:0.2; y1 .*t); y2 00.*t);

subplot(2,2,1);plot(t,y1+y2); title('RC=0.001'); RC = 0.004; t = 0:0.001:0.2; y1

= =

1/(sqrt(1+(RC*3000)^2)).*cos(30

=

1/(sqrt(1+(RC*100)^2)).*cos(100

1/(sqrt(1+(RC*100)^2)).*cos(100.*t); y2 00.*t);

subplot(2,2,2);plot(t,y1+y2); title('RC=0.004'); RC = 0.01; t = 0:0.001:0.2; y1 .*t); y2 00.*t);

subplot(2,2,3);plot(t,y1+y2); title('RC=0.01'); RC = 0.04; t = 0:0.001:0.2; y1 .*t);

=

1/(sqrt(1+(RC*100)^2)).*cos(100

=

1/(sqrt(1+(RC*3000)^2)).*cos(30

=

1/(sqrt(1+(RC*100)^2)).*cos(100

=

1/(sqrt(1+(RC*3000)^2)).*cos(30

y2 00.*t);

subplot(2,2,4);plot(t,y1+y2); title('RC=0.04'); 结果如下：

=

1/(sqrt(1+(RC*3000)^2)).*cos(30

由图可知，RC=0.01时信号已高频信号基本消失，RC继续增大信号会衰弱，因此，RC去0.01比较合适。

计算此时的系统频响：

系统的频率响应曲线：

b=[1]; a=[0.1 1];

[H,w]=freqs(b,a);

plot(w,abs(H));

set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1]);

xlabel('\\omega(rad/s)'); ylabel('\\omega(rad/s)'); title('|H(j\\omega)|'); grid on;

|H(j)|10.707(rad/s)0.4001020304050(rad/s)60708090100

（3第）已知离散系统的系统框图如图所示。 1个 第2个 第M个 y(n) -1z-1 z -1z-1 z z-1-1 z

1写出○

M=8时系统的差分方程和系统函数；

y[n]x[nk]

k08M=8时，系统差分方程为

系统函数为

H(z)zkk08

2利用○

MATLAB计算系统的单位抽样响应；

代码如下：

b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1];a=[1];

impz(b,a,0:15); 运行结果为：

3试利用MATLAB绘出其系统零极点分布图、○

幅频和相频特性曲线，并分析该系统具有怎么的频率特性。 b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[1];

[H,w]=freqz(b,a); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(H)); xlabel('\\omega(\\pi)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(e^j^\\Omega)|'); grid on;

subplot(2,1,2);

plot(w/pi,angle(H)/pi); xlabel('\\omega(\\pi)'); ylabel('Phase(\\pi)'); title('theta(\\Omega)');

grid on;

b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1];a=[1];

sys=tf(b,a);

pzmap(sys); 结果如下：

零极点分布：

系统的频响幅值逐步减小，而系统频响的相位角程等差数列逐步增大。这和它零极点的分布相符。

（4）已知一离散时间LTI系统的频率响应H( )如图所示，输入信号为x(n)=cos(0.3 n)+0.5cos(0.8 )。试根据式（8-38）分析正弦信号sin( t)通过频率响应为H( )的离散时间系统的响应，并

根据分析结果计算系统对于x(n)的响应-0.5 0.5 2 y(n)，用MATLAB绘出系统输入与输出波形

观察实验结果，分析上图所示系统具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）？从输入输出信号上怎么反映出系统的频率特性？ 高频信号被过滤掉： 所以输出为

y(n)2cos(0.3n)0cos(0.8n)2cos(0.3n)

n=0:50;

x=cos(0.3*pi*n)+0.5*cos(0.8*pi*n);y=2*cos(0.3*pi*n);subplot(2,1,1);title('x(n)');

stem(n,x,'filled');

subplot(2,1,2);

title('y(n)');

stem(n,y,'filled');

系统具有低通特性。

四、实验心得体会

本次实验在前几次的基础上更进一步的学习了LTI系统的频域分析。通过本次实验我学习了滤波器的功能，包括低通滤波器和高通滤波器，掌握了其在信号处理中所起到的不可或缺的作用。本次实验让我获益匪浅。